吳贛昌編 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2章最新版本ppt課件.ppt

第二章隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 在第一章中 我們用樣本空間的子集 即樣本點(diǎn)的集合來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果 這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限 在本章中 我們將用實(shí)數(shù)來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果 數(shù)量化 即引入隨機(jī)變量的概念 這樣 不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 而且可使我們用 數(shù)學(xué)分析 微積分的方法來討論隨機(jī)試驗(yàn) 在隨機(jī)試驗(yàn)中 如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來 即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X 使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果 都有一個(gè)實(shí)數(shù)X 與之對(duì)應(yīng) 試驗(yàn)的結(jié)果 實(shí)數(shù)X 對(duì)應(yīng)關(guān)系X 則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同 X是一個(gè)變量 且在每次試驗(yàn)中 究竟取什么值事先無法預(yù)知 也就是說X是一個(gè)隨機(jī)取值的變量 由此 我們很自然地稱X為隨機(jī)變量 2 1隨機(jī)變量 定義1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) S是試驗(yàn)E的樣本空間 如果對(duì)于S中的每一個(gè)樣本點(diǎn) 有一實(shí)數(shù)X 與之對(duì)應(yīng) 這個(gè)定義在S上的實(shí)值函數(shù)X 就稱為隨機(jī)變量 由定義可知 隨機(jī)變量X 是以樣本空間S為定義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù) 有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明 1 隨機(jī)變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)的函數(shù) 常用大寫字母X Y Z或小寫希臘字母 等表示 2 隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值 因而在試驗(yàn)結(jié)束之前 只知道其可能的取值范圍 而事先不能預(yù)知它取什么值 對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間 a b a X b 的概率是確定的 3 隨機(jī)變量X 的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合 4 引入隨機(jī)變量后 就可以用隨機(jī)變量描述事件 而且事件的討論 可以納入隨機(jī)變量的討論中 例2 1一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗(yàn) 作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示 則X是隨機(jī)變量 X的一切可能取值為0 1 2 20 X 0 表示事件 抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品 X 1 表示事件 抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品 X k 表示事件 抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品 例2 2將一顆骰子投擲兩次 觀察所得的點(diǎn)數(shù) 以X表示所得點(diǎn)數(shù)之和 則X的可能取值為2 3 4 12 而且 X 2 1 1 X 3 1 2 2 1 X 4 1 3 2 2 3 1 X 12 6 6 隨機(jī)變量X的取各個(gè)可能值的概率列于下表 P X 2 1 36 P X 3 2 36 P X 4 3 36 P X 12 1 36 例2 3一正整數(shù)n等可能地取1 2 3 15共十五個(gè)值 且設(shè)X X n 是除得盡n的正整數(shù)的個(gè)數(shù) 則X是一個(gè)隨機(jī)變量 且有下表 即可得X取各個(gè)可能值的概率為 例2 4一個(gè)地鐵車站 每隔5分鐘有一列地鐵通過該站 一位乘客不知列車通過該站的時(shí)間 他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站 則他候車的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量 而且X的取值范圍是 0 5 請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子 練習(xí)引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件 將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中 事件A 有1個(gè)空格 事件B 有2個(gè)空格 事件C 全有球 進(jìn)行5次試驗(yàn) 事件D 試驗(yàn)成功一次 事件F 試驗(yàn)至少成功一次 事件G 至多成功3次 關(guān)于隨機(jī)變量 及向量 的研究 是概率論的中心內(nèi)容 這是因?yàn)?對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) 我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量 而這些量就是隨機(jī)變量 也可以說 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象 而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn) 一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣 變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念 同樣 概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系 其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分類 隨機(jī)變量 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 一 離散型隨機(jī)變量及其分布律 1 離散型隨機(jī)變量的概念 若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè) 則稱這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率 2 分布律 定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X 其所有可能取值為x1 x2 xk 且取這些值的概率依次為p1 p2 pk 即 則稱P X xk pk k 1 2 為隨機(jī)變量X的概率分布律或稱分布律 也稱概率函數(shù) 分布律可用表格形式表示為 P X xk pk k 1 2 而且滿足 1 P X xk pk 0 k 1 2 2 例2 5設(shè)袋中有5只球 其中有2只白球 3只黑球 現(xiàn)從中任取3只球 不放回 求抽得的白球數(shù)X為k的概率 解 X k的所有可能取值為0 1 2 X是一個(gè)隨機(jī)變量 解設(shè)Ai 第i次射擊時(shí)命中目標(biāo) i 1 2 3 4 5則A1 A2 A5相互獨(dú)立 且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 例2 6某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次 每次命中目標(biāo)的概率為p 以X表示命中目標(biāo)的次數(shù) 求X的分布律 二 幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律 1 兩點(diǎn)分布定義2若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能取值 且其分布為 P X x1 p P X x2 1 p 0 p 1 則稱X服從x1 x2處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 特別地 若X服從x1 1 x2 0處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 即 則稱X服從參數(shù)為p的0 1分布 即隨機(jī)變量只可能取0 1兩個(gè)值 且P X 1 p P X 0 1 p 0 p 1 若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè) 如產(chǎn)品是否合格 試驗(yàn)是否成功 擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等 它們的樣本空間為S e1 e2 我們總能定義一個(gè)服從0 1分布的隨機(jī)變量 即它們都可用0 1分布來描述 只不過對(duì)不同的問題參數(shù)p的值不同而已 2 二項(xiàng)分布 1 伯努利 Bernoulli 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?P27 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足 1 在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn) 2 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果 A發(fā)生或A不發(fā)生 3 在每次試驗(yàn)中 A發(fā)生的概率均一樣 即P A p 4 各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 則稱這種試驗(yàn)為伯努利概型或n重伯努利試驗(yàn) 在n重伯努利試驗(yàn)中 人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù) 以隨機(jī)變量X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù) X可能取值為0 1 2 3 n 設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p 發(fā)生的概率為1 p q X k 表示事件 n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次 即 這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)A 而另外n k次試驗(yàn)中出現(xiàn) 且每一項(xiàng)兩兩互不相容 一共有Cnk項(xiàng) 由4 獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為pk 1 p n k 因此 此為n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式 記為 2 二項(xiàng)分布定義 若隨機(jī)變量X具有概率分布律 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記為X B n p 可以證明 正好是二項(xiàng)式 p 1 p n展開式的一般項(xiàng) 故稱二項(xiàng)分布 特別地 當(dāng)n 1時(shí)P X k pk 1 p 1 k k 0 1 即為0 1分布 二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn) P38 對(duì)于固定的n及p 當(dāng)k增大時(shí) 概率P X k 先隨之增大直至達(dá)到最大值 隨后單調(diào)減少 且當(dāng) n 1 p不為整數(shù)時(shí) 二項(xiàng)概率P X k 在k n 1 p 時(shí)達(dá)到最大值 2 當(dāng) n 1 p為整數(shù)時(shí) 二項(xiàng)概率P X k 在k n 1 p和k n 1 p 1時(shí)達(dá)到最大值 例2 7設(shè)有一大批產(chǎn)品 其次品率為0 002 今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查100件 試求所得次品件數(shù)的概率分布律 解設(shè) X k 表示事件 100件產(chǎn)品中有k件次品 則X可能取值為0 1 2 100 本題可視作100重貝努里試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生 k件次品 X B 100 0 002 因此 所求分布律為 例2 8某廠長(zhǎng)有7個(gè)顧問 假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率是0 6 且設(shè)顧問與顧問之間是否貢獻(xiàn)正確意見相互獨(dú)立 現(xiàn)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各顧問的意見 并按多數(shù)顧問的意見作出決策 試求作出正確決策的概率 解設(shè)X表示事件 7個(gè)顧問中貢獻(xiàn)正確意見的人數(shù) 則X可能取值為0 1 2 7 視作7重貝努里實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生 k個(gè)顧問貢獻(xiàn)出正確意見 X B 7 0 6 因此X的分布律為 所求概率為 例2 9從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗 假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù) 求X的分布律 2 求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 故X的分布律為 例2 10某人獨(dú)立地射擊 設(shè)每次射擊的命中率為0 02 射擊400次 求至少擊中目標(biāo)兩次的概率 解每次射擊看成一次試驗(yàn) 設(shè)擊中次數(shù)為X 則X B 400 0 02 X的分布律為 所求概率為 例2 10告訴我們兩個(gè)事實(shí) 1 雖然每次射擊的命中率很小 0 02 但射擊次數(shù)足夠大 為400次 則擊中目標(biāo)至少兩次是幾乎可以肯定的 概率為0 997 一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小 但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 這事件的發(fā)生幾乎是必然的 也就是說小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中是不可忽視的 2 若射手在400次獨(dú)立射擊中 擊中目標(biāo)的次數(shù)不到2次 則P X 2 1 P X 2 0 003 即命中目標(biāo)次數(shù)不到兩次是一件概率很小的事件 而這事件竟然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了 則根據(jù)實(shí)際推斷 我們有理由懷疑 每次射擊命中率為0 02 是否正確 即可以認(rèn)為命中率達(dá)不到0 02 泊松 Poisson 定理設(shè) 0 n是正整數(shù) 若npn 則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k 有 即當(dāng)隨機(jī)變量X B n p n 0 1 2 且n很大 p很小時(shí) 記 np 則 例2 10可用泊松定理計(jì)算 取 np 400 0 02 8 近似地有P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 3 泊松 Poisson 分布 若隨機(jī)變量X所有可能取值為0 1 2 且 其中 0是常數(shù) 則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布 記為X P 泊松分布產(chǎn)生的條件 隨機(jī)事件流 在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列 若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性 無后效性 普通性 則稱該事件流為泊松流 例如 某網(wǎng)站在一定時(shí)間內(nèi)收到的點(diǎn)擊次數(shù) 某超市收銀臺(tái)接待的顧客數(shù) 某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù) 泊松定理表明 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布 當(dāng)n很大 p很小時(shí) 二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù) np的泊松分布 例2 11某商店出售某種商品 具歷史記錄分析 每月銷售量服從參數(shù) 5的泊松分布 問在月初進(jìn)貨時(shí) 要庫(kù)存多少件此種商品 才能以0 999的概率充分滿足顧客的需要 解用X表示每月銷量 則X P P 5 由題意 要求k 使得P X k 0 999 即 這里的計(jì)算通過查Poisson分布表 p 292 294 得到 5 k 12時(shí) k 13時(shí) k 13即月初進(jìn)貨庫(kù)存要13件 例2 12設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布 且知一對(duì)夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e 2 求任選一對(duì)夫婦 至少有3個(gè)孩子的概率 解由題意 4 幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是1 2 3 且P X k 1 p k 1p qk 1p k 1 2 3 其中0 p 1是參數(shù) 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)p為的幾何分布 幾何分布背景 隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2種 A與 試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率P X k 即k次試驗(yàn) 前k 1次失敗 第k次成功 2 3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 前一節(jié)介紹的離散型隨機(jī)變量 我們可用分布律來完整地描述 而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量 由于其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來 而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零 例如 在測(cè)試燈泡的壽命時(shí) 可以認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間 0 事件X x0表示燈泡的壽命正好是x0 在實(shí)際中 即使測(cè)試數(shù)百萬只燈泡的壽命 可能也不會(huì)有一只的壽命正好是x0 也就是說 事件 X x0 發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng) 自然可以認(rèn)為P X x0 0 由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來表示 因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間 a b 上的概率 a b 由于 a x b x b x a a b 因此對(duì)任意x R 只要知道事件 X x 發(fā)生的概率 則X落在 a b 的概率就立刻可得 因此我們用P X x 來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況 P X x 隨機(jī)變量X取值不超過x的概率 定義1設(shè)X是一隨機(jī)變量 x是任意實(shí)數(shù) 則實(shí)值函數(shù)F x P X x x 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 有了分布函數(shù)定義 任意x1 x2 R x1 x2 隨機(jī)變量X落在 x1 x2 里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算 P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 在這個(gè)意義上可以說 分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 或者說 分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況 一 分布函數(shù)的概念 二 分布函數(shù)的性質(zhì) 1 單調(diào)不減性 若x1 x2 則F x1 F x2 2 歸一性 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 0 F x 1 且 3 右連續(xù)性 反之 具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù) 必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 例2 14設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如下表 解 試求出X的分布函數(shù) 例2 15設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號(hào)燈 每盞信號(hào)燈以概率1 2允許汽車通過或禁止汽車通過 以X表示汽車首次停下時(shí) 它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù) 各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立 求X的分布律 分布函數(shù)以及概率 解X的可能取值為0 1 2 3 且設(shè)p 1 2 則P X k p 1 p k k 0 1 2 P X 3 1 p 3 故X的分布律為 X的分布函數(shù) 所求概率為 一般地 X是離散型隨機(jī)變量 其概率分布律為P X xk pk k 1 2 則X的分布函數(shù)F x 為 F x 的圖像 非降 右連續(xù) 且在x1 x2 xk 處跳躍 離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的性質(zhì) 1 分布函數(shù)是分段函數(shù) 分段區(qū)間是由X的取值點(diǎn)劃分成的左閉右開區(qū)間 2 函數(shù)值從0到1逐段遞增 圖形上表現(xiàn)為階梯形跳躍遞增 3 函數(shù)值在點(diǎn)x xi處有跳躍 其跳躍高度恰為xi點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率值 P44 4 分布函數(shù)是右連續(xù)的 5 P X xi F xi F xi 0 例2 16向 0 1 區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn) 以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo) 假定質(zhì)點(diǎn)落在 0 1 區(qū)間任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比 求X的分布函數(shù) 解F x P X x 當(dāng)x1時(shí) F x 1 當(dāng)0 x 1時(shí) 特別 F 1 P 0 x 1 k 1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀 對(duì)非離散型隨機(jī)變量 是否有更直觀的描述方法 a b 2 4連續(xù)型隨機(jī)變量 1 定義1設(shè)F x 是隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在非負(fù)可積函數(shù)f x x 使對(duì)一切實(shí)數(shù)x 均有 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 且稱f x 為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù) 簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù) 一 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) X 連續(xù)型隨機(jī)變量 則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù) 1 非負(fù)性f x 0 x 2 密度函數(shù)的性質(zhì) 2 3 歸一性 事實(shí)上 4 若f x 在x處連續(xù) 則有 5 f x 在x0處連續(xù) 且 h充分小時(shí) 有 f x 稱為概率密度的原由 密度函數(shù)的幾何意義為 密度函數(shù)曲線位于Ox軸上方 即y f x x a x b x軸所圍成的曲邊梯形面積 對(duì)任意實(shí)數(shù)c 若X的密度函數(shù)為f x x 則P X c 0 連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一固定值的概率為0 證明 令 即得P X c 0 因此 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X 有 不同于離散型 不可能事件的概率為零 但概率為零的事件不一定是不可能事件 連續(xù)型隨機(jī)變量X取任意值a的概率為0 與離散型隨機(jī)變量不同 同樣 必然事件的概率為1 但概率為1的事件不一定是必然事件 譬如在 0 1 中隨機(jī)抽一個(gè)數(shù) 這個(gè)數(shù)是0 5的概率是0 但是并不是不可能 同樣 抽到的數(shù)落在 0 1 中的概率是1 但也不是必然的 例2 17設(shè) 求 1 常數(shù)K 2 X的分布函數(shù) 3 解 1 由性質(zhì) 得 解之得 2 X的分布函數(shù)為 3 練習(xí)已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 1 求常數(shù)A 2 求X的密度函數(shù)f x 3 求P X 0 5 1 5 二 幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 若隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù) 1 均勻分布 則稱X在 a b 上服從均勻分布 記作X U a b 對(duì)任意實(shí)數(shù)c d a c d b l d c 都有 若X U a b 則X具有下述等可能性 X落在區(qū)間 a b 中任意長(zhǎng)度相同的子區(qū)間里的概率是相同的 即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度 而與子區(qū)間的位置無關(guān) X的分布函數(shù) f x F x 的圖像分別為 Oabx f x Oabx F x 1 例2 18設(shè)隨機(jī)變量X U 1 6 求一元兩次方程t2 Xt 1 0有實(shí)根的概率 解當(dāng) X2 4 0時(shí) 方程有實(shí)根 所求概率為 而X的密度函數(shù)為 另解 例2 19長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分 25分 55分發(fā)車 設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間 于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站 求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率 15 45 解設(shè)A 乘客候車時(shí)間超過10分鐘 X 乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá) 則X U 0 60 則稱X服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布 其分布函數(shù)為 2 指數(shù)分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度 例2 20電子元件的壽命X 年 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 1 求該電子元件壽命超過2年的概率 2 已知該電子元件已使用了1 5年 求它還能使用2年的概率為多少 解 指數(shù)分布ForeverYoung 無記憶性 例2 21某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T 設(shè) 0 t 時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為 t的泊松分布 求T的概率密度 解 當(dāng)t 0時(shí) F t 0 當(dāng)t 0時(shí) F t P T t 1 P T t 1 P 在t時(shí)刻之前無汽車過橋 1 P X 0 1 e t 于是 注 通常概率密度不能直接求得時(shí) 先求分布函數(shù) 正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛 在理論上研究最多的分布之一 故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位 3 正態(tài)分布 A B A B間真實(shí)距離為 測(cè)量值為X X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài) 則稱X服從參數(shù)為 2的正態(tài)分布 記為X N 2 若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 其中 為實(shí)數(shù) 0 f x 的圖像為 1 單峰對(duì)稱密度曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱 即f x f x x 正態(tài)分布密度函數(shù)f x 的圖形特征 2 x 時(shí) f x 取得最大值f 3 x 處有拐點(diǎn) 4 的大小直接影響概率的分布 越大 曲線越平坦 越小 曲線越陡峭 如圖 正態(tài)分布也稱為高斯 Gauss 分布 5 曲線f x 以x軸為漸近線 易知 且 事實(shí)上 令 正態(tài)分布隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 其圖像為 O x F x 1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)參數(shù) 0 2 1時(shí) 稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 記作X N 0 1 分布函數(shù)表示為 其密度函數(shù)表示為 Ox 1 x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為 可得 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) x 的函數(shù)值 書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 P295 表中給出了x 0的函數(shù)值 當(dāng)x 0時(shí) 可利用 x 1 x 計(jì)算得到 例2 22已知X N 0 1 求P X 3 P X 3 解P X 3 3 1 3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 P X 3 P 3 X 3 3 3 3 1 3 2 3 1 2 0 9987 1 0 9974 1 0 9987 0 0013 一般地 X N 0 1 P X x x P X x 2 x 1 對(duì)于一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量X N 2 可通過將其分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法來計(jì)算其分布函數(shù)值 即概率 設(shè)隨機(jī)變量X N 2 其分布函數(shù)為FX x 則有 證明 一般有 例2 23已知X N 1 4 求P 5 X 7 2 P 0 X 1 6 解 分位數(shù)的概念 X N 2 p 0 1 若實(shí)數(shù)up滿足P X up p 則稱up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位點(diǎn) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 UpOx p 例2 24設(shè)有一項(xiàng)工程有甲 乙兩家公司投標(biāo)承包 甲公司要求投資2 8億元 但預(yù)算外開支波動(dòng)較大 設(shè)實(shí)際費(fèi)用X N 2 8 0 52 乙公司要求投資3億元 但預(yù)算外開支波動(dòng)較小 設(shè)實(shí)際費(fèi)用Y N 3 0 22 現(xiàn)假定工程資方掌握資金 1 3億元 2 3 4億元 為了在這兩種情況下 不至造成資金赤字 選擇哪家公司來承包較為合理 解 1 工程資方掌握資金3億元 若委托甲公司承包 若委托乙公司承包 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 0 6554 2 請(qǐng)自己完成 委托甲公司承包較為合理 正態(tài)隨機(jī)變量的3 原則 P52 設(shè)X N 2 在工程應(yīng)用中 通常認(rèn)為P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在質(zhì)量控制中 常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 3 作兩條線 當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào) 表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常 在一次試驗(yàn)中 正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以 為中心 3 為半徑的區(qū)間 3 3 內(nèi)的概率相當(dāng)大 0 9973 即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi) 或者說在一般情形下 X在一次試驗(yàn)中落在 3 3 以外的概率可以忽略不計(jì) 例2 25一種電子元件的使用壽命 小時(shí) 服從正態(tài)分布 100 152 某儀器上裝有3個(gè)這種元件 三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的 求 使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率 解設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù) 則Y B 3 p 故 其中 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 一 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律 2 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量 分布律為X P X xk pk k 1 2 則當(dāng)Y g X 的所有取值為yj j 1 2 時(shí) 隨機(jī)變量Y有如下分布律 P Y yj qj j 1 2 其中qj是所有滿足g xi yj的xi對(duì)應(yīng)的X的概率P X xi pi的和 即 例2 26設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布律 試求隨機(jī)變量Y X 3 2 1的分布律 解Y的所有可能取值為1 5 17 故 Y的分布律為 二 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 1 一般方法設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX x x Y g X 為隨機(jī)變量X的函數(shù) 則Y的分布函數(shù)為FY y P Y y P g X y 從而Y的概率密度函數(shù)fY y 為 此法也叫 分布函數(shù)法 例2 27設(shè)隨機(jī)變量 求Y 3X 5的概率密度 解先求Y 3X 5的分布函數(shù)FY y Y的概率密度函數(shù)為 例2 28設(shè)X U 1 1 求