2.3.2章共焦腔理論

2 3 2方形共焦腔中自在現(xiàn)模式的近似解 由于大多數(shù)中 小功率的激光器都采用穩(wěn)定球面腔 故它的模式理論具有更廣泛和更重要的實(shí)踐意義 首先介紹方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解 討論它們的自再現(xiàn)模以及自再現(xiàn)模而激發(fā)的行波場(chǎng)的特征 1方形鏡對(duì)稱共焦腔 方形鏡對(duì)稱共焦腔的兩個(gè)凹面反射鏡的孔徑是方形的 故鏡面坐標(biāo)采用直角坐標(biāo) 由圖可見 2 3 11 2 3 10 而P 1P1與P 2P2可近似認(rèn)為等于圖示中的 1與 2 利用球面鏡的幾何關(guān)系 可推出 的計(jì)算公式為 近似條件為R r 將 表達(dá)式用于方形鏡共焦腔 并注意到Rl R2 L有 2 3 12 2 3 12 將 2 3 11 式和 2 3 12 式代入 2 3 10 式中 可得 再將此式代入積分方程 2 3 5 中 便有線度為2a 2a的方形鏡對(duì)稱共焦腔的積分方程為 2 3 14 按博伊德和戈登的方法進(jìn)行變數(shù)代換 取 并做如下變量分離 將積分方程變成兩個(gè)一維的積分方程 N 由于兩個(gè)方程的形式相同 故只需求解其中一個(gè)就可以 當(dāng)c值為有限大小時(shí) 該方程本征函數(shù)的精確解析解為 2 3 20 l l 本征值的精確解析解為 這些橢球函數(shù)都為實(shí)函數(shù) 當(dāng)c 1時(shí) 上述本征函數(shù)與本征值的精確解都可用近似解析解表示 其中本征函數(shù)的解在用x y代回X Y后為 2 3 22 式中Cm l 與模式有關(guān)的常數(shù) Hm 第m階厄米多項(xiàng)式 下邊寫出幾個(gè)低階厄米多項(xiàng)式 2 3 23 本征值的近似解為 H0 1H1 2 H2 4 2 2H3 8 3 12 2 3 27 一 自再現(xiàn)模的特征 令 2 3 23 式中m l 0 得到基模TEM00的振幅分布函數(shù)為 一 鏡面光場(chǎng)分布 1 振幅分布 2 3 24 振幅降至最大值的1 e所對(duì)應(yīng)的半徑r定義為基模光斑光斑半徑 共焦腔鏡面的基模光斑半徑 0s 2 3 25 此式說明 鏡面光斑大小與鏡面線度無關(guān) 利用 2 3 25 式可將 2 3 23 式重新改寫如下 2 3 26 TEM00 TEM10 TEM20 TEM30 高階模的光斑半徑須分別沿不同坐標(biāo)來計(jì)算 通常定義沿x y方向的光斑半徑分別為 可見 階次越高 光斑半徑越大 光強(qiáng)分布越偏離中心 2 相位分布 由于uml x y 為實(shí)函數(shù) 說明鏡面各點(diǎn)的光場(chǎng)相位相同 共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面 二 單程衍射損耗 討論單程衍射損耗 ml必須用精確解 2 3 22 式 ml與N有關(guān) 說明 ml也與N有關(guān) ml與N關(guān)系的計(jì)算曲線如圖所示 0 方形鏡共焦腔 ml與N關(guān)系曲線 1 對(duì)同一模式 ml隨N的增大急劇減小 2 N相同時(shí) 基模的 最小 階次越高 越大 3 與平行平面腔比較 共焦腔的單程衍射損耗要小好幾個(gè)數(shù)量級(jí) N 三 單程相移與諧振腔 可得方形鏡共焦腔單程附加相移為 2 3 27 單程相移 可見其附加相位超前 其超前量隨橫模階數(shù)而變 但與N無關(guān) 這一點(diǎn)與平面腔有所不同 由式 2 3 27 可得 可得方形鏡共焦腔的諧振頻率 共焦腔對(duì)諧振頻率出現(xiàn)了高度簡(jiǎn)并的現(xiàn)象 即所有2q m l相等的模式都將具有相同的諧振頻率 四 方形鏡共焦腔的行波場(chǎng) 求出鏡面上的光場(chǎng)以后 利用菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式可求出腔內(nèi)任一點(diǎn)的光場(chǎng) 博伊德和戈登證明 方形鏡共焦腔的這個(gè)計(jì)算結(jié)果 也就是行波場(chǎng)可用以下解析式表示 坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔軸線的中點(diǎn) 腔內(nèi)外任一點(diǎn)的光場(chǎng)均可以由以下解析式求解 式中Cml為與模式有關(guān)的常數(shù) 0 z 稱為衰減因子 它反映出隨著行波場(chǎng)的傳播 場(chǎng)振幅的大小衰減的規(guī)律 z 是z坐標(biāo)處的基模光斑半徑 引入 2z L z z0 計(jì)算公式為 2 3 29 0為z 0處的基模光斑半徑 可看出 0為 z 的最小值 故又稱腰斑半徑 L為共焦腔腔長(zhǎng) z0為共焦腔凹面反射鏡的焦距 大小恰好等于腔長(zhǎng)L的一半 z0又稱共焦腔的焦參數(shù) 兩個(gè)反射鏡面處的z坐標(biāo)為z L 2 由上式可算出鏡面處基模光斑半徑 os與腰斑半徑 0的關(guān)系為 稱為橫向振幅分布因子 它反映出各模式在不同z坐標(biāo)處的橫截面內(nèi)的振幅分布 它是厄米 高斯分布 第二部分 2 3 30 第三部分 稱為位相因子 等相位面方程 忽略因?yàn)閦的微小變化引起的 變化 有 拋物面方程 2 3 34 在腔軸附近 可以證明上式所描述的共焦場(chǎng)的等相位面是個(gè)球面 在與腔軸z0坐標(biāo)處的等相位面的曲率半徑就是 z1 它隨z1坐標(biāo)而變 計(jì)算公式為 2 3 36 拋物面的頂點(diǎn)在z z1處 焦距為 2 3 35 定義雙曲線的兩條漸近線之間的夾角為光束發(fā)射全角 則 附加相移與橫模模式有關(guān) 2 3 32 由 2 3 30 得 2 3 38 例如共焦腔氦氖激光器腔長(zhǎng)L 30cm 0 6328 m 則 2 3 10 3rad 高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大 所以多模振蕩時(shí) 光束的方向性要比單基模振蕩差 模體積 模體積指的是該模式在腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍 模體積越大 說明對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激活粒子就越多 因此可獲得越大的輸出功率 對(duì)稱共焦腔的基模模體積通?？梢杂孟率竭M(jìn)行估算 高階模模體積則為 圓形鏡對(duì)稱共焦腔 圓形鏡對(duì)稱共焦腔兩反射鏡孔徑為圓形 設(shè)半徑為a 鏡面處坐標(biāo)以極坐標(biāo)為宜 它的積分方程可由方形鏡積分方程 3 2 5 式出發(fā) 令x rcos y rsin x r cos y r sin 從而得到 分離變量可將u r 寫成如下形式 可以證明 當(dāng)腔菲涅耳數(shù)N 時(shí) 圓形鏡共焦腔積分方程的本征函數(shù)的近似解析解可表示為拉蓋爾一高斯函數(shù) 其中Rml所滿足的積分方程可證明為 Llm 稱為締合拉蓋爾多項(xiàng)式 現(xiàn)寫出幾個(gè)多項(xiàng)式如下 本征值的近似解為 行波場(chǎng)的特征 圓形鏡共焦腔的行波場(chǎng)為 橫向振幅分布因子 位相因子 2 4 1諧振腔往返一周變換矩陣的本征態(tài) 2 4本征模式的幾何光學(xué)理論 穩(wěn)定球面腔 穩(wěn)定腔 A D 2 的任一高斯模在腔內(nèi)往返一周后 應(yīng)能重現(xiàn)其自身 設(shè)一高斯光束從腔內(nèi)某一參考平面出發(fā) 往返一周后應(yīng)有 解得 2 4 8 2 4 2穩(wěn)定諧振腔 光腰離參考平面的距離為z 2 4 11 光腰 0的大小為 2 4 10 2 4 13 可算得高斯模在參考平面上的曲率半徑和光斑尺寸為 可導(dǎo)出腔的穩(wěn)定性條件 為實(shí)數(shù) 對(duì)兩鏡腔 多元腔 折疊腔 環(huán)形腔等所有腔型都適用 2 4 14 2 4 15 將ABCD值代入 2 4 10 11 14 15 得 2 4 3穩(wěn)定兩鏡腔本征模式的主要結(jié)果 2 4 17 2 4 17 d2 穩(wěn)定球面腔光腰半徑 2 4 17 鏡面的基模光斑半徑 2 4 17 2 諧振頻率 由 2 3 31 和 2 3 32 可寫出方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩上反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子分別為 按諧振條件 將 d2 式代入上式 并利用三角變換可得一般穩(wěn)定球面腔諧振頻率為 可得諧振頻率為 同理 圓形鏡一般穩(wěn)定球面腔的諧振頻率為 d3 d4 基模運(yùn)場(chǎng)發(fā)散角 全角 模體積 按共焦腔模體積相同的考慮方法 一般穩(wěn)定球面腔的基模模體積可以定義為 今有一球面諧振腔 R1 1m R2 2m L 0 5m 10 6 m 1 試證明該腔為穩(wěn)定腔 求出該腔的光腰半徑及其遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角各為多少 2 離R2右邊距離為1m處的光斑半徑和等相位面曲率半徑各為多少 例題 穩(wěn)定腔 2 5非穩(wěn)腔 A D 2 本征光束是 球面波 點(diǎn)光束 優(yōu)點(diǎn) 1 有很大的模體積 2 直接利用腔的衍射損耗耦合輸出 3 可輸出準(zhǔn)直性很好的光束 4 橫模損耗間隔比穩(wěn)定腔大 易進(jìn)行橫模選擇 本征值 穩(wěn)定腔 非穩(wěn)定腔解為實(shí)數(shù) 所以對(duì)應(yīng)的本征態(tài)是實(shí)曲率半徑R的球面波 2 5 2 2 5 5 2 5 4 將非穩(wěn)腔往返一周變換矩陣代入 2 5 4 可以得到M1處的幾何自再現(xiàn)波型的曲率半徑 2 5 9 當(dāng)g1g2 1或者 A D 2 取 號(hào)當(dāng)g1g2 0或者 A D 2 取 號(hào) 非穩(wěn)腔的自再現(xiàn)條件為 軸線上存在的這兩個(gè)源點(diǎn)P1和P2點(diǎn)在相應(yīng)的反射鏡中互為影像 符號(hào)規(guī)定是 如果所考慮的P點(diǎn)在腔外則距離l 0是正的 反之l 0 2 5 10 2 5 8 可解得 2 5 11 2 5 2非穩(wěn)腔的幾何損耗 設(shè)m1是鏡M1