初高中數(shù)學(xué)銜接教材2.doc

洛江區(qū)初高中數(shù)學(xué)銜接教材 -林武成整理 08年6月 現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)” 1立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多,而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要 求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。6圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握。7含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。目 錄1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1絕對(duì)值1.1.2. 乘法公式1.1.3二次根式1.1.分式12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法2.3.2 一元二次不等式解法31 相似形3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 幾種特殊的三角形33圓3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系3.3.2 點(diǎn)的軌跡1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點(diǎn)P 在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè) x0，或x4練 習(xí)1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則3化簡(jiǎn)：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例1 計(jì)算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 練 習(xí)1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值 （ ） （A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù) 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式. 例如 ，等是無(wú)理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計(jì)算：解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化簡(jiǎn)：解： 例 5 化簡(jiǎn)：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習(xí)1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比較大?。? （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當(dāng)M0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計(jì)算：； （3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明：， （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明： ， 又n2，且n是正整數(shù)， 一定為正數(shù)， 例3設(shè)，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2練 習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3正數(shù)滿足，求的值4計(jì)算習(xí)題11A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_B 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）計(jì)算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3計(jì)算：4試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有1.1.1絕對(duì)值1（1）； （2）；或 2D 33x181.1.2乘法公式1（1） （2） （3）2（1）D （2）A1.1.3二次根式1 （1）（2）（3）（4）2C 31 41.1.4分式1 2B 3 4習(xí)題11A組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） B組1（1） （2），或 24C組1（1）C （2）C 2 34提示：12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成1與2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項(xiàng)，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242611圖1231211圖12212xx圖121 說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖121中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得11xy圖125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =練 習(xí)1選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）習(xí)題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)1.2分解因式1 B 2（1）(x2)(x4) （2）（3） （4）習(xí)題121（1） （2） （3） （4） 2（1）；（2）；（3）； （4）3等邊三角形42.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因?yàn)閍0，所以，4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來(lái)判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“”來(lái)表示綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21；當(dāng)a2時(shí)，0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ， ； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1x21； 當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個(gè)根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡(jiǎn)，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時(shí)，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例4 已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程 x24x120的兩個(gè)根 解這個(gè)方程，得 x12，x26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習(xí)1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2axb0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4已知方程x23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習(xí)題2.1A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個(gè)說(shuō)法： 方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是 （ ） （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 3已知關(guān)于x的方程x2kx20（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍4一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩根為x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)m的值C 組1選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x28x70的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的兩個(gè)根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程x22(1m)xm20有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2(ab)x0的根的情況是 （ ） （A）沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2填空：若方程x28xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 3 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx24kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值4已知關(guān)于x的方程（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x25若關(guān)于x的方程x2xa0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2.1 一元二次方程練習(xí)1 （1）C （2）D 2 （1）3 （2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （3）x22x303k4，且k041 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習(xí)題21A 組1 （1）C （2）B 提示：和是錯(cuò)的，對(duì)于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；對(duì)于，其兩根之和應(yīng)為 （3）C 提示：當(dāng)a0時(shí)，方程不是一元二次方程，不合題意2 （1）2 （2） （3）6 （3）3當(dāng)m，且m0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根4設(shè)已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)(x2)x1x21，所求的方程為y27y10B組1C 提示：由于k=1時(shí)，方程為x220，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以k12（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1(20051)2006 （2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)(1)22(1)33（1）(k)241(2)k280，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （2）x1x2k，x1x22，2k2，即k14（1）| x1x2|，；（2）x13x235| x1x2|，m3把m3代入方程，0，滿足題意，m3C組1（1）B （2）A （3）C 提示：由0，得m，2(1m)1 （4）B 提示：a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，abc，(ab)2c202（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x128x118，x12，x26，mx1x2123（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立一元二次方程4kx24kxk10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x22 2(x1x2)29 x1x22， 即，解得k，與k0相矛盾，所以，不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12 x2)成立（2）2 ，要使2的值為整數(shù)，只須k1能整除4而k為整數(shù)，k1只能取1，2，4又k0，k11， k1只能取1，2，4，k2，3，5能使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為2，3和5（3）當(dāng)k2時(shí)，x1x21， x1x2， 2，得28，即， 4（1）； （2）x1x20，x10，x20，或x10，x20 若x10，x20，則x2x12，x1x22，m22，m4此時(shí)，方程為x22x40， 若x10，x20，則x2x12，x1x22，m22，m0此時(shí)，方程為x220，x10，x225設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1x21，x1x2a， 由一根大于1、另一根小于1，得 (x11)( x21)0， 即 x1x2(x1x2)+10， a(1)10，a2 此時(shí)，124(2) 0， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a222 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)問(wèn)題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫(huà)出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2圖2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小問(wèn)題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)類似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值y（2）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值y xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖223和圖224直觀地表示出來(lái)因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(1，4)，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖25所示）說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)日銷售量y(銷售價(jià)x120)，日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時(shí)，z取最大值1600答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個(gè)函數(shù)，b8，c14說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆?