2013年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 兩平面垂直的判定和性質(zhì) 理

用心 愛(ài)心 專心 20132013 年高考數(shù)學(xué) 理 一輪經(jīng)典例題年高考數(shù)學(xué) 理 一輪經(jīng)典例題 兩平面垂直的判定和性質(zhì)兩平面垂直的判定和性質(zhì) 典型例題一 例 1 根據(jù)敘述作圖 指出二面角的平面角并證明 如圖 1 已知 lAl 在 內(nèi)作 lPA 于A 在 內(nèi)作 lQA 于A 如圖 已知 lAAl 作 AP 于P 在 內(nèi)作 lAQ 于Q 連結(jié)PQ 已知 AAl 作 AP 于P AQ 于Q l 平面 HPAQ 連結(jié)PH QH 作圖與證明在此省略 說(shuō)明 本題介紹了作二面角的平面角的三種常用方法 其中用三垂線定理及逆定理的方法最 常用 還需補(bǔ)充這種方法的其他典型圖形 典型例題二 例 2 如圖 在立體圖形 ABCD 中 若 ECDADCBAB 是AC的中點(diǎn) 則下列命 用心 愛(ài)心 專心 題中正確的是 A 平面ABC 平面ABD B 平面ABD 平面BDC C 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDE D 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 分析 要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系 就需固定其中一個(gè)平面 找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與 第一個(gè)平面垂直 解 因?yàn)?CBAB 且E是AC的中點(diǎn) 所以 ACBE 同理有 ACDE 于是 AC 平 面BDE 因?yàn)?AC 平面ABC 所以平面ABC 平面BDE 又由于 AC 平面ACD 所以平面ACD 平面BDE 所以選 C 說(shuō)明 本題意圖是訓(xùn)練學(xué)生觀察圖形 發(fā)現(xiàn)低級(jí)位置關(guān)系以便得到高級(jí)位置關(guān)系 在某一個(gè)平 面內(nèi) 得到線線垂直的重要途徑是出現(xiàn)等腰三角形底邊的中線 由線線垂直得到線面垂直 由線 面垂直可得到面面垂直 典型例題三 例 如圖 P是 ABC 所在平面外的一點(diǎn) 且 PA 平面ABC 平面 PAC 平 面PBC 求證 ACBC 分析 已知條件是線面垂直和面面垂直 要證明兩條直線垂直 應(yīng)將兩條直線中的一條納入 一個(gè)平面中 使另一條直線與該平面垂直 即從線面垂直得到線線垂直 證明 在平面PAC內(nèi)作 PCAD 交PC于D 因?yàn)槠矫?PAC 平面PBC于PC AD 平面PAC 且 PCAD 所以 PBCAD平面 又因?yàn)?BC 平面PBC 于是 有 BCAD 另外 PA 平面ABC BC 平面ABC 所以 BCPA 由 及 APAAD 可知 BC 平面PAC 因?yàn)?AC 平面PAC 所以 ACBC 用心 愛(ài)心 專心 說(shuō)明 在空間圖形中 高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系 通過(guò)本題可以看到 面面垂直 線面垂直 線線垂直 典型例題四 例 如圖 AB是 O的直徑 PA垂直于 O所在的平面 C是圓周上異于A B的任 意一點(diǎn) 求證 平面PAC 平面PBC 分析 證明面面垂直的有兩個(gè)依據(jù) 一是證明二面角的平面角為直角 二是利用兩個(gè)平面垂 直的判定定理 由于C點(diǎn)的任意性 用方法一的可能性不大 所以要尋求線面垂直 證明 因?yàn)锳B是 O的直徑 C是圓周上的點(diǎn) 所以有 ACBC 因?yàn)?PA 平面ABC BC 平面ABC 則 BCPA 由 及 APAAC 得 BC 平面PAC 因?yàn)?BC 平面PBC 有平面PAC 平面PBC 說(shuō)明 低一級(jí)的垂直關(guān)系是判定高一級(jí)垂直關(guān)系的依據(jù) 根據(jù)條件 由線線垂直 線面垂直 面面垂直 通過(guò)這個(gè)例題展示了空間直線與平面的位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系 垂直關(guān)系的判定 和性質(zhì)共同構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)體系 典型例題五 例 如圖 點(diǎn)A在銳二面角 MN 的棱MN上 在面 內(nèi)引射線AP 使AP與 MN 所成的角 PAM 為 45 與面 所成的角大小為 30 求二面角 MN 的大 小 分析 首先根據(jù)條件作出二面角的平面角 然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中 最好是 直角三角形 通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解 解 在射線AP上取一點(diǎn)B 作 BH 于H 連 用心 愛(ài)心 專心 結(jié)AH 則 BAH 為射線AP與平面 所成的角 30 BAH 再作 MNBQ 交 MN 于Q 連結(jié)HQ 則HQ為BQ在平面 內(nèi)的射影 由三垂線定理的逆定理 MNHQ BQH 為二面角 MN 的平面角 設(shè) aBQ 在 BAQRt 中 aABBAMBQA2 45 90 在Rt BHQ中 2 2 90aBHaBQBHQ 2 2 2 2 sin a a BQ BH BQH BQH 是銳角 45 BQH 即二面角 MN 等于 45 說(shuō)明 本題綜合性較強(qiáng) 在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角 斜線與平面所稱的角 二 面角等空間角 這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角 而且還要彼此聯(lián)系相互依存 要根據(jù)各個(gè)平 面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線 典型例題六 例 如圖 將邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC以它的高AD為折痕折成一個(gè)二面角 CADC 指出這個(gè)二面角的面 棱 平面角 若二面角 CADC 是直二面角 求 C C 的長(zhǎng) 求 CA 與平面CD C 所成的角 若二面角 CADC 的平面角為 120 求二面角 DCCA 的平面角的正切值 分析 根據(jù)問(wèn)題及圖形依次解決 解 CDADDCADBCAD 二面角 CADC 的面為ADC和面 CAD 棱為AD 二面角的平面角為CCD 若 90 CCD aCCaCDDCaAC 2 2 2 1 ADDCADCDAD 平面 CCD DCA 為 CA 與平面CD C 所 用心 愛(ài)心 專心 成的角 在直角三角形 CAD 中 30 2 1 CDAACCDDC 于是 60 DCA 取 CC 的中點(diǎn)E 連結(jié)AE DE CCDECCAEACCADCCD AED 為二面角 DCCA 的平面角 4 1 2 1 120aDEaCDDCDCC 在直角三角形AED中 2 3 aAD DE AD AED tan 32 4 1 2 3 a a 說(shuō)明 這是一個(gè)折疊問(wèn)題 要不斷地將折疊前后的圖形加以比較 抓住折疊前后的變與不變 量 典型例題七 例 7 正方體 1111 DCBAABCD 的棱長(zhǎng)為 1 P是AD的中點(diǎn) 求二 面角 PBDA 1 的大 小 分析 求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角 按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn) 在二個(gè)半平面上 分別作棱的垂線 方法雖簡(jiǎn)便 但因與其他條件沒(méi)有聯(lián)系 要求這個(gè)平面角一般是很不容易 的 所以在解題中不大應(yīng)用 在解題中應(yīng)用得較多的是 三垂線定理 的方法 如圖考慮到 AB垂直于平面1 AD 1 BD 在平面 1 AD 上的射影就是 1 AD 再過(guò)P作 1 AD 的垂線PF 則 PF 面1 ABD 過(guò)F作 BD1 的垂線FE PEF 即為所求二面角的平面角了 解 過(guò)P作 1 BD 及 1 AD 的垂線 垂足分別是E F 連結(jié)EF AB 面 1 AD PF 面 1 AD PFAB 又 1 ADPF PF 面 1 ABD 用心 愛(ài)心 專心 又 1 BDPE 1 BDEF PEF 為所求二面角的平面角 DADRt 1 PFA 11 AD AP DD PF 而 2 1 AP 1 1 DD 2 1 AD 4 2 PF 在 1 PBD 中 2 5 1 PBPD 1 BDPE 2 3 2 1 BDBE 在 PEBRt 中 2 2 22 BEPBPE 在 PEFRt 中 2 1 sin PE PF PEF 30PEF 典型例題八 例 8 在 ABC 所在平面外有一點(diǎn)S 已知 ABSC SC與底面ABC所成角為 二面 角 CABS 的大小為 且 90 求二面角 ASBC 的大小 分析 由題設(shè)易證 SDSC 由已知得SC 平面SAB 顯然所求的二面角是直二面角 此時(shí)只需證明二面有的兩個(gè)面垂直即可 在解這種類型題時(shí) 如果去作二面角 ASBC 的 平面角 那么可能會(huì)走彎路 解 如圖所示 作SO 平面ABC于O 連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D 連結(jié)SD SO 平面ABC SCO 是SC與平面ABC所成角 SCO SO 平面ABC ABSC CDAB SDAB SDO 是二面角 CABS 的平面角 SDO 90 SDSC 用心 愛(ài)心 專心 又 ABSC SC 平面SAB 平面SBC 平面SAB 二面角 ASBC 的大小為 90 說(shuō)明 二面角的平面角滿足三個(gè)條件 1 頂點(diǎn)在棱上 2 兩邊在面內(nèi) 3 兩邊與棱垂直 應(yīng) 注意 CSB 不滿足第 3 條 不是二面角 ASBC 的平面角 在求二面角大小時(shí) 若其平面角不易作出時(shí) 則可考慮判定兩平面是否垂直 如果兩平面垂 直 則其二面角為 90 反之亦然 典型例題九 例 9 如果 a 那么 a 分析 1 本題是一道高考題 考查線面垂直和面面垂直的性質(zhì)和邏輯推理能力 要證 a 只要證明直線a與平面 內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以了 從而借助平面與平面垂直的性質(zhì) 達(dá)到證明 a 的目的 2 要證 a 只要證明a平行于平面 的一條垂線就可以了 這 也可以借助面面垂直的性質(zhì)加以考慮 3 可以用 同一法 來(lái)證明 證法一 如圖所示 設(shè) b c 過(guò)平面 內(nèi)一點(diǎn)P作 bPA 于A 作 cPB 于B PA 又 a aPA 同理可證 aPB PPBPA 且 PBPA a 證法二 如圖所示 設(shè) b 在平面 內(nèi)作直線 bl 1 1 l 用心 愛(ài)心 專心 設(shè) c 在平面 內(nèi)作直線 cl 2 同理可證 al 2 因此 21 l l 由于 1 l 2 l 2 l 而 2 l a al 2 故由 al 2 知 a 證法三 如圖所示 過(guò)直線a上一點(diǎn)P作直線 a a aP P 根據(jù)課本第 37 頁(yè)例 2 如果兩個(gè)平面互相垂直 那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi) a 同理可證 a 故 a 椐公理 2 可知 直線 a 與直線a重合 a 說(shuō)明 1 本例實(shí)際上可作為兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理 主要用于判斷直線和平面的垂直 在 很多習(xí)題中都可以用到本例的結(jié)論 2 本例的三種證明方法其思維角度不同 但都是圍繞 面面垂直 線面面垂直 的判定與 性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行思考的 希望同學(xué)們今后在解題中多進(jìn)行這方面的訓(xùn)練 這對(duì)提高數(shù)學(xué)思維 能力是大有裨益的 典型例題十 例 10 設(shè)由一點(diǎn)S發(fā)出三條射線SA SB SC ASB BSC ASC 均為銳角 且 coscoscos 求證 平面ASB 平面BSC 分析 欲證兩平面垂直 只需證明其中一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面即可 此題設(shè)法通 過(guò)線段關(guān)系過(guò)渡 用心 愛(ài)心 專心 證明 如圖 任取點(diǎn)A 作 SBAB 于B 過(guò)B作 SCBC 于C 連結(jié)AC cos ASSB cos SBSC 故 coscos ASSC 又由 coscoscos 則 cos ASSC 從而可得 90ACS 即 SCAC 已作 SCBC 故SC 平面ACB 即有 SCAB 已作 SBAB 從而AB 平面BSC 故平面ASB 平面BSC 說(shuō)明 本題易犯錯(cuò)誤是 作 SBAB 于B 作 SCBC 于C 連結(jié)AC 由三垂線定理得 ACSC SC 平面ACB SCAB AB 平面SBC 其錯(cuò)誤原因是作 SBAB 后 將AB誤認(rèn)為是平面SBC的垂線 此題的證明也可以作 SBAB 于B SCAC 于C 連結(jié)BC 在 SBC 中 由余弦定 理及條件 coscoscos 證明 222 SCBCSB 從而 BCSC SC 面 ABC SCAB 由此進(jìn)一步證明 平面ASB 平面BSC 典型例題十一 例 11 如果二面角 l 的平面角是銳角 點(diǎn)P到 和棱l的距離分別為 22 4 24 求二面角的大小 分析 如果二面角 l 內(nèi)部 也可能在外部 應(yīng)區(qū)別處理 解 如圖甲是點(diǎn)P在二面角 l 的內(nèi)部時(shí) 乙是點(diǎn)P在二面角 l 的外部時(shí) PA lPA 用心 愛(ài)心 專心 lAC 面 lPAC 同理 面 lPBC 而面PAC 面PBC PC 面PAC與面PBC應(yīng)重合 即A C B P在同一平面內(nèi) ACB 是二面角的平面角 在 APCRt 中 2 1 24 22 sin PB PA ACP 30ACP 在 BPCRt 中 2 2 24 4 sin PC PB BCP 45BCP 故 754530ACB 圖甲 或 153045ACB 圖乙 說(shuō)明 作一個(gè)垂直于棱的平面 此平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面 角 這是本題得到二面平面角的方法 即所謂垂面法 典型例題十二 例 12 P為 120 的二面角 a 內(nèi)一點(diǎn) P到 和 的距離均為 10 求點(diǎn)P到棱a的 距離 分析 本題已知二面角的大小而求點(diǎn)到直線的距離 須做出二面角的平面角 然后將條件揉 和在一起 便可解決問(wèn)題 解 如圖 過(guò)點(diǎn)P作 PA 于A PB 于B 設(shè)相交直線PA PB確定的平面為 Oa 則 OA OB 用心 愛(ài)心 專心 連結(jié)PO 則 10 BPAP PA PB a 而 PO 平面 POa PO的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到直線a的距離 又 a OA OB AOB 是二面角 a 的平面角 即 120AOB 而四邊形AOBP為一圓內(nèi)接四邊形 且PO為該四邊形的外接圓直徑 四邊形AOBP的外接圓半徑等于由A B O P中任意三點(diǎn)確定的三角形的外接圓半 徑 因此求PO的長(zhǎng)可利用 APB 在 APB 中 10 BPAP 60APB 10 AB 由正弦定理 3 320 60sin 2 AB RPO 說(shuō)明 1 該題尋找 120 的二面角的平面角 所采取的方法即為垂面法 由此可見(jiàn) 若題目可 找到與棱垂直的平面 用 垂面法 確定二面角的平面角也是一種可取的方法 2 充分借助于四邊形PAOB為一圓內(nèi)接四邊形 OAPA OBPB PO即為其 外接圓直徑 然后借助于四邊有的外接圓直徑等于其中任一三角形的外接圓直徑進(jìn)行轉(zhuǎn)移 由正弦定理幫助解決了問(wèn)題 典型例題十三 例 13 如圖 正方體的棱長(zhǎng)為 1 OBCCB 11 求 1 AO與 11C A 所成的角 2 AO與平面AC所成角的正切值 3 平面AOB與平面AOC所成的角 用心 愛(ài)心 專心 解 1 ACCA 11 AO與 11C A 所成的角就是 OAC OBOC AB 平面 1 BC OAOC 三垂線定理 在 AOCRt 中 2 2 OC 2 AC 30OAC 2 作 BCOE 平面 1 BC 平面AC OE 平面AC OAE 為OA與平面AC所成的角 在 OAERt 中 2 1 OE 2 5 2 1 1 22 AE 5 5 tan AE OE OAE 3 OAOC OBOC OC 平面AOB 又 OC 平面AOC 平面AOB 平面AOC 說(shuō)明 本題包含了線線角 線面角和面面角三類問(wèn)題 求角度問(wèn)題主要是求兩條異面直線所 成角 2 0 直線和 平面所成角 2 0 二面角 0 三種 典型例題十四 例 14 如圖 矩形ABCD PD 平面ABCD 若 2 PB PB與平面PCD所成的角為 45 PB與平面ABD成 30 角 求 1 CD的長(zhǎng) 用心 愛(ài)心 專心 2 求PB與CD所在的角 3 求二面角 DPBC 的余弦值 分析 從圖中可以看出 四面體 BCDP 是一個(gè)基礎(chǔ)四面體 前面已推導(dǎo)出平面PBC與平 面BCD所成的二面角的余弦值為 3 3 32 21 BDPC BCPD 可見(jiàn) 基礎(chǔ)四面體作為一部 分 經(jīng)常出現(xiàn)在某些幾何體中 解 1 PD 平面ABCD BCPD 又 BC 平面PDC BPC 為PB與平面PCD所在的角 即 45BPC 同理 PBD 即為PB與平面ABD所成的角 30PBD 在 PBCRt 中 2 PB 2 PCBC 在 PBDRt 中 30PBD 1 PD 3 BD 在 BCDRt 中 2 BC 3 BD 1 CD 2 CDAB PB與CD所成的角 即為PB與AB所成的角 PBA 即為PB與AB所成的角 PD 平面ABCD ABAD ABPA 三垂線定理 在 PABRt 中 1 CDAB 2 PB 60PBA 3 由點(diǎn)C向BD作垂線 垂足為E 由點(diǎn)E向PB作垂線 垂足為F 連結(jié)CF PD 平面ABCD CEPD 又 BDCE CE 平面PBD CF 為平面PBD的斜線 由于 PBEF 由三垂線定理 CFPB CEF 為二面角 DPBC 的平面角 在 BCDRt 中 2 BC 1 DC 3 BD 3 6 BD CDBC CE 在 PCBRt 中 2 BC 2 PC 2 PB 用心 愛(ài)心 專心 1 PB CPBC CF 3 6 sin CF CB CFE 3 3 cos CFE 二面角 DPBC 的余弦值為 3 3 說(shuō)明 解空間幾何計(jì)算問(wèn)題 一般要做兩件事 一件是根據(jù)問(wèn)題的需要作必要證明 如本題 中的線線所成的角 面面所成的角從理認(rèn)上都必須說(shuō)清楚究竟是誰(shuí) 另一件事才是計(jì)算 這兩件事是根據(jù)問(wèn)題解答邏輯上的需要有機(jī)的結(jié)合在一起的 典型例題十五 例 15 過(guò)點(diǎn)S引三條不共面的直線SA SB SC 如圖 90BSC 60ASBASC 若截取 aSCSBSA 1 求證 平面ABC 平面BSC 2 求S到平面ABC的距離 分析 要證明平面ABC 平面BSC 根據(jù)面面垂直的判定定理 須在平面ABC或平面 BSC內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線 1 證明 aSCSBSA 又 60ASBASC ASB 和 ASC 都是等邊三角形 aACAB 取BC的中點(diǎn)H 連結(jié)AH BCAH 在 BSCRt 中 aCSBS BCSH aBC2 2 2 2 2 22222 a aaCHACAH 2 2 2 a SH 在 SHA 中 2 2 2 a AH 2 2 2 a SH 22 aSA 用心 愛(ài)心 專心 222 HASHSA SHAH AH 平面SBC AH 平面ABC 平面ABC 平面BSC 或 ABACSA 頂點(diǎn)A在平面BSC內(nèi)的射影H為 BSC 的外心 又 BSC 為 Rt H在斜邊BC上 又 BSC 為等腰直角三角形 H為BC的中點(diǎn) AH 平面BSC AH 平面ABC 平面ABC 平面BSC 2 解 由前所證 AHSH BCSH SH 平面ABC SH的長(zhǎng)即為點(diǎn)S到平面ABC的距離 a BC SH 2 2 2 點(diǎn)S到平面ABC的距離為 a 2 2 典型例題十六 例 16 判斷下列命題的真假 1 兩個(gè)平面垂直 過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們交線垂直的直線 必垂直于另一個(gè)平面 2 兩個(gè)平面垂直 分別在兩個(gè)平面內(nèi)且互相垂直的兩直線 一定分別與另一平面垂直 3 兩平面垂直 分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線互相垂直 分析 1 若該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上 則命題是錯(cuò)誤的 如圖 正方體 CA1 中 平面 AC 平面 1 AD 平面 AC 平面 1 AD AD 在AD上取點(diǎn)A 連結(jié) 1 AB 則 ADAB 1 即過(guò)棱上一點(diǎn)A的直線 1 AB 與棱垂直 但 1 AB 與平面ABCD不垂直 其錯(cuò)誤 的原因是 1 AB 沒(méi)有保證在平面 11A ADD 內(nèi) 可以看出 線在面內(nèi)這一條件的重要性 2 該命題注意了直線在平面內(nèi) 但不能保證這兩條直線都與棱垂直 如圖 在正方體 CA1 中 平面 1 AD 平面AC 1 AD 平面11A ADD AB 平面ABCD 且 1 ADAB 即 AB與1 AD 相互垂直 但 1 AD 與平面ABCD不垂直 用心 愛(ài)心 專心 3 如上圖 正方體 CA1 中 平面 11A ADD 平面ABCD 1 AD 平面11A ADD AC 平 面ABCD 1 AD 與AC所成的角為 60 即 1 AD 與AC不垂直 說(shuō)明 必須注意兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理成