第10講 數(shù)論之帶余除法 教師版

2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 余數(shù)問題是數(shù)論知識板塊中另一個內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識點，所以學好本講對于學生來說非常重要。 許多孩子都接觸過余數(shù)的有關問題，并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了！” 余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關棄九法原理的應用。 一、 帶余除法的定義 及性質(zhì) ： 一般地，如果 b 0） ,若有 a b=q r，也就是 a b q r, 0 r b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里： (1)當 0r 時：我們稱 (2)當 0r 時：我們稱 一個完美的帶余除法講解模型 : 如圖，這是一堆書，共有 a 本，這個 a 就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了 c 捆，那么這個 c 就是商，最后還剩余 d 本，這個 d 就是余數(shù)。 這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中 4 個量的關系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。 二、三大余數(shù)定理： a與 于 a,這個和除以 例如： 23， 16除以 5的余數(shù)分別是 3和 1，所以 23+16=39除以 5的余數(shù)等 知識點撥 教學目標 第十講：數(shù)論之帶余除法 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 于 4，即兩個余數(shù)的和 3+1. 當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以 例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于 3+4=7 除以 5 的余數(shù)，即2. a與 于 a,者這個積除以 例如： 23， 16除以 5的余數(shù)分別是 3和 1，所以 23 16除以 5的余數(shù)等于 3 1=3。 當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以 例如： 23， 19除以 5的余數(shù)分別是 3和 4，所以 23 19除以 5的余數(shù)等于 3 4 除以 5的余數(shù)，即 2. 若兩個整數(shù) a、 么稱 a、 式子 表示為： a b ( m )，左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作： b，模 m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個非常重要的推論： 若兩個數(shù) a， a， 用式子表示為：如果有 a b ( m )，那么一定有 a b mk, m|(a b) 三、棄九法原理： 在公元前 9 世紀，有個印度數(shù)學家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式 是這樣進行的： 例如：檢驗算式 1 2 3 4 1 8 9 8 1 8 9 2 2 6 7 8 9 6 7 1 7 8 9 0 2 8 8 9 9 2 3 1234除以 9的余數(shù)為 1 1898除以 9的余數(shù)為 8 18922除以 9的余數(shù)為 4 678967除以 9的余數(shù)為 7 178902除以 9的余數(shù)為 0 這些余數(shù)的和除以 9的余數(shù)為 2 而等式右邊和除以 9的余數(shù)為 3，那么上面這個算式一定是錯的。 上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以 9的余數(shù)的和再除以 9的余數(shù)一定與等式右邊和除以 9的余數(shù)相同。 而我們在求一個自然數(shù)除以 9所得的余 數(shù)時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 的各個位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)就可以了，在算的時候往往就是一個 9一個 9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。 所以我們總結出棄九發(fā)原理：任何一個整數(shù)模 9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個整數(shù)被 9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被 9除的余數(shù)即可。 利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用 注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。 例如：檢驗算 式 9+9=9時，等式兩邊的除以 9的余數(shù)都是 0，但是顯然算式是錯誤的 但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式 2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式迷問題。 四、中國剩余定理： 中國數(shù)學名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！?此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點兵”。 韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少， 韓信答說，每 3人一列余 1人、 5人一列余 2人、 7 人一列余 4人、 13人一列余 6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每 5人一列、 9人一列、 13人一列、 17 人一列都剩 3人，則兵有多少？ 首先我們先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍數(shù) 9945（注：因為 5、 9、 13、 17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加 3，得 9948（人）。 孫子算經(jīng)的作者及確實著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn) 得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ 近代抽象代數(shù)學中占有一席非常重要的地位。 對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法 : 今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？ 題目中我們可以知道，一個自然數(shù)分別除以 3， 5， 7 后，得到三個余數(shù)分別為 2， 3， 010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 構造一個數(shù)字，使得這個數(shù)字除以 3余 1，并且還是 5和 7的公倍數(shù)。 先由 5 7 35 ，即 5和 7 的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看 35 除以 3余 2，不符合要求，那么就繼續(xù)看 5和7 的“下一個”倍數(shù) 35 2 70 是否可以，很顯然 70 除以 3余 1 類似的，我們再構造一個除以 5余 1，同時又是 3和 7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然 21可以符合要求。 最后再構造除以 7 余 1，同時又是 3， 5 公倍數(shù)的數(shù)字， 45 符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計算： 2 7 0 3 2 1 2 4 5 3 , 5 , 7 2 3 3 3 , 5 , 7 ， 其中 開始的自然數(shù)。 也就是說滿足上述關系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實際情況對數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。 例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”， 那么我們可以計算 2 7 0 3 2 1 2 4 5 2 3 , 5 , 7 2 3 得到所求 如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)” , 我們只要對最小的 23 加上 3,5,7即可，即 23+105=128。 【 模塊 一：帶余除法的定義和性質(zhì)】 【例 1】 (第五屆小學數(shù)學報競賽決 賽 )用某自然數(shù) a 去除 1992 ，得到商是 46，余數(shù)是 r ，求 a 和 r 【 解解 析析 】 因為 1992 是 a 的 46 倍還多 r ,得到 1 9 9 2 4 6 4 3 . ，得 1 9 9 2 4 6 4 3 1 4 ，所以 43a ，14r 【 鞏鞏 固固 】 (清華附中小升初分班考試 )甲、乙兩數(shù)的和是 1088 ，甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余 32 ，求甲、乙兩 數(shù) 【 解解 析析 】 (法 1)因為 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ； 則乙 (1 0 8 8 3 2 ) 1 2 8 8 ，甲 1088乙 1000 (法 2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關系來做：從 1088 中減掉 32 以后， 1056 就應當是乙數(shù)的 (11 1) 倍，所以得到乙數(shù) 1056 12 88 ，甲數(shù) 1 0 8 8 8 8 1 0 0 0 【 鞏鞏 固固 】 一個兩位數(shù)除 310，余數(shù)是 37，求這樣的兩位數(shù)。 【 解解 析析 】 本題為余數(shù)問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題 整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。 本題中 31073，說明 273 是所求余數(shù)的倍數(shù)，而 273=3 7 13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿例題精講 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 足比 37 大，符合條件的有 39， 91. 【例 2】 (2003 年 全國小學數(shù)學奧林匹克試題 )有兩個 自然數(shù)相除，商是 17 ，余數(shù)是 13 ，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之 和為 2113 ，則被除 數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 被除數(shù) 除數(shù) 商 余數(shù) 被除數(shù) 除數(shù) +17+13=2113，所以被除數(shù) 除數(shù) =2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的 17 倍還多 13，則由“和倍問題”可得：除數(shù) =（ 2083（ 17+1） =115，所以被除數(shù)=2083968 【 鞏鞏 固固 】 用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，商為 40，余數(shù)是 數(shù)、商、余數(shù)的和是 933，求這 2 個自然數(shù)各是多少？ 【 解解 析析 】 本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設兩個自然數(shù)分別為 x,y，可以得到 4 0 1 64 0 1 6 9 3 3 ,解方程組得 85621，即這兩個自然數(shù)分別是 856， 21. 【例 3】 (2000 年“祖沖之杯”小學數(shù)學邀請賽試題 )三個不同的自然數(shù)的和為 2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個數(shù)是 _， _， _。 【 解解 析析 】 設所得的商為 a ，除數(shù)為 b ( 1 9 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 0 0 1a b a b a b ， 73 3 2001 ，由 19b ，可求得 27a ， 10b 所以，這三個數(shù)分別是 19 523 ， 23 631 ， 31 847 。 【 鞏鞏 固固 】 (2004 年福州市“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題 )一個自然數(shù)，除以 11 時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以 9 時所得到 的商是余數(shù)的 3 倍，這個 自然數(shù)是 _ 【 解解 析析 】 設這個自然數(shù)除以 11 余 a (0 11)a ，除以 9余 b (0 9)b ，則有 1 1 9 3a a b b ，即 37，只有 7a ， 3b ，所以這個自然數(shù)為 84712 。 【例 4】 (1997 年我愛數(shù)學少年數(shù)學夏令營試題 )有 48 本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5人 如果把書全 部分給第一組，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，書不夠 如果把書全分給第二組， 那么每人 3本，有剩余；每人 4本，書不夠 問：第二組有多少人 ? 【 解解 析析 】 由 48 4 12 ， 48 5 知，一組是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ， 48 4 12 知，二組是13、 14 或 15 人，因為二組比一組多 5人，所以二組只能是 15 人，一組 10人 【 鞏鞏 固固 】 一個兩位數(shù)除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余數(shù)是 6，求這個兩位數(shù) 【 解解 析析 】 因為一個兩位數(shù)除以 13的商是 6，所以這個兩位數(shù)一定大于 13 6 78 ，并且小于 13 (6 1) 91 ；又因為這個兩位數(shù)除以 11余 6，而 78 除以 11余 1，這個兩位數(shù)為 78 5 83 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 【 模 塊 二：三大余數(shù)定理的應用】 【例 5】 有一個大于 1的整數(shù)，除 45,59,101 所得的余數(shù)相同，求這個數(shù) . 【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14的約數(shù)有 1,2,7,14 ，所以這個數(shù)可能為 2,7,14 。 【 鞏鞏 固固 】 有一個整數(shù)，除 39,51,147 所得的余數(shù)都是 3，求這個數(shù) . 【解析】 (法 1) 39 3 36 ， 147 3 144 ， (36,144) 12 ， 12 的約數(shù)是 1, 2,3, 4,6,12 ，因為余數(shù)為 3 要小于除數(shù)，這個數(shù)是 4,6,12 ； (法 2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以這個數(shù)是 4,6,12 【 鞏鞏 固固 】 在小于 1000的自然數(shù)中，分別除以 18及 33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個 ?(余數(shù)可以為 0) 【解析】 我們知道 18， 33 的最小公 倍數(shù)為 18， 33=198，所以每 198個數(shù)一次 1 198之間只有 1， 2， 3， 17， 198(余 O)這 18 個數(shù)除以 18及 33所得的余數(shù)相同， 而 999 198=5 9，所以共有 5 18+9=99個這樣的數(shù) 【 鞏鞏 固固 】 (2008年仁華考題 )一個三位數(shù)除以 17和 19都有余數(shù)，并且除以 17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以 19后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是 多少 ，最小數(shù)是 多少？ 【解析】 設這個三位數(shù)為 s ，它除以 17和 19的商分別為 a 和 b ，余數(shù)分別為 m 和 n ，則 17 19s a m b n 根據(jù)題意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即 16 18，得 89所以 a 是 9的倍數(shù)， b 是 8的倍數(shù)此時，由 a m b n 知 8199n m a b a a a 由于 s 為三位數(shù)，最小為 100，最大為 999，所以 1 0 0 1 7 9 9 9 ，而 1 16m ， 所以 1 7 1 1 7 9 9 9a a m ， 1 0 0 1 7 1 7 1 6a m a ，得到 5 58a ，而 a 是 9的倍數(shù)，所以 ，最大為 54 當 54a 時， 1 69n m a ，而 18n ，所以 12m ，故此時 s 最大為 1 7 5 4 1 2 9 3 0 ； 當 9a 時， 1 19n m a ，由于 1m ，所以此時 s 最小為 17 9 1 154 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 所以這樣的三位數(shù)中最大的是 930，最小的是 154 【例 6】 兩位自然數(shù) 以 7都余 1，并且 ，求 ab 【解析】 ab 能被 7整除，即 ( 1 0 ) 1 0 ) 9a b b a a b （ （ ）能被 7整除 所以只能有 7 ，那么 2和 81，驗算可得當 92時， 29 滿足題目要求， 9 2 2 9 2 6 6 8a b b a 【 鞏鞏 固固 】 學校新買來 118個乒乓球， 67個乒乓球拍和 33 個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請問學校共有多少個班？ 【解析】 所求班級數(shù)是除以 118,67,33 余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應該為 118 67 51和 67 33 34 的公約數(shù)，所求答案為 17 【 鞏鞏 固固 】 (2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題 )在除 13511， 13903及 14589 時能剩下相同余數(shù)的最大整 數(shù)是 _ 【解析】 因為 3921351113903 , 68 613 90314 589 ， 由 于 13511， 13903， 14589要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除 98)686,392( ，所以所求的最大整數(shù)是 98 【例 7】 (2003年南京市少年數(shù)學智 力冬令營試題 ) 20032 與 22003 的和除以 7的余數(shù)是 _ 【解析】 找規(guī)律用 7除 2， 2 ， 32 ， 42 ， 52 ， 62 ， 的余數(shù)分別是 2， 4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ,2的個數(shù)是 3的倍數(shù)時，用 7除的余數(shù)為 1； 2的個數(shù)是 3的倍數(shù)多 1時，用 7除的余數(shù)為 2； 2的個數(shù)是 3的倍數(shù)多 2時，用 7除的余數(shù)為 4因為 2003 3 667 222 ，所以 20032 除以 7余 4又兩個數(shù)的積除以 7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以 7所得余數(shù)的積相同而 2003除以 7余 1，所以 22003 除以 7余 1故 20032 與 22003 的和除以 7的余數(shù)是 4 1 5 【 鞏鞏 固固 】 (2004年南京市少年數(shù)學智力冬令營試題 )在 1995， 1998， 2000， 2001， 2003 中，若其中幾個數(shù)的和被 9除余 7， 則將這幾個數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有 _組 【解析】 1995， 1998， 2000， 2001， 2003除以 9的余數(shù)依次是 6， 0， 2， 3， 5 因為 2 5 2 5 0 7 ， 2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9 ， 所以這樣的數(shù)組共有下面 4個： 2003,2000 ， 2003,2000,1998 ， 1995,2001,2003,2000 ， 1995,2001,2003,2000,1998 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 【例 8】 (2005 年全國小學數(shù)學奧林匹克試題 )有一個整數(shù)，用它去除 70， 110， 160 所得到的 3 個余數(shù)之和是 50，那 么這個整數(shù)是 _ 【解析】 ( 7 0 1 1 0 1 6 0 ) 5 0 2 9 0 ， 50 3 16. ，除數(shù)應當是 290 的大于 17 小于 70 的約數(shù)，只可能是 29和 58， 1 1 0 5 8 1 . ， 5052 ，所以除數(shù)不是 58 70 29 2. ， 1 1 0 2 9 3 . ， 1 6 0 2 9 5 . ， 50152312 ，所以除數(shù)是 29 【 鞏鞏 固固 】 (2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題 )用自然數(shù) 3， 91， 129得到的三個余數(shù)之和為 25，那么 n=_ 【解析】 n 能整除 2 5 8251 2 99163 因為 25 3 8. ，所以 n 是 258 大于 8 的約數(shù) 顯然， 能大于 63 符合條件的只有 43 【 鞏鞏 固固 】 號碼分別為 101,126,173,193 的 4 個運動員進行乒乓球比賽 ,規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被 3除所得的余數(shù) 【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計算 101， 126， 173， 193除以 3的余數(shù)分別為 2， 0， 2，1。那么任意兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要用 2， 0， 2， 1兩兩相加除以 3即可。顯然 126運動員打 5盤是最多的。 【例 9】 (2002年小學生數(shù)學報數(shù)學邀請賽試題 )六名小學生分別帶著 14元、 17元、 18元、 21元、26 元、 37 元錢，一起到 新華書店購買成語大詞典一看定價才發(fā)現(xiàn)有 5 個人帶的錢不夠，但是其 中甲、乙、丙 3人的錢湊在一起恰好可買 2本，丁、戊 2人的錢湊在一起恰好可買 1本 這種成語大詞典的定價是 _元 【解析】 六名小學生共帶錢 133 元 133 除以 3 余 1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買 3 本，所以他們五人帶的錢數(shù)是 3的倍數(shù)，另一人帶的錢除以 3余 1易知，這個錢數(shù)只能是 37 元，所以每本成語大詞典的定價是 ( 1 4 1 7 1 8 2 1 2 6 ) 3 3 2 (元 ) 【 鞏鞏 固固 】 (2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題 )商店里有六箱貨物，分別重 15， 16， 18， 19， 20， 31千克，兩個顧客買 走了其中的五箱已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的 2倍，那么商店剩下 的一箱貨物重量是 _千克 【解析】 兩個顧客買的貨物重量是 3 的倍數(shù) ( 1 5 1 6 1 8 1 9 2 0 3 1 ) ( 1 2 ) 1 1 9 3 3 9 . . . 2 ，剩下的一箱貨 物重量除以 3應當余 2，只能是 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 20 千克 【例 10】 求 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù) 【解析】 因為 2 4 6 1 1 1 2 2 3 . ， 135 11 12. ， 6 0 4 7 1 1 5 4 9 . ，根據(jù)同余定理 (三 )， 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù)等于 8 3 8 11 的余數(shù)，而 8 3 8 192 ， 192 11 17. ，所以 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù)為 5 【 鞏鞏 固固 】 (華羅庚金杯賽模擬試題 )求 478 296 351除以 17的余數(shù) 【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大可先分別計算出各因數(shù)除以 17 的余數(shù)，再求余數(shù)之積除 以 17的余數(shù) 478, 296,351 除以 17的余數(shù)分別為 2， 7和 11， ( 2 7 1 1 ) 1 7 9 . . . . . . 1 【 鞏鞏 固固 】 求 19973 的最后兩位數(shù) 【解析】 即考慮 19973 除以 100的余數(shù)由于 100 4 25 ，由于 33 27 除以 25余 2，所以 93 除以 25 余 8， 103 除以 25 余 24，那么 203 除以 25 余 1；又因為 23 除以 4余 1，則 203 除以 4余 1；即 2031 能被 4 和 25整除，而 4與 25互質(zhì)，所以 2031 能被 100 整除，即 203 除以 100余 1，由于 1 9 9 7 2 0 9 9 1 7 ，所以 19973 除以 100的余數(shù)即等于 173 除以 100 的余數(shù)，而 63 729 除以 100 余29， 53 243 除以 100 余 43， 17 6 2 53 (3 ) 3，所以 173 除以 100 的余數(shù)等于 29 29 43 除以 100的余數(shù)，而 2 9 2 9 4 3 3 6 1 6 3 除以 100 余 63，所以 19973 除以 100 余 63，即 19973 的最后兩位數(shù)為63 【 鞏鞏 固固 】 22000 2222個除以 13所得余數(shù)是 _. 【解析】 我們發(fā)現(xiàn) 222222整除 13， 2000 6余 2，所以答案為 22 13余 9。 【 鞏鞏 固固 】 求 89143 除以 7的余數(shù) 【解析】 法一： 由于 143 3 m (143被 7除余 3)， 所以 8 9 8 91 4 3 3 m o d 7 ( 89143 被 7除所得余數(shù)與 893 被 7除所得余數(shù)相等 ) 而 63 729 ， 729 1 m （ 729除以 7的余數(shù)為 1）， 所以 8 9 6 6 6 5 5143 3 3 3 3 3 5 m o d 7 4 2 4 4 3個 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 0 3 故 89143 除以 7的余數(shù)為 5. 法二： 計算 893 被 7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如 下 表 ： 13 23 3 43 53 63 73 L 3 2 6 4 5 1 3 L 于是余數(shù)以 6為周期變化所以 8 9 53 3 5 m o d 7 【 鞏鞏 固固 】 （ 2007年實驗中學考題） 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余數(shù)是多少？ 【解析】 由于2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 4 0 0 51 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 3 1 3 3 56 L，而 1001是 7的倍數(shù)，所以這個乘積也是 7的倍數(shù)，故 2 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余數(shù)是 0； 【 鞏鞏 固固 】 30 3131 30 被 13除所得的余數(shù)是多少？ 【解析】 31被 13 除所得的余數(shù)為 5，當 n 取 1， 2， 3， L 時 5n 被 13 除所得余數(shù)分別是 5， 12， 8， 1， 5，12， 8， 1L 以 4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以 305 被 13除的余數(shù)與 25 被 13除的余數(shù)相同，余 12，則 3031除以 13 的余數(shù)為 12； 30被 13 除所得的余數(shù)是 4，當 ， 2， 3， L 時， 4n 被 13除所得的余數(shù)分別是 4， 3， 12， 9，10， 1， 4， 3， 12， 9， 10， 為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以 314 被 13 除所得的余數(shù)等于 14 被 13除所得的余數(shù)，即 4，故 3130 除以 13 的余數(shù)為 4； 所以 30 3131 30 被 13除所得的余數(shù)是 12 4 13 3 【 鞏鞏 固固 】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯 )已知2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43個，問： a 除以 13所得的余數(shù)是多少？ 【解析】 2008除以 13 余 6， 10000除以 13 余 3，注意到 20082008 2008 10000 2008 ； 200820082008 20082008 10000 2008 ； 2008200820082008 200820082008 10000 2008 ； 據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律： 20082008除以 13余 6 3 6 13 11 ， 200820082008除以 13余 1 1 3 6 3 9 0 ，即 200820082008是 13的倍數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 1 3 而 2008 除以 3余 1，所以2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43個除以 13 的余數(shù)與 2008 除以 13的余數(shù)相同，為 6. 【 鞏鞏 固固 】 1996 7777 77142 43個除以 41的余數(shù)是 多少？ 【解析】 找規(guī)律： 7 41 7 ， 77 41 36 ， 7 7 7 4 1 3 9 ， 7 7 7 7 4 1 2 8 ， 7 7 7 7 7 4 1 0 ， ，所以 77777是 41的倍數(shù)，而 1 9 9 6 5 3 9 9 1 L ，所以1996 7777 77142 43個可以分成 399段 77777和 1個 7組成，那么它除以 41 的余數(shù)為 7 【 鞏鞏 固固 】 1 2 3 4 2 0 0 51 2 3 4 2 0 0 5 0所得的余數(shù)為多少？ 【解析】 求結果除以 10的余數(shù)即求其個位數(shù) 字 從 1到 2005這 2005個數(shù)的個位數(shù)字是 10個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的冪方的個位數(shù)，我們知道它總是 4 個一循環(huán)的，因此把 所有 加數(shù)的個位數(shù)按 每 20個 (20是 4和 10 的最小公倍數(shù) )一組，則不同組中對應的 個位 數(shù)字應該是一樣的 首先計算 1 2 3 4 2 01 2 3 4 2 0 為 1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 9 4 的個位數(shù)字，為 4， 由于 2005 個加數(shù) 共可分成 100 組另 5 個數(shù)， 100 組的個位數(shù) 字和 是 4 100 400的個位數(shù)即 0，另外 5 個數(shù)為 20012001 、 20022002 、 20032003 、 20042004 、 20052005 ，它們和的個位數(shù)字是1 4 7 6 5 2 3 的個位數(shù) 3，所以原式的個位數(shù)字是 3，即除以 10的余數(shù)是 3 【例 11】 求所有的質(zhì)數(shù) P，使得 241p 與 261p 也是質(zhì)數(shù) 【解析】 如果 5p ，則 24 1 101p ， 26 1 151p 都是質(zhì)數(shù)，所以 5符合題意如果 ，那么 的余數(shù)為 1、 2、 3或者 4， 2p 除以 5的余數(shù)即等于 21 、 2 、 23 或者 24 除以 5的余數(shù)，即1、 4、 9或者 16 除以 5的余數(shù)，只有 1和 4兩種情況如果 2p 除以 5的余數(shù)為 1，那么 241p 除以 5 的余數(shù)等于 4 1 1 5 除以 5 的余數(shù)，為 0，即此時 241p 被 5整除，而 241p 大于 5，所以此時 241p 不是質(zhì)數(shù)；如果 2p 除以 5的余數(shù)為 4，同理可知 261p 不是質(zhì)數(shù) ，所以 ，241p 與 261p 至少有一個不是質(zhì)數(shù)，所以只有 5p 滿足條件 【 鞏鞏 固固 】 在圖 表 的第二行中，恰好填上 89 98 這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個因 數(shù)的乘積除以 11 所得的余數(shù)都是 3 【解析】 因為兩個數(shù)的乘積除以 11 的余數(shù)，等于因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 2 3 兩個 數(shù)分別除以 11的余數(shù)之積因此原題中的 89 98 可以改換為 1 10 ，這樣上下兩數(shù)的乘積除以 11 余 3就容易計算了我們得到下面的結果： 進而得到本題的答案是： 因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 【 鞏鞏 固固 】 (2000年“華杯賽”試題 )3個三位數(shù)乘積的算式 234235286a b c b c a c a b (其中 )， 在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位 6是正確的，問原式中的 多少？ 【解析】 由于 234235286 2 3 4 2 3 5 2 8 6 8 ( m ) ， 3( ) ( m o d 9 )a b c b c a c a b a b c ， 于是 3( ) 8 ( m o d 9 ) ，從而 (用 0 , 1 , 2 , . . . , 8 ( m o d 9 ) 代入上式檢驗 ) 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (1)，對 a 進行討論： 如果 9a ，那么 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (2)，又 c a b 的個位數(shù)字是 6，所以 的個位數(shù)字 為4， 可能為 41 、 72 、 83 、 64 ，其中只有 ( , ) ( 4 ,1), (8 , 3) 符合 (2)，經(jīng)檢驗只有9 8 3 8 3 9 3 9 8 3 2 8 2 4 5 3 2 6 符合題意 如果 8a ，那么 3 , 6 , 0 ( m o d 9 ) (3)，又 的個位數(shù)字為 2或 7，則 可能為 21 、 43 、62 、 76 、 71 ，其中只有 ( , ) (2,1)符合 (3)，經(jīng)檢驗， 821不合題意 如果 7a ，那么 4 , 7 ,1( m o d 9 ) (4)，則 可能為 42 、 63 ，其中沒有符合 (4)的 (, ) 如果 6a ，那么 5b ， 4c ， 7 0 0 6 0 0 5 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 3 4 5 8 6a b c b c a c a b ，因此這時 可能符合題意綜上所述， 983是本題唯一的解 【例 12】 一個大于 1的數(shù)去除 290， 235， 200時，得余數(shù)分別為 a ， 2a ， 5a ，則這個自然數(shù)是多少？ 【解析】 根據(jù)題意可知， 這個自然數(shù)去除 290， 233， 195時，得到相同的余數(shù) （都為 a ） 既然 余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知 其中 任意兩數(shù)的差 除以這個數(shù) 肯定余 0那么這個自然數(shù)是 290 233 57的約數(shù)，又是 233 195 38的約數(shù)，因此就是 57和 38的公約數(shù) ,因為 57和 38的公約數(shù) 只有 19和 1， 而這個數(shù)大于 1， 所以這個自然數(shù)是 19 【 鞏鞏 固固 】 一個大于 10 的自然數(shù)去除 90、 164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 220 后所得的余因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 3 數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？ 【解析】 這個自然數(shù)去除 90、 164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 90 164 254后所得的余數(shù)，所以 254和 220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是 254 220 34的約數(shù)，又大于 10， 這個自然數(shù)只能是 17或者是 34 如果這個數(shù)是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余數(shù)分別是 22、 28、 16，不符合題目條件 ； 如果這個數(shù)是 17，那么他去除 90、 164、 220后所得的余數(shù)分別是 5、 11、 16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是 17 【例 13】 甲、乙、丙三數(shù)分別為 603， 939， 393某數(shù) A 除甲數(shù)所得余數(shù)是 A 除乙數(shù)所得余數(shù)的 2倍， 除丙數(shù)所 得余數(shù)的 2倍求 A 等于多少？ 【解析】 根據(jù)題意，這三個數(shù)除以 A 都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 11603 A K r K r K r 232要消去余數(shù)1r, 2r, 3r,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減 這樣我們先把第二個式子乘以 2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大 2倍，同理，第三個式子乘以 4 于是我們可以得到下面的式子：11603 A K r 229 3 9 2 2 2A K r 333 9 3 4 2 4A K r 后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被 A 整除 9 3 9 2 6 0 3 1 2 7 5 ， 3 9 3 4 6 0 3 9 6 9 ， 1 2 7 5 , 9 6 9 5 1 3 1 7 51的約數(shù)有 1、 3、 17、 51，其中 1、 3顯然不滿足，檢驗 17 和 51可知 17 滿足，所以 A 等于 17 【 鞏鞏 固固 】 一個自然數(shù)除 429、 791、 500所得的余數(shù)分別是 5a 、 2a 、 a ，求這個自然數(shù)和 a 的值 . 【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為 2a 的數(shù)： 4 2 9 5 2 8 4 8 ， 791 、 500 2 1000 ，這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是 2a ，故同余 . 將這三個數(shù)相減，得到 848 791 57、 1000 848 152，所求的自然數(shù)一定是 57 和 152 的公約數(shù)，而 57,152 19 ，所以這個自然數(shù)是 19的約數(shù)，顯然 1 是不符合條件的，那么只能是 這個 自然數(shù)是 19時，除 429 、 791 、 500 所得的余數(shù)分別為 11、 12、 6 ， 6a 時成立 ,所以這個自然數(shù)是 19， 6a . 【 模塊 三：余數(shù)綜合應用】 【例 14】 著名的裴波那契數(shù)列是這樣的： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21這串數(shù)列當中第 2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？ 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 4 3 【解析】 斐 波那契數(shù)列的構成規(guī)則是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被 3除所得余數(shù)的數(shù)列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、 1、 2、 0 第九項和第十項連續(xù)兩個是 1，與第一項和第二項的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被 3除的余數(shù)每 8 個一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由于 2008 除以 8 的余數(shù)為 0，所以第 2008 項被 3 除所得的余數(shù)為第 8項被