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第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問題的提出離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一 問題的提出 在實(shí)際中 人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣 求截面面積A 的分布 比如 已知圓軸截面直徑d的分布 再比如 已知t t0時(shí)刻噪聲電壓V的分布 求功率W V2 R R為電阻 的分布等 二 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例1 設(shè)X 求Y 2X 3的概率函數(shù) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知 Y g X 如何由X的分布求出Y的分布 解 當(dāng)X取值1 2 5時(shí) Y取對應(yīng)值5 7 13 而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件 兩者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可 一般地 若X是離散型r v X的分布律為 則Y X2的分布律為 三 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解 設(shè)Y的分布函數(shù)為FY y 例2 設(shè)X 求Y 2X 8的概率密度 于是Y的密度函數(shù) 故 注意到 0 x 4時(shí) 即 8 y 16時(shí) 此時(shí) Y 2X 8 當(dāng)y 0時(shí) 注意到 Y X20 解 設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和 求導(dǎo)可得 若 則Y X2的概率密度為 該概率密度函數(shù)對應(yīng)的分布為 從上述兩例中可以看到 在求P Y y 的過程中 關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g X y 中解出X 從而得到與 g X y 等價(jià)的X的不等式 這樣做是為了利用已知的X的分布 從而求出相應(yīng)的概率 這是求r v的函數(shù)的分布的一種常用方法 例如 例4 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求Y sinX的概率密度 解 所以 其中 x h y 是y g x 的反函數(shù) 設(shè)X是一個(gè)取值于區(qū)間 a b 具有概率密度f x 的連續(xù)型隨機(jī)變量 又設(shè)y g x 處處可導(dǎo) 且對于任意x 恒有g(shù) x 0或恒有g(shù) x 0 則Y g X 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 它的概率密度為 定理 解 例7設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 也服從正態(tài)分布 證明 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 II 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)概率密度的求法 1 先求出Y的分布函

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