幾種重要的離散型分布.ppt

1 幾種重要的離散型分布 第四節(jié) 2 一 二項分布 BinomialDistribution 例1某射手命中率為0 8 獨立射擊3次 求恰好命中兩次的概率 解 則恰好命中兩次的概率為 背景 作n次伯努利試驗的成功次數X所服從的分布 由可加性 由獨立性 3 若隨機變量X的分布律為 定義 則稱X服從參數為n p的二項分布 記為 驗證規(guī)范性 4 例2某人打靶 命中率為p 0 8 獨立重復射擊5次 求 1 恰好命中兩次的概率 2 至少命中兩次的概率 3 至多命中4次的概率 解 設X為命中數 1 2 3 5 解 例3某經理有7個顧問 對某決策征求意見 經理聽取多數人的意見 若每位顧問提出正確意見的概率均為0 7 且相互獨立 求經理作出正確決策的概率 提出正確意見的顧問人數 則經理作出正確決策的概率為 6 解 例4對某藥物的療效進行研究 假定這種藥物對某種疾病的治愈率為p 0 8 現在10個患者同時服此藥 求至少有6個患者治愈的概率 假定患者之間相互獨立 治愈人數 則至少有6個患者治愈的概率為 這個概率是很大的 也即 如果治愈率確為0 8 則在10人中治愈人數少于6人的情況是很少出現的 因此 如果在一次實際試驗中 發(fā)現10個病人中治愈不到6人 那么假定治愈率為0 8就值得懷疑了 7 解 例5假設有10臺設備 每臺的可靠性 無故障工作的概率 為0 90 每臺出現故障時需要由一人進行修理 問為保證在95 的情況下當設備出現故障時都能及時得到修理 至少需要安排幾個人值班 出故障機器臺數 因此 至少需要安排3個人值班 8 問題 若有200臺設備呢 需中心極限定理解決 解 出故障機器臺數 因此 至少需要安排3個人值班 9 解 例6 保險事業(yè) 若一年中某類保險者的死亡率為0 005 現有1萬人參加這類保險 試求在未來一年中在這些保險者里面 1 有40人死亡的概率 2 死亡人數不超過70人的概率 死亡人數 1 2 計算相當復雜 下面介紹一個實用的近似公式 10 證略 11 解 例7假如生三胞胎的概率為10 4 求在10萬次生育中 恰有兩次生三胞胎的概率 10萬次生育中生三胞胎的次數 直接用伯努利公式計算得 用泊松近似公式 可見 當n非常大時 近似程度令人滿意 12 二項分布的數字特征 13 所以 二項分布的數字特征 14 例8設某批產品共有N件 其中有M件次品 按如下兩種方式從中任選n件產品 1 每次取出觀察后放回 2 不放回 設取得的次品數為X 試分別就所述的兩種情形 求X的分布律 二 超幾何分布 1 由于是有放回的抽取 所以每次取到次品的概率均為M N 所以 解 即 15 2 若不還原 在N件產品中任選n件 其中恰好有k件次品的取法共有 所以 稱之為超幾何分布 16 17 在歷史上泊松分布是作為二項分布的近似 于1837年由法國數學家泊松引入的 近幾十年來 作為描繪 稀有事件 計數資料統(tǒng)計規(guī)律的概率分布 泊松分布日益顯示其重要性 成了概率論中最重要的幾個分布之一 在質量控制 排隊論 可靠性理論等許多領域內都有重要應用 實例 1 普魯士騎兵每年被馬踢死的人數服從參數為0 61的泊松分布 2 1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數 規(guī)模超過50000人 服從參數為0 69的泊松分布 三 泊松分布 PoissonDistribution 18 定義若隨機變量X的概率分布為 驗證規(guī)范性 則稱X服從參數為的泊松分布 記為 麥克勞林級數 19 泊松分布的實際背景 最簡流 例如 到達商店的顧客 用戶對某種商品質量的投訴 暴雨 交通事故 重大刑事案件 大震后的余震 到達某港口等待進港的貨輪 紡紗機上的斷頭 所形成的隨機質點流 分布參數的概率意義 是單位時間出現的隨機質點的平均個數 20 例9通過某十字路口的汽車數服從泊松分布 若平均5秒鐘有1輛汽車通過 求10秒鐘內通過的汽車不少于兩輛的概率 解 設X為10秒內通過的汽車數 21 例10某商店出售某種大件商品 據歷史記錄分析 每月銷售量服從泊松分布 7 問在月初進貨時要庫存多少件此種商品 才能以0 999的概