數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)和方法歸納

數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)和方法歸納 1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)），推論公式：an=am+n-mdn,mN*，nm等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列,an=an-1+an+12,2an=an-1+an+1n2等差數(shù)列前項(xiàng)和：性質(zhì)：是等差數(shù)列（1）若，則（下標(biāo)和定理） 注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為；（4）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則；（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)，解不等式組可得達(dá)到最大值時(shí)的值. 當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的值. (6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有， .（7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有, ， .2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（為常數(shù)，），.推論公式：an=amqn-mn,mN*且nm等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列，或.等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號，偶數(shù)項(xiàng)同號 an2=an-1an+1n2等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式： Sn=na1q=1a11-qn1-q=a1-anq1-qq1性質(zhì)：是等比數(shù)列（1）若，則(下標(biāo)和定理) 注意：要求等式左右兩邊項(xiàng)數(shù)相等。（2）仍為等比數(shù)列,公比為。. （3）是正項(xiàng)等比數(shù)列，則logcan是等比數(shù)列。 注意：由求時(shí)應(yīng)注意什么？時(shí)，；時(shí)，.3.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1) 定義法求通項(xiàng)公式(已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列）（2） 已知或，求。 例：數(shù)列的前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 解：當(dāng)時(shí) ， 當(dāng)時(shí) 數(shù)列的通項(xiàng)公式為練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （3）求差（商）法例：數(shù)列，求 解： 時(shí)， 時(shí)， 得：，練習(xí)：在數(shù)列an中，a1=1，a1+a222+a332+ann2=annN*, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(4)累乘法 形如an+1an=fn的遞推式由，則兩邊分別相乘得， 例：數(shù)列中，求 解 ，又，.練習(xí)：已知a1=3,an+1=3n-13n+2an(n1), 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。（5）累加法形如 an+1-an=fn的遞推式。由，求，用迭加法時(shí)，兩邊相加得 例：已知數(shù)列滿足a1=1,an=an-1+3n-2n2,1求a2與a3的值。 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 練習(xí)：已知數(shù)列中， ，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（6）構(gòu)造法形如（為常數(shù)，）的遞推式?？赊D(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)令，是首項(xiàng)為為公比的等比數(shù)列，例：已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解：（1）， 而，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， ，因此練習(xí)1：已知數(shù)列an中a1=12,an+1=3an+3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)2：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（7）倒數(shù)法例：，求由已知得：，為等差數(shù)列，公差為， 練習(xí)：已知數(shù)列的首項(xiàng)，a1=1。an+1=anan+2nN*求數(shù)列的通項(xiàng)公式?？偨Y(jié)：公式法、利用、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比或、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法。4. 求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法（1）定義法：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對應(yīng)的公式求和等差數(shù)列前項(xiàng)和：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式： Sn=na1q=1a11-qn1-q=a1-anq1-qq1常見公式：Sn=k=1nk=12nn+1 1+3+5+2n-1=n2 12+22+32+n2=16nn+12n+1 , 13+23+33+n3=14nn+12（2）錯位相減法給Sn=a1+a2+a3+an兩邊同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式，然后把所得的等式與原等式相減，對應(yīng)項(xiàng)互相抵消，最后得出前n項(xiàng)的和Sn.一般適用于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項(xiàng)和，可由，求，其中為的公比. 例： 時(shí)，時(shí)，練習(xí)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且， （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和(2) 裂項(xiàng)法把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)差的形式，相加過程中消去中間項(xiàng)，只剩下有限項(xiàng)再求和。常見形式：若是公差為的等差數(shù)列，則1anan+1=1d1an-1an+1 12n-12n+1=1212n-1-12n+1 1nn+1n+2=121nn+1-1n+1n+2 1a+b=1a-ba-b 1n+k+n=1kn+k-n 如：是公差為的等差數(shù)列，求解：由練習(xí)：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。（3）倒序相加法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. 相加練習(xí)已知，則 由原式（3） 分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng)拆分開，可分為幾個(gè)等差或等比或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。一般適用于為等差數(shù)列，為