立體幾何求角.doc

精品文檔立體幾何求角一解答題（共8小題）1如圖，在正四棱錐PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點（1）求證：PCBD；（2）求直線BE與PA所成角的余弦值2如圖，已知ABC和BCD所在平面互相垂直，且BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD，點E，F(xiàn)分別在線段BD，CD上，沿直線EF將EFD向上翻折使得D與A重合（）求證：ABCF；（）求直線AE與平面ABC所成角3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點（1）求證：DEBC；（2）求三棱錐EBCD的體積4如圖：ABCD是平行四邊形，AP平面ABCD，BEAP，AB=AP=2，BE=BC=1，CBA=60（1）求證：EC平面PAD；（2）求證：平面PAC平面EBC；（3）求直線PC與平面PABE所成角的正弦值5如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA=AD=1，AB=2（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：平面PMC平面PCD；（3）求點D到平面PMC的距離6如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值7如圖，已知三棱錐PABC，PA平面ABC，ACB=90，BAC=60，PA=AC，M為PB的中點（）求證：PCBC（）求二面角MACB的大小8如圖，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若DAB=60，AB=2，AD=1（1）求證：PABD；（2）若PCD=45，求點D到平面PBC的距離h立體幾何求角一解答題（共8小題）1如圖，在正四棱錐PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點（1）求證：PCBD；（2）求直線BE與PA所成角的余弦值【解答】證明：（1）四邊形ABCD為正方形，且PA=AB=a，PBC，PDC都是等邊三角形，（2分）E是棱PC的中點，BEPC，DEPC，又 BEDE=E，PC平面BDE（5分）又BD平面BDE，PCBD（6分）解：（2）連接AC，交BD于點O，連OE 四邊形ABCD為正方形，O是AC的中點（8分）又E是PC的中點OE為ACP的中位線，APOEBEO即為BE與PA所成的角 （10分）在RtBOE中，BE=，EO=，（12分）cosBEO=直線BE與PA所成角的余弦值為（14分）2如圖，已知ABC和BCD所在平面互相垂直，且BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD，點E，F(xiàn)分別在線段BD，CD上，沿直線EF將EFD向上翻折使得D與A重合（）求證：ABCF；（）求直線AE與平面ABC所成角【解答】解：（1）面ABC面BCD，面ABC面BCD=BC，BCD=90CFBC，F(xiàn)C面ABC，ABCF（5分）（2）設，設BE=t，則ED=EA=2t，取BC的中點H，連接HE，AH，又（7分）又AH面BCD，AE2=AH2+EH2，（2t）2=+t2t+，點E是BD的中點，（10分）HEBC，HE面ABC，BEA為所求角的線面角（12分）（14分）所以直線AE與平面ABC所成角為（15分）3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點（1）求證：DEBC；（2）求三棱錐EBCD的體積【解答】證明：（1）取BC中點F，連結EF，AF，則EFBCB1的中位線，EFBB1，EF=BB1，ADBB1，AD=BB1，EFAD，EF=AD，四邊形ADEF是平行四邊形，DEAF，AB=AC，F(xiàn)是BC的中點，AFBC，DEBC（2）BB1平面ABC，AF平面ABC，BB1AF，又AFBC，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，BCBB1=B，AF平面BCC1B1，DE平面BCC1B1，AC=5，BC=6，CF=3，AF=4，DE=AF=4BC=BB1=6，SBCE=9三棱錐EBCD的體積V=SBCEDE=124如圖：ABCD是平行四邊形，AP平面ABCD，BEAP，AB=AP=2，BE=BC=1，CBA=60（1）求證：EC平面PAD；（2）求證：平面PAC平面EBC；（3）求直線PC與平面PABE所成角的正弦值【解答】（1）證明：因為BEPA，BE平面PAD，PA平面PAD，所以BE平面PAD，同理BC平面PAD，所以平面PAD平面EBC，因為EC平面EBC，所以EC平面PAD（4分）（2）證明：因為AB=2，BC=1，CBA=60，由余弦定理得，AC=，所以由勾股定理逆定理BCA=90，所以ACBC，又因為BE平面ABCD，所以BEAC，則有AC平面EBC，AC平面PAC所以平面BEC平面PAC（8分）（3）解：作CHAB于H，連結PH，又因為CHPA，所以CH平面PABE，所以HPC即為線面角，（13分）5如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA=AD=1，AB=2（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：平面PMC平面PCD；（3）求點D到平面PMC的距離【解答】（1）證明：設PD的中點為E，連接AE、NE，由N為PC的中點知EN平行且等于DC，又ABCD是矩形，DC平行且等于AB，EN平行且等于AB又M是AB的中點，EN平行且等于AM，AMNE是平行四邊形MNAE，而AE平面PAD，NM平面PADMN平面PAD（2）證明：PA=AD，AEPD，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，而CDAD，CD平面PADCDAE，PDCD=D，AE平面PCD，MNAE，MN平面PCD，又MN平面PMC，平面PMC平面PCD（3）解：設點D到平面PMC的距離為h，則，點D到平面PMC的距離h=6如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（）如圖，由已知ADBC，故DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角因為AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為證明：（）因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD又因為BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為7如圖，已知三棱錐PABC，PA平面ABC，ACB=90，BAC=60，PA=AC，M為PB的中點（）求證：PCBC（）求二面角MACB的大小【解答】解：（）證明：由PA平面ABC，PABC，又因為ACB=90，即BCACBC面PAC，PCBC（）取AB中點O，連結MO、過O作HOAC于H，連結MH，因為M是PB的中點，所以MOPA，又因為PA面ABC，MO面ABCMHO為二面角MACB的平面角設AC=2，則BC=2，MO=1，OH=，在RtMHO中，tanMHO=二面角MACB的大小為3008如圖，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若DAB=60，AB=2，AD=1（1）求證：PABD；（2）若PCD=45，求點D到平面PBC的距離h【解答】（1）證明：AD=1，AB=2，DAB=60，BD2=AB2+AD22ABADcos60=3，AD2+BD2=AB2，ADBD，PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD，又ADPD=D，BD平面PAD，PA平面