立體幾何復(fù)習(xí)專題-線線角.doc

立體幾何復(fù)習(xí)專題-空間角之線線角一、基礎(chǔ)知識(shí)1.定義： 直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間一交o，分別a/a，b/b，相交直線ab所成的銳角（或直角）叫做 。2.范圍： 3.方法： 平移法、（1）平移法：在圖中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（通常是線段端點(diǎn)或中點(diǎn)）作a、b的平行線，構(gòu)造一個(gè)三角形，并解三角形求角。步驟根據(jù)定義，通過(guò)平移，找到異面直線所成的角；解含有的三角形，求出角的大小. (常用到余弦定理)余弦定理： (計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)（2） 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等幾何體,以便發(fā)現(xiàn)異面直線間的關(guān)系（3）三線角公式 用于求線面角和線線角.斜線和平面內(nèi)的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦 即： DCBAC1D1B1A1若 OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內(nèi)的射影，OC為面內(nèi)的一條直線，其中為OA與OC所成的角，1為OA與OB所成的角，即線面角，2為OB與OC所成的角，那么 cos=cos1cos2 （同學(xué)們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）【典型例題】例1：（1）在正方體中，下列幾種說(shuō)法正確的是 （ ）A、 B、 C、與成角 D、與成角答案：D。解析：A1C1與AD成45，D1C1與AB平行，AC1與DC所成角的正切為。例2:（1）如圖，在正方體中，E,FG,H分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）（2）如圖,正四棱柱中,則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)(3) 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成的角的余弦值_。ADCB（4）在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是_.小結(jié)：異面直線所成的角求法：平移法 三垂線例:3、在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求異面直線D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：過(guò)B點(diǎn)作 AC的平行線（補(bǔ)形平移法）方法二：過(guò)AC的中點(diǎn)作BD1平行線例3、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn) （）證明：面面；（）求與所成的角；證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 （）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因例4、 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面， 為的中點(diǎn) 求直線與所成角的余弦值；解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為 訓(xùn)練題1異面直線a , b所成的角為，過(guò)空間一定點(diǎn)P，作直線L，使L與a ,b 所成的角均為，這樣的直線L有 條。 答案：三條。解析：如換成50，70呢。2已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且DPA=450，DPB=600，則DPC=_。答案：600 。解析：以PD為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體3.正方體的12條棱和12條 面對(duì)角線中，互相異面的兩條線成的角大小構(gòu)成的集合是 。4.正方體中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BD1所成角的大小為 。5.已知為異面直線a與b的公垂線，點(diǎn)，若a、b間距離為2，點(diǎn)P到的距離為2，P到b的距離為 ，則異面直線a與b所成的角為 。6如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則AM與CN所成角為 。7.如圖PD平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=2DP，E為CD中點(diǎn)。（1）與BE所成的角為 （2）若直線PD，且AF與BE所成角為1. =30行嗎？2. =75時(shí)；= 。8.空間四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD與各邊長(zhǎng)均為1，O為的重心，M是AC的中點(diǎn)，E是 AO的中點(diǎn)，求異面直線OM與BE所成的角 。9.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分別是中點(diǎn)（1）AC和BD所成的角為。（2）MN與BC所成的角為。10.已知正方體AC1中，（1）E、F分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則AE與CF所成的角為（2）M、N分別是AA1，BB1的中點(diǎn)，則CM和D1N所成的角是。11、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大?。唬ǎ?解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 過(guò)點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF則為異面直線PA與BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂線定理，得PFAF則AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，異面直線PA與BC所成的角為