數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)-公開課

精品文檔 1歡迎下載 新苗杯 初賽教學(xué)設(shè)計(jì) 課題 數(shù)學(xué)歸納法 第一課時(shí) 學(xué)科組 數(shù)學(xué)組 授課教師 胡瀟 精品文檔 1歡迎下載 數(shù)學(xué)歸納法 第一課時(shí) 教學(xué)設(shè)計(jì) 一 教材內(nèi)容分析 人教版 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) A 版選修 2 2 第二章 推理與證明 的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)的基本思維過程 也是人們生活和學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的思維方式 該章內(nèi) 容分為三小節(jié) 合情推理和演繹推理 直接證明和間接證明 數(shù)學(xué)歸納法 通過合情推理 歸納出的有一類特殊問題 與正整數(shù)n有關(guān)的命題 用之前學(xué)習(xí)的方法難以解決 從 而我們產(chǎn)生學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法 的必要性 學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法后 學(xué)生可以解決部分 證 明n取無限多個(gè)正整數(shù)命題成立 的問題 本節(jié)內(nèi)容編寫思路是 問題情境引發(fā)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)欲望 多米諾骨牌蘊(yùn)含的原 理分析 用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題 從具體問題中概括出數(shù)學(xué)歸納法 在這個(gè) 過程中 學(xué)生首先需要從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)原理 然后需要利用該原理對數(shù)學(xué)問題進(jìn) 行嚴(yán)格證明 因此 本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力 訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力的好 素材 二 學(xué)情分析 高二學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力 但對于數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)生理解和 接受它是一件很困難的事情 因?yàn)閷W(xué)生缺少體驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ) 所以需為學(xué)生創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)歸 納法有類似想法的實(shí)際體驗(yàn) 三 教學(xué)目標(biāo) 1 通過具體情境 體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性 2 借助生活實(shí)例和體驗(yàn)操作 感知數(shù)學(xué)歸納法的原理 體會數(shù)學(xué)與生活的緊密結(jié)合性 3 通過從解決具體數(shù)學(xué)問題的思維中概括出數(shù)學(xué)歸納法 訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力 在證明過程中 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力 四 教學(xué)重 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) 通過游戲模型和生活實(shí)例 了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想 掌握數(shù)學(xué)歸 納法的證明步驟及每個(gè)步驟的作用 教學(xué)難點(diǎn) 如何類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題 了解數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟 如何理解數(shù)學(xué)歸納法中第二步的本質(zhì) 建立遞推關(guān)系 五 教學(xué)策略 基于上述分析 我采取以下的教學(xué)策略 精品文檔 2歡迎下載 1 設(shè)置問題串 教學(xué)策略 在列舉模型反思游戲過程時(shí) 設(shè)置具有啟發(fā)性的問題 逐步推進(jìn)對思想方法的理解 為本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)作鋪墊 在類比抽象的過程中 設(shè)置類比 問題 幫助學(xué)生類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題 突破教學(xué)難點(diǎn) 在形成數(shù)學(xué)歸納法 概念后 設(shè)置反思問題 了解數(shù)學(xué)歸納法第二步驟的作用 明確第一步驟的起點(diǎn)問題 加 深對數(shù)學(xué)歸納法的理解 突破教學(xué)難點(diǎn) 課堂小結(jié)時(shí) 利用問題串 幫助學(xué)生回顧知識 要點(diǎn) 2 螺旋上升 教學(xué)策略 先通過具體情境的探究 引發(fā)學(xué)生求知欲 再通過多米諾 骨牌初步體會和認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的雛形 然后類比這種思想 解決數(shù)學(xué)問題 進(jìn)而從中提 煉出數(shù)學(xué)歸納法 通過對數(shù)學(xué)歸納法的步驟反思 對步驟的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識和剖析 通過例 題教學(xué) 幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法步驟和易錯(cuò)點(diǎn) 以此逐步完成對數(shù)學(xué)歸納法的深刻理 解 精品文檔 3歡迎下載 六 教學(xué)過程 教學(xué)流程設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè) 情境 引入 新課 情境 將若干個(gè)小立方塊如圖所示擺放 第 1 堆擺放 1 個(gè) 第 2 堆擺放 9 個(gè) 以此類推 問題 1 第 3 堆 第 4 堆 第 5 堆各有多少個(gè)小方塊 問題 2 第n堆有多少個(gè)小方塊 你能得到怎樣的等式 2 33332 1 12 31 4 nnn 預(yù)設(shè) 學(xué)生有可能得到 2 3333 12 3123nn 提示學(xué)生進(jìn)行化簡 問題 3 如何驗(yàn)證你得到的結(jié)論正確與否呢 總結(jié) 這個(gè)問題無法利用已學(xué)知識解決 因此 我們需要一 種新的證明方法 這就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法 板 書 大綱版教材采用的引入 例題是 求證 2222 12 3n 1 121 6 n nn 該引入方式計(jì)算前幾項(xiàng) 后 學(xué)生不容易歸納得 到結(jié)論 直接給出命題 證明顯得較為突兀 課 標(biāo)版教材引入例題是 1 1a 1 1 n n n a a a 在數(shù)列的學(xué)習(xí)中 學(xué)生 已能夠解決該引例問題 較難說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納 法是必要的 該例題的 設(shè)計(jì)旨在利用先行組織 者 引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突 明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的 必要性 激發(fā)學(xué)生求知 欲 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前 先來看一個(gè)小游戲 多米諾骨 牌 2011 年 12 月 31 日晚 中國小伙子劉楊成功以 321197 枚多米諾骨牌的成績 刷新了多米諾骨牌個(gè)人吉尼斯世界紀(jì) 錄 隨著一段簡短的視頻 我們一起感受一下當(dāng)時(shí)壯觀的場 面 播放視頻 30s 利用視頻引出多米諾骨 牌游戲 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí) 興趣 同時(shí) 利用中國 人創(chuàng)造吉尼斯紀(jì)錄視頻 激發(fā)學(xué)生愛國情懷 活動 體驗(yàn) 探究 原理 從視頻上看多米諾骨牌游戲是很震撼的 我們自己也可以動 手體驗(yàn)一下多米諾骨牌游戲過程 游戲道具 折疊的撲克牌 利用游戲體驗(yàn) 激發(fā)學(xué) 生求知興趣 讓學(xué)生動 手操作 鍛煉學(xué)生動手 能力 學(xué)生參與體驗(yàn) 精品文檔 4歡迎下載 游戲規(guī)則 分組活動 每組 8 張撲克牌 將本組所有折疊的撲克牌豎直擺放 擺放好后 推倒其中一張撲克牌 游戲判定 所有撲克牌倒下即為成功 才能更好地從自身體驗(yàn) 中總結(jié)過程 為后面抽 象原理做鋪墊 請結(jié)合剛才的游戲體驗(yàn) 思考并討論下列問題 問題 1 我們把手動推到的撲克牌稱作 第 1 張撲克牌 第 1 張撲克牌倒下后 其他撲克牌如何倒下的 問題 2 如果任給n張撲克牌排成一列 要保證所有撲克牌 全部倒下 需要滿足哪些條件 小組代表發(fā)言 預(yù)案 若學(xué)生回答相鄰兩張撲克牌相隔不能太遠(yuǎn) 預(yù)設(shè)追問 不能相隔太遠(yuǎn)目的是什么 預(yù)案 若學(xué)生忽略第 1 張撲克牌倒下的條件 預(yù)設(shè)追問 若不手動推到任何一張撲克牌 撲克牌會倒下嗎 反思游戲過程 讓學(xué)生 親身經(jīng)歷多米諾骨牌原 理的提煉過程 培養(yǎng)學(xué) 生抽象思維和概括能力 利用問題 逐步推進(jìn)對 思想方法的理解 問題 1 旨在幫助學(xué)生思考相鄰 撲克牌的遞推關(guān)系 問 題 2 旨在幫助學(xué)生總結(jié) 兩個(gè)條件 學(xué)生易忽略 起點(diǎn)問題 總結(jié) 任給n張一列撲克牌倒下的條件 1 第 1 塊撲克牌倒下 2 第k張撲克牌倒下導(dǎo)致第k 1 張撲克牌倒下 預(yù)案 學(xué)生在總結(jié)第 2 步時(shí) 易用自然語言描述 任意一 張牌倒下導(dǎo)致后一張牌倒下 預(yù)設(shè)追問 請用數(shù)學(xué)語言表述 任意一張 和 后一張 教師總結(jié) 提煉要點(diǎn) 類比 抽象 形成 概念 回到引入情境中需要證明的猜想 對任意的正整數(shù)n成立 2 33332 1 1231 4 nnn 問題 你能否將解決 任給n張撲克牌全部倒下 的思想運(yùn) 用到 等式對任意的正整數(shù)n成立 的證明中呢 預(yù)案 稍停 觀察有無學(xué)生能夠解決該問題 若無 則給出 提示 問題 1 和 2 若有 讓學(xué)生陳述 教師點(diǎn)評總結(jié) 利用問題串 類比多米 諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問 題 為數(shù)學(xué)問題的證明 作鋪墊 精品文檔 5歡迎下載 提示 上述猜想換一個(gè)說法 任意正整數(shù)n等式成立 兩個(gè) 問題說法類似 我們已經(jīng)找到了使 任給n張撲克牌全部倒 下 的條件 問題 1 類比 任給n張撲克牌全部倒下 的兩個(gè)條件 任 意正整數(shù)n等式成立 需要滿足什么條件 問題 2 要證明猜想成立 現(xiàn)在需要解決什么問題 n張撲克牌全部倒下任意正整數(shù)n等式成立 第 1 塊多米諾骨牌倒下 第k塊多米諾骨牌倒下導(dǎo)致 第k 1 塊多米諾骨牌倒下 問題 3 驗(yàn)證上述兩個(gè)條件是否滿足 完成對猜想的證明 學(xué)生思考 小組討論 投影成果 教師 PPT 規(guī)范格式 證明 1 當(dāng)時(shí) 左邊右邊 結(jié)論成立 1n 32 11 2 假設(shè)當(dāng)時(shí) 命題成立 即nk 2 33332 1 1231 4 kkk 當(dāng)時(shí) 左邊1nk 3 3333 1231kk 23 2 1 11 4 kkk 2 2 1 144 4 kkk 右邊 221 12 4 kk 因此 若時(shí)命題成立 可推出時(shí)命題成立 nk 1nk 由 1 2 可得 對任意 2 33332 1 1231 4 nnn 正整數(shù)n成立 學(xué)生通過思考討論 初 步了解數(shù)學(xué)歸納法的步 驟 同時(shí) 在證明過程 中 培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理 能力 問題 請概括上述證明過程的步驟 總結(jié) 學(xué)生總結(jié) 教師板書數(shù)學(xué)歸納法步驟 任給n張撲克牌全部倒下任意正整數(shù)n等式成立 學(xué)生總結(jié)解題步驟 形 成數(shù)學(xué)歸納法的概念 明確其步驟 同時(shí) 培 養(yǎng)學(xué)生概括能力 精品文檔 6歡迎下載 上述證明問題的步驟方法即是數(shù)學(xué)歸納法 利用上述兩個(gè)證明步驟 可以建立命題鏈 第 1 塊多米諾骨牌倒下 1 時(shí)命題成立 1n 第k塊多米諾骨牌倒下 第k 1 塊多米諾骨牌倒下 2 假設(shè)時(shí)命題成立nk 驗(yàn)證時(shí)命題成立 1nk 結(jié)合上述兩步 可知所有 多米諾骨牌都能倒下 結(jié)合上述兩步 斷定命題對 任意的正整數(shù)成立 辨析 概念 深化 理解 反思 1 第 2 步為什么要假設(shè)k成立 假設(shè)k成立為什么 可以作為條件使用 提示 解決這個(gè)問題 需要明確 2 證明的是什么 總結(jié) 2 本質(zhì)證明的是遞推關(guān)系 上述鏈表中的箭頭 為了證明遞推關(guān)系 構(gòu)造了一個(gè)命題 假設(shè)k成立是所構(gòu)造 命題的條件 2 證明了遞推關(guān)系 1 給出了起點(diǎn)問題 接下來我們研 究一下有關(guān)起點(diǎn)的問題 反思 2 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第一步需要驗(yàn)證什么 1 111 1 232n n 1nn A 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 凸n邊形的對角線條數(shù)為 3 2 n n 第一步需要驗(yàn)證什么 總結(jié) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 第一步從等于幾開始起 要 根據(jù)具體問題而定 問題 從這兩個(gè)問題中 你覺得剛才得到的數(shù)學(xué)歸納法可以 怎樣的修改呢 預(yù)設(shè)追問 若 1 修改為命題成立 最后得到什么結(jié)論 0 nn 數(shù)學(xué)歸納法步驟可總結(jié)為 通過反思問題 辨析數(shù) 學(xué)歸納法第一步起點(diǎn)問 題 明確數(shù)學(xué)歸納法第 二步的作用 深化對數(shù) 學(xué)歸納法概念的理解 精品文檔 7歡迎下載 1 證明當(dāng) 時(shí) 命題成立 0 nn 0 n A 2 假設(shè) 時(shí)命題成立 證明當(dāng)nk o kn k A 時(shí)命題成立 1nk 結(jié)合上述兩步 斷定命題對任意的正整數(shù)成立 0 nn 總結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與正整數(shù)n n取無限多個(gè)值 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 但是并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命 題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明 預(yù)設(shè)反例 單調(diào)增問題不能用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 1 n n a n 例題 呈現(xiàn) 鞏固 知識 例 利用數(shù)學(xué)歸納法證明 2222 1 123121 6 nn nn 對任意正整數(shù)n成立 學(xué)生板書 學(xué)生修改 教師點(diǎn)評修改 證明 1 當(dāng)時(shí) 左邊 右邊 命題成立 1n 2 假設(shè)當(dāng)時(shí) 命題成立 即nk 2222 1 123121 6 kk kk 當(dāng)時(shí) 左邊1nk 21 1211 6 k kkk 2 1 2761 6 kkk 1 2231 6 kkk 右邊 1 12211 6 kkk 因此 若時(shí)命題成立 可推出時(shí)命題成立 nk 1nk 綜合 1 2 步 可知命題對任意正整數(shù)n成立 學(xué)生通過運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納 法 模仿格式規(guī)范證明 檢驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法步驟掌 握情況 在證明過程中 培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能 力 精品文檔 8歡迎下載 課堂 練習(xí) 明確 易錯(cuò) 點(diǎn) 備用 利用數(shù)學(xué)歸納法判斷 1221 321 n nnnnn 是否對任意正整數(shù)n成立 預(yù)設(shè)錯(cuò)誤 時(shí) 添加項(xiàng)錯(cuò)誤