數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(理工類)一.doc

精品文檔第一章 行列式一、本章知識串講行列式的重點是計算，應(yīng)當(dāng)在理解階行列式的概念、掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計算三階、四階行列式，也要會計算簡單的階行列式的值.計算行列式的基本方法是：按行（列）展開公式，通過降階來實現(xiàn)，但在展開之前往往先通過對行列式的恒等變形，以期新的行列式中能構(gòu)造出較多的零或有公因式，從而可簡化計算.行列式計算的常用技巧有：三角化法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，公式法等.行列式在線性代數(shù)中有較多的應(yīng)用.例如：（1）當(dāng)=0時，齊次方程組有非零解，而非齊次方程組不是唯一解（可能無解，亦可能有無窮多解）.而當(dāng)時，由克萊姆法則，可求出的唯一解. （2）可證明矩陣可逆，并由伴隨矩陣求出. （3）對個維向量可通過計算行列式是否為零來判斷它們是線性相關(guān)或線性無關(guān). （4）矩陣的秩是用中非零子式的最高階數(shù)來定義的. （5）求矩陣的特征值，即計算 （6）判斷二次型的正定性，可用順序主子式全大于零. 【評注】這些應(yīng)用，要求考生在概念上應(yīng)清晰，運用時要靈活，對知識的銜接與內(nèi)在聯(lián)系要把握得較好（在微積分中，行列式也多次出現(xiàn)，幫助我們記憶與運算，例如，向量積，混合積，平面方程的建立，重積分的變量代換公式，曲面積分中的斯托克斯定理，場論中的旋度等）. 二、大綱考查要點詮釋 1行列式的概念 階行列式 （1.1）是否有取自不同行不同列的個元素乘積的代數(shù)和，它由項組成，其中帶正號與帶負號的項各占一半，表示排列的逆序數(shù). 2行列式按行（列）展開公式 （1.2）其中 （1.3）是中去掉第行及第列元素后的階行列式，并帶有符號，稱為的代數(shù)余予式. 特別地，考生應(yīng)熟悉： （1）上（下）三角行列式等于其主對角線上元素的乘積，即 （1.4） （2）關(guān)于副對角線，其計算公式為（1.5） （3）兩種特殊的拉普拉斯（Laplace）展開式： 設(shè)是階矩陣，是階矩陣，則 （1.6）【注】代數(shù)余子式的性質(zhì)除用于按行（列）展開公式計算列式外，還有兩條重要性質(zhì)： （1）只改變所在行和列中元素的值并不影響其代數(shù)余子式特別地，與的取值沒有關(guān)系.例如，兩個行列式的并不相同，但第一行元素的代數(shù)余子式是完全一樣的. （2）行列式一行（列）元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和必為零.即 （1.7）【例1.3】已知求（1） 3行列式的性質(zhì) （1）經(jīng)轉(zhuǎn)置的行列式的值不變，即這表明在行列式中行與列的地位是對等的，因此，行列式的行所具有的性質(zhì)，對于列亦具有. 為簡捷，下面僅敘述行的性質(zhì). （2）行列式中某一行積各元素如有公因數(shù)則可以提到行列式符號外，特別地，若行列式中某行元素全是零，則行列式的值為零. （3）如果行列式中某行的每個元素都是兩個數(shù)的和，則這個行列式可以拆成兩個行列式的和.4幾個重要公式 （1）若是階矩陣，則 (1.8) （2）若都是階矩陣，則 (1.9) （3）若是階矩陣，則 (1.10) 若是階可逆矩陣，則 (1.11)則 （1.12） （5）若是階矩陣，是的特征值，則 （1.13） 【例1.7】設(shè)均為階矩陣，則 （1） (2) 【評注】往屆考生在應(yīng)用公式上出錯較多，對的公式也不熟悉.在（1）中是矩陣相乘，用行列式乘法公式（1.9）進行計算；（2）中是行列式是數(shù)，用公式（1.8）進行計算，兩者不要混淆. 三、典型題型分析及解題方法與技巧 題型（一） 有關(guān)行列式的概念與性質(zhì)的命題 【例1.8】方程的根的個數(shù)為（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【分析】問方程有幾個根，也就是問是的幾次多項式，為此應(yīng)先對作恒等變形，將第1列的-1倍分別加至第2、3、4列得再將第2列加至第4列，行列式的右上角為.可用拉普拉斯展開式（1.6），從而知應(yīng)選（B）. 【例1.9】齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在階非零矩陣使得，則（ ） 【分析】對于，如則可逆.于是但可見必有因此排除（B）、（D）. 另一方面，對于知B的每一列都是齊次方程組的解，現(xiàn)在，故有非零解，從而顯然時，故應(yīng)選（C）. 【評注】作為選擇題，不要通過計算來求，只需把已知條件中之一代入驗證是否為零即可. 【例1.10】設(shè)是階矩陣，且則（ ） （A）中必有兩行元素對應(yīng)成比例 （B）中任一行向量是其余各行向量的線性組合 （C）中必有一列向量可由其余的列向量線性表出 （D）方程組必有無窮多解 【分析】（A）是充分條件，（D）方程組可能無解，故（A），（D）均錯誤.由知的行（列）向量組線性相關(guān)，但線性相關(guān)向量組中，只是有向量可由其余向量線性表出，并不是每一個向量都可由其余向量線性表出，參看【定理2.2】及【定理2.4】.故應(yīng)選（C）. 【例1.11】已知都是行列式值為2的3階矩陣，則【分析】由公式（1.6），（1.8）,（1.11）等，有 【評注】對于拉普拉斯展開式（1.6）要正確應(yīng)用，不能錯誤地按2階行列式來計算.例如是不是正確的，應(yīng)當(dāng)是其中分別是的階數(shù). 【例1.12】已知階行列式 則的第行代數(shù)余子式的和 【評注】請回顧考點詮釋中有關(guān)代數(shù)余子式的【例1.3】.并用【例1.3】（2）的方法通過算階行列式的值來解本題. 【例1.13】已知都是4維列向量，且，則. 【分析】中第1列是兩個數(shù)的和，用性質(zhì)（3）可將其拆成兩個行列式的和，再利用對換，提公因式等行列式性質(zhì)作恒等變形，就有于是 題型（二）行列式的計算 【解題思路】計算行列式值的最基本方法是：按行（列）展開公式，另外，常用的方法還有： .三角公法 【例1.14】計算行列式 之值. 【解】從第1行開始，依次把每行加至下一行，得 【例1.17】計算行列式之值. 【解】把每列均加至第1列，提取公因式，再把第1列加至2列，4列得（公式（1.5）. 【評法】三角化時常用的方法是逐行相加，把某行的適當(dāng)倍加至其它各行，把其它各行的適當(dāng)倍數(shù)加至某行等. .遞推法 【例1.19】計算行列式繼續(xù)使用這個遞推公式，有而初始值所以 【評注】對于規(guī)律性強且零元素多的行列式，可以考慮用按行展開公式建立遞推關(guān)系式來求行列式的值. .公式法【例1.21】計算行列式之值.【解】先互換2，3兩行，再對調(diào)2，3兩列，就可用拉普拉斯展開式（1.6），即【例1.22】計算行列式之值. 【解】由于，故用行列式乘法公式（1.9），得因中，系數(shù)是，所以 題型（三）含參數(shù)行列式的計算 【例1.24】已知求 【解】將第3行的-1倍加至第1行，有 所以 【評注】對這一類行列式，通常是將某行的倍加至另一行，以期出現(xiàn)的一次因式，提出的這個一次因式（也就求出了的一個根），再處理剩下的3階行列式可求出的另外兩個根. 本題亦可以將第2、3行加至第1行，這時有的公因式，請讀者完成. 題型（四）關(guān)于的證明 【解題思路】證明行列式常用的思路有： （1）設(shè)法證或 （2）反證法，如，從可逆找矛盾；、 （3）構(gòu)造齊次方程組，設(shè)法證明它有非零解； （4）設(shè)法證矩陣的秩 （5）證明0是矩陣的一個特征值. 【例1.27】設(shè)是階反對稱矩陣，如可逆，則必是偶數(shù). 【證明】因為是反對稱矩陣，即那么 即 如果是奇數(shù)，必有即與可逆相矛盾，所以必是偶數(shù). 【例1.28】設(shè)（單位矩陣），證明. 【證法一】如，則可逆，那么與已知條件矛盾. 【證法二】由，有，從而的每一列都是齊次方程組的解.又因故有非零解,從而. 【證法三】同上，由的每一列都是的解.所以又因故所以. 【證法四】同上，設(shè)是中非零列，則，則，0是的特征值，故. 【評注】這些證法有繁有易，也有雷同之外，關(guān)鍵是思路要開闊.對于我們應(yīng)認識到的每一列都是齊次方程組的解，的列向量只是的解的一部分，另一方面矩陣的秩也是偶列向量組的秩.因此從，得到線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)，使設(shè)中第一個不為0的數(shù)是，則用左乘上式，利用得，由于得，與已知矛盾. 【例2.16】是矩陣，是矩陣，其中若證明的列向量線性無關(guān). 【證法一】對矩陣按列分塊，記如用分塊矩陣可寫成用矩陣左乘上式，并代入得所以的列向量線性無關(guān). 【證法二】對于，把與均安行分塊，記作其中是的第行，第個分量為1. 用分塊矩陣乘法，易見即可由線性表出.同理，也均可由線性表出. 顯然，坐標(biāo)向量可表示任一個維向量于是與可互相線性表出，是等價向量組，有相同的秩.所以因為，矩陣的秩=行秩=列秩（【定理2.8】），從知，的列向量組線性無關(guān). 【證法三】因為是矩陣，且，從矩陣秩的定義知：.又因所以，那么的列向量組的秩是，即其線性無關(guān). 【例2.17】是階矩陣，是維列向量，且證明線性無關(guān). 【分析】對如何證明組合系數(shù)呢？要作恒等變形應(yīng)仔細分析已知條件，的條件其實就是這啟發(fā)我們應(yīng)用左乘來作恒等變形. 【證明】若用左乘有即 亦即再用左乘，可得由故必有依次往上代入得及，所以線性無關(guān). 【例2.18】維向量非零且兩兩正交，證明線性無關(guān). 【分析】對題中的條件是正交，因此應(yīng)通過內(nèi)積來作恒等變形. 【證明】知用作內(nèi)積，有由于兩兩正交，故有因為非零，從而 類似地，用作內(nèi)積可知所以，線性無關(guān). 【例2.20】如果向量可以由線性表出，證明：表示法唯一的充分必要條件是線性無關(guān). 【證明】必要性（用反證法） 如線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)使因已知可由線性表出，設(shè)為兩式相加，可得到由于不全為0，故與是兩組不同的數(shù)，即有兩種不同的表示法，與已知矛盾. 充分性（用反證法）若有兩種不同的表達式，設(shè)為兩式相減，得由于不全為0（否則是一種表示法）得，線性相關(guān)，與已知矛盾. 【評注】線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明，常用的思路是用定義.設(shè) （）然后對此式作恒等變形（要向已知伯伯靠攏！）. 雖由得不到，消去律是不成立的，但從可得到.因此恒等變形的一種重要技巧就是按已知條件的信息，對（）式乘上某個“A”（如【例2.15】，【例2.18】，以及【例2.16】的證法一，【例2.19】的證法二等），另一方法是展開整理（）式，直接用已知條件轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組（如【例2.14】的證法一），最后通過分析論證的取值，得出所需結(jié)論. 另外，反證法，行列式，初等變換，等價向是組，矩陣秩的定義及性質(zhì)也都可用來判斷證明（如【例2.14】、【例2.15】的證法二，【例2.16】的證法二、三，【例2.20】等）. 【例2.21】已知均可由線性表出，證明線性相關(guān). 【證明】據(jù)已知條件，可設(shè)用分塊矩陣可寫為如即對于齊次方程組由于“方程個數(shù)未知數(shù)個數(shù)”必有非零解，設(shè)其為即所以線性相關(guān). 【例2.22】維列向量線性無關(guān)，且與非零向量都正交.證明線性相關(guān)，線性無關(guān). 【證明】用構(gòu)造矩陣因為與每個都正交，有進而，即是齊次方程組的非零解.同理也是的解. 又因齊次方程組的基礎(chǔ)解系僅由個解向量構(gòu)成，從而線性相關(guān).若 （*）那么，用作內(nèi)積，有因為及有得到將代入（*）式，有由于線性無關(guān)，得所以（*）中組合系數(shù)必全是零，即線性無關(guān). 題型（三）求秩與極大線性無關(guān)組 【例2.24】（1）已知是3階非零矩陣，且，則（ ）. （A）時， （B）時， （C）時， （D）時， （2）設(shè)階矩陣如則必為（ ）.（A）1 （B） （C）-1 （D） 【分析】（1）若是矩陣，是矩陣，且，則由的每列都是的解，可有從而 如，則，得因此應(yīng)排除.如則，得因此不正解，而非零，故僅正確. （2）由于，知且有階子式不為0. 如，顯然的2階子式全為0，故不入選.而時，由題沒有必有故應(yīng)先（B）. 【例2.25】求向量組 的一個極大線性無關(guān)組. 【解法二】把寫成列向量，構(gòu)成矩陣，再作初等行變換化為階梯形，即那么階梯形矩陣中每一行第一個非零元所在的列對應(yīng)的列向量就是極大線性無關(guān)組. 【例2.26】已知向量組（）（）（）如果它們的秩分別為求 【分析】由于得線性無關(guān)，那么向量組的秩至少是3，能否是4？關(guān)鍵就看能否用線性表出，或者看向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān). 【解法一】由知線性無關(guān)，線性相關(guān)，故可由線性表出.設(shè) 如果能由線性表出，設(shè)則于是可由線性表出，即線性相關(guān)，與已知相矛盾.所以不能用線性表出，由秩的定義知 【解法二】如果把（理由同前，略）代入有由于，知線性無關(guān)，從而 下略. 【解法三】同前，設(shè)構(gòu)造矩陣作初等列變換. 即.由于初等變換不改變秩，故 題型（四） 有關(guān)秩的證明【例2.27】設(shè)向量組的秩是，證明其中任意選取個向量所構(gòu)成向量組的秩【證明】在中任取個向量，設(shè)其秩是且是其極大線性無關(guān)組. 由于，因此對可再擴充即 【例2.28】是階矩陣，證明 【證明】若，則可逆，于是可逆，故 若則中所有階行列式全為0，于是即. 若，則但存在階子式不為0，因此又因有即從而 【評注】伴隨矩陣的秩只有3種取值，這一特點應(yīng)當(dāng)清楚.如的秩有幾種取值？本題的證明要求考生對秩的概念很清晰，同時對秩的重要公式“如，則”要會靈活運用. 【例2.29】是矩陣，是矩陣，證明 【證法一】設(shè)是矩陣，對均按行分塊，記為用分塊矩陣乘法，得即向量組可由向量組線性表出，那么 【證法二】構(gòu)造兩個齊次線性方程組 ， ，其中. 由于方程組的解必是方程組的解，因此（的解向量）（的解向量）即從而 【評注】由于“矩陣的秩=行秩=列秩”，有關(guān)矩陣的問題常轉(zhuǎn)化為向量組來討論，如證法一；齊次方程組的基礎(chǔ)解系由個線性無關(guān)的解向是所構(gòu)成，它與秩有關(guān)聯(lián)，因而秩的論證有時也通過構(gòu)造齊次方程組來實現(xiàn)，如證法二；初變換不改變矩陣的秩，因而化其為等價標(biāo)準(zhǔn)形，再進行分析論證，如證法三.這些常用方法大家應(yīng)了解. 【例2.30】是階矩陣，證明： 【證明】由得即故又所以 題型（五）關(guān)于的證明 【例2.31】是階實對稱矩陣，且證明 【證法二】由那么對任一個維列向量，有即即可見是零向量，即也就是任一個維向量都齊次方程組的解，因而有個線性無關(guān)的解，于是即又因所以即 【證法三】因為是實對稱矩陣，必可對角化.設(shè)則由此可得由于故由此可得所以， 【注】但可見實對稱的條件是重要的. 【例2.32】已知是矩陣，是矩陣，證明。 【證法一】由知的列向量中有個是線性無關(guān)的，設(shè)為 令它是階矩陣，其秩是因此可逆. 由知那么右乘得 【證法二】由知的每一列都是齊次方程組解，因為故至少有個線性無關(guān)的解，但最多有個線性無關(guān)的解, 于是按秩的定義又有所以即. 【證法三】對矩陣按行分塊，有那么 因為知線性無關(guān)，于是組合系數(shù)同理，得即 【評法】與是兩個完全不同的概念，在證明時處理的方法明顯不同，一定不要混淆.請對照第一章中題型（四）搞清概念與方法. 證明的基本方法是：設(shè)法證明的每一個元素都是0（或反證）；或用秩，設(shè)法證 【例2.33】是矩陣，是階矩陣，如證明 【分析】由即要證 【證明】對按列分塊，記由知，線性無關(guān)，因此，齊方程組只有零解. 已知，即那么的每一列都是解，從而得 題型（六）有關(guān)向量空間的判定、維數(shù)、基與坐標(biāo)的命題 【例2.34】判斷下列3維向量的集合是不是的子空間，如是子空間，則求其維數(shù)與一組基 （1） （2） （3） （4） （5） 【分析】要判斷是不是子空間，就是要檢查對于向量的加法及數(shù)乘這兩個運算是否封閉.如是子空間，則中向量的極大線性無關(guān)組就是一組基，而向量組的秩就是子空間的維數(shù). 【解】（1）不是子空間，因為對數(shù)乘向是不封閉.例如但時， （2）是子空間.因為而即對于運算封閉，是子空間.又線性無關(guān)且能表示中任一向量，因而是的一組基，那么 （3）是子空間.如即是齊次方程的解.由于仍是解，故對運算封閉，是子空間. 是基礎(chǔ)解系，也就是的一組基，那么 （4）不是子空間.因為非齊次方程組的解相加不再是此方程組的解，即對加法不封閉. （5）不是子空間，因為條件等同于理由同（4）. 【評注】維向量與維向量空間是兩個不同的概念. 維向量是指每個向量有個分量，而維向量空間是指這個向量集合中，有個線性無關(guān)的向量，而任意個向量是線性相關(guān).例如，是3維向量的集合，但其中存在兩個向量線性無關(guān)，而任意3個向量必線性相關(guān)，所以作為空間是2維的. 題型（七）求過渡矩陣及坐標(biāo)變換 【例2.38】已知的兩組基 （1）求由基到基的過渡矩陣； （2）求在這兩組基下的坐標(biāo)； （3）求向量，使它在這兩組基下有相同的坐標(biāo).可見在這兩組基下的坐標(biāo)分別是和 （3）設(shè)亦即所以，僅零向量在這兩組基下有相同的坐標(biāo). 【注】請讀者先求在基下的坐標(biāo)，再用過渡矩陣求在下的坐標(biāo). 題型（八）求標(biāo)準(zhǔn)正交基 【例2.39】設(shè)是秉為2的54矩陣，是齊次線性方程組的解向量，求的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. 【解】因為秩，所以解空間的維數(shù)是又因線性無關(guān)，故是解空間的一組基.令 再單位化，得，即是解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. 【評注】從，知解空間的維數(shù)是那么，3個解向是一定線性相關(guān)，應(yīng)當(dāng)先從中篩選出基（不唯一），再Schmidt 正交化這是不妥的.本題解答不唯一. 與雖不同，但單位化后是一樣的，即因此，對單位化時，為了簡捷少出錯，只需要單位化即可. 題型（九） 有關(guān)秩與直線平面的綜合題 【例2.41】設(shè)矩陣是滿秩的，則直線與直線的位置是（ ）. （A）相交于一點 （B）重合 （C）平行但不重合 （D）異面 【分析】初等變換不改變矩陣的秩，由可知，后者的秩仍應(yīng)是3，所以直線的方向向量 線性無關(guān)，因此排除（B），（C）. 究竟是相交還是異面呢？在這兩條直線上各取一點與，可構(gòu)造向量如果共面，則兩址線相交，如不共面，則兩直線異面.而三個向量的共面問題可用向量的混合積或線性相關(guān)性來判斷.例如或，所以，應(yīng)選（A）. 【例2.42】設(shè)，則平面上三條直線交于一點的充分必要條件是（ ）. （A） （B） （C） （C）線性無關(guān)，但線性相關(guān) 【分析】三條直線交于一點的充要條件是方程組有唯一解，即可由線性表出且表示法唯一.故（D）正確. （B）肯定錯，它表示線性無關(guān)，于是方程組無解.而（A），（C）均是交于一點的必在條件，僅行列式為0不能排除其中有平行直線，對于（C），因為秩可能是1，也就可能有平行直線.作為充要條件（A），（C）是不正解的. 【例2.43】空間中有三個平面 如記是平面的法向量，是方程組的系數(shù)矩陣，是增廣矩陣，是的延伸向量. （1）平面兩兩不平行，有且僅有一個公共點的充要條件是. 這可從方程組有唯一解來推導(dǎo)，亦可從法向量來看，這時的三個法向量不共面，因而線性無關(guān)，即，延伸后仍線性無關(guān).故. （2）三個平面兩兩相交，圍成一個三棱柱的充要條件是線性相關(guān)，但任兩個線性無關(guān)，且， 法向量在與三棱垂直的平面上，因而共面，但不共線，因此線性相關(guān)，但任兩個線性無關(guān)，從而，此時方程組無解，. （3）三個平面兩兩不平行，并有一條公共直線的充要條件是線性相關(guān)，但任兩個線性無關(guān)，且 【注】（2）與（3）法向量情況一樣，區(qū)別僅在方程組有解或無解，從而或 （4）有兩個平面平行（不重合），第三個平面與它們相交的充要條件是線性相關(guān)，但不能用線性表出，且. （5）有兩個平面重合，第三個平面與它們相交的充要條件是線性相關(guān)，但不能用線性表出，且第三章 矩陣及其運算一、本章知識串講 矩陣在高等數(shù)學(xué)中是一個極重要且應(yīng)用廣泛的概念，它是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對矩陣的理解與掌握要扎實深入，融會貫通.矩陣是考核檢查的重點內(nèi)容之一. 矩陣是一個表格，作為表格的運算與數(shù)的運算既有聯(lián)系又有差別.對各種特殊矩陣應(yīng)掌握其定義、性質(zhì)，會用定義來判斷證明是哪一類矩陣.讀者應(yīng)記?。簾o論是否可逆，總成立，要會靈活運用這一公式.分塊矩陣在矩陣乘法及求逆、齊次方程組的解，向量的線性表出、線性相關(guān)及秩等方面，往往大有可為. 二、大綱考查要點詮釋 1矩陣的概念 個數(shù)排成的行列的表格稱為矩陣.簡記為，或若，則稱是階矩陣或階方陣. 如果矩陣中所有元素都是則稱其為零矩陣，記作. 同型矩陣 對于階矩陣，其元素可構(gòu)造階行列式稱為方陣的行列式，記作 【注意】矩陣是由數(shù)構(gòu)成的一種表格，而行列式是按一定運算法則所確定的一個數(shù)，表格與數(shù)是兩個不同的概念.要理解矩陣的概念，注意矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別，兩者不要混淆.當(dāng)時，與可能相等亦可能不等 ，從得不到 【例3.1】是階矩陣，證明： 【錯證一】由行列式乘法公式（1.9），得即因，故從而 【錯證二】由，按（1.9）得因故，從而 【評注】這兩種錯誤碼證明，主要是沒弄清時，與究竟有何聯(lián)系？請讀者注意【例1.28】. 2幾類特殊方陣 設(shè)是階