2011-2012高等數(shù)學A第一學期試卷(參考答案).pdf

1 誠實考試吾心不虛誠實考試吾心不虛 公平競爭方顯實力 公平競爭方顯實力 考試失敗尚有機會考試失敗尚有機會 考試舞弊前功盡棄 考試舞弊前功盡棄 上海財經(jīng)大學 上海財經(jīng)大學 高等數(shù)學高等數(shù)學 I A 級級 課程考試卷 課程考試卷 A 閉閉 課程代碼課程代碼 105674 課程序號課程序號 2011 2012 學年第一學期學年第一學期 姓名姓名 學號學號 班級班級 題號題號 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 總分總分 得分得分 一一 填空題填空題 本題共本題共 6 6 小題小題 每小題每小題 2 2 分分 滿分滿分 1212 分分 把答案填在各題中把答案填在各題中 橫線上橫線上 1 1 設常數(shù)設常數(shù) 1 2 a 則 則 21 ln 1 li 2 m n n nna na 1 12a 2 2 設設si 1 n x yx 則 則 x d y d x 3 3 若若 3 0 sin m0 6 li x xxf x x 則 則 0 2 6 lim x f x x 36 4 4 sin 2 sincos 0 x xx edx ee 4 5 5 假設假設 f x是定義在是定義在 上上的的連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù) 0 2 x F xtx f t dt 若有若有 fxf x F xA 此處此處A為常數(shù)為常數(shù) 那么有 那么有 Fx A 6 6 4 0 1 2 3 4 x xxxxdx 0 二二 選擇題 本題共選擇題 本題共 6 6 小題 每小題小題 每小題 2 2 分 滿分分 滿分 1212 分分 每小題給出的四個每小題給出的四個 選項中 只有一項符合題目要求 把所選項前的字母填在括號內選項中 只有一項符合題目要求 把所選項前的字母填在括號內 1 1 若函數(shù)若函數(shù) f x與與 g x在在 上皆可導 且上皆可導 且 f xg x 則必有 則必有 B B A A fxgx B B 00 limlim xxxx f xg x C C f xg x D D 00 xx f t dtg t dt 2 2 設設函數(shù)函數(shù) f x在區(qū)間在區(qū)間 內有定義 若當內有定義 若當 x 時 恒有時 恒有 2 f xx 則則 0 x 必是必是 f x的的 D D A A 不連續(xù)不連續(xù)點點 B B 連續(xù)連續(xù)但但不可導的點不可導的點 C C 可導點 且可導點 且 0 0f D D 可導點 且可導點 且 0 0f 3 3 廣義廣義 反常反常 積分積分 0 xx dx ee A A 得分得分 得分得分 2 A A 4 B B C C 2 D D 發(fā)散發(fā)散 4 4 若若 f x dxF xC 且且xatb 則則 f t dt B B A A F xC B B F tC C C 1 F atbC a D D F atbC 5 5 設設 1 f xxx 則則 B B A A 0 x 是是 f x的極值點 但的極值點 但 0 0 不是曲線不是曲線 yf x 的拐點的拐點 B B 0 x 是是 f x的極值點 且的極值點 且 0 0 是曲線是曲線 yf x 的拐點的拐點 C C 0 x 不是不是 f x的極值點 但的極值點 但 0 0 是曲線是曲線 yf x 的拐點的拐點 D D 0 x 不是不是 f x的極值點 的極值點 0 0 也也不是曲線不是曲線 yf x 的拐點的拐點 6 6 0 1 sin1 0 2 0 1 1 x x x x xe xf x 則則0 x是是 xf的的 C C A A 連續(xù)點連續(xù)點 B B 跳躍間斷點跳躍間斷點 C C 可去間斷點可去間斷點 D D 無窮間斷點無窮間斷點 三 三 計算題 本題共計算題 本題共 8 8 小題小題 每小題每小題 6 6 分分 滿分滿分 4848 分分 1 1 求求 12 11 2 222 lim 1 n nnn n n nnn 解 解 因為因為 1 1 lim2 1 i n n n i n 原式原式 1 lim n n 1 2 i n n i 所以所以 11 11 lim2limlim2 11 ii nn nn nnn ii n nnn 1 0 2 d x x 1 11 lim2 ln2 i n n n i n 因此由夾逼定理可知 原式因此由夾逼定理可知 原式 1 ln2 2 2 設設 2 3 01 2 1 12 x x f x x x 試試說明說明函數(shù)函數(shù) f x在在 0 2 上是否滿足拉格朗日中上是否滿足拉格朗日中 值定理的條件值定理的條件 解解 f x在區(qū)間在區(qū)間 0 1 和和 1 2 內連續(xù)且可導內連續(xù)且可導 當當1x 時時 得分得分 3 2 11 3 lim lim1 2 xx x f x 11 1 lim lim1 xx f x x 1 1 lim lim 1 x x f xf xf 因此 因此 f x在在1x 處連續(xù)處連續(xù) 又又 2 2 111 3 1 1 1 2 limlimlim1 111 xxx x f xfx xxx 1 1f 111 1 1 1 1 limlimlim1 11 1 xxx f xfx x xxx x 1 1 1 ff 則則 f x在在1x 處可導處可導 因此 因此 f x在在 0 2 上滿足拉格郎日中值定理的條件上滿足拉格郎日中值定理的條件 3 3 求求 2 2 0 ln 1 arcta 1 1 lim n x x xxe x 4 4 求曲線求曲線 1 1 3 5 tty ttx 上與參數(shù)上與參數(shù)1 t相應的點處的切線方程相應的點處的切線方程 解 解 切點坐標為 3 1 15 13 4 2 t t dx dy 4 切線斜率為1 1 t dx dy k 因此切線方程為02 yx 5 5 設設 2 22 0 arctanln 1 x f xxtxt dt 0 x 求 求 0arcsin 0 lim sin tan x f xf xxx 解解 令令 2 xtu 則 則 22 2txudtudu 當當0t 時 時 ux 當 當 2 tx 時 時 0u 所以所以 0 0 arctanln 1 2 2arctanln 1 x x f xuuuduuuu du 故故 0 00 4 2arctanln 1 0 limlim 1 tan arcsii 2 ns n x xx uuu du f xf x x xx 0 0 32 00 2 arctanln 1 arctanln 1 limlim1 2 xx xxxxx xx 6 6 求定積分求定積分 2 0 x edx 解解 x是取整數(shù)是取整數(shù) 因為因為 2 78 e 所以 所以ln72ln8 于是于是 2ln2ln3ln72 00ln2ln6ln7 267 x edxdxdxdxdx 14ln 7 7 7 計算不定積分計算不定積分 22 d 0 xaxa 解 解 令令 22 uxa 1v 則則 22 x xa u vx 22 dxax 22 xxa 2 22 d x xa x 22 x xa 2 22 d x xa x 22 x xa 222 22 d xaa xa x 22 x xa 22 dxax 22 d2x xa a 5 原式原式 2 2222 1 ln 22 a xxaxxaC 8 8 求求函數(shù)函數(shù) 1 x e y x 的的極值極值以及由此函數(shù)所表示的曲線的以及由此函數(shù)所表示的曲線的凹向區(qū)間 拐點凹向區(qū)間 拐點和和漸近線漸近線 解解 四四 本題滿分本題滿分 6 6 分分 若若 f x在在 a a 上連續(xù)上連續(xù) a 0 且且 fx 0 又又 a a g xxt f t dt 試討論試討論 g x 在在 a a 上的單調性上的單調性 解解 只要只要證明證明 0gx 即可即可 因為因為 xa ax g xf txt dtf t tx dt xxxx aaaa xf t dttf t dtxf t dttf t dt xx aa g xf t dtf t dt 20 g xf x 所以所以 gx在在 a b上上單調增加單調增加 得分得分 6 五五 本題滿分本題滿分 6 6 分分 設曲線方程為設曲線方程為 x ye 0 x 將曲線將曲線 x ye x y軸和直線軸和直線 0 xt t 所圍平面圖形繞所圍平面圖形繞x軸軸旋轉一周 求所得旋轉體旋轉一周 求所得旋轉體 體積體積 V t 并求滿足 并求滿足 1 lim 2 t VV tk 的常數(shù)的常數(shù)k 解解 22 00 tt x Vdxetydx 2 1 2 t e 又又 2 11 limlim 1 222 t tt V kteV 1 2 24 由由 2 1 24 k e 解得解得 1 ln2 2 k 六六 本題滿分本題滿分 6 6 分分 計算廣義積分計算廣義積分 2 22 1 111 ln 1 1 dx xxxx 解解 原式 2 12 0 1 2 11 lim 2 1 11ln x xx 0 111 3 lim ln2ln 1 2 0 1ln 1 3lim ln2 0 1 1 1 1 3lim ln22 71 2ln2 七七 本題共本題共 2 2 小題小題 每小題每小題 5 5 分分 滿分滿分 1010 分分 1 1 證明 若證明 若 f x連續(xù)且為奇函數(shù) 則其原函數(shù)必為偶函數(shù)連續(xù)且為奇函數(shù) 則其原函數(shù)必為偶函數(shù) 證明證明 設設 0 x F xf t dt 由于由于 f x連續(xù) 所以 連續(xù) 所以 F x為