初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué).doc

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)素食則氣不濁；獨(dú)宿則神不濁；默坐則心不濁；讀書則口不濁。曾國藩初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)是常量的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)，它只能解決和解釋常量的幾何問題和物理問題，比如規(guī)則圖形的長度、面積和體積，勻速直線運(yùn)動(dòng)，常力沿直線的作功，質(zhì)點(diǎn)間的吸引力等；高等數(shù)學(xué)是變量的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，它解釋和解決那些變化的幾何問題和物理過程，特別是描述一些物體的漸近行為和瞬時(shí)物理量等，比如不規(guī)則圖形的長度、面積和體積，一般運(yùn)動(dòng)問題，變力沿曲線作功，一般物體間的吸引力等。（高等）數(shù)學(xué)教與學(xué)數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，不僅僅在于學(xué)到一些數(shù)學(xué)的概念、公式和結(jié)論，更重要的是要了解數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，真正掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的精髓。只有這樣，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)才不至淪為一堆僵死的教條，變得似乎毫無用處，相反，能做到觸類旁通，在現(xiàn)實(shí)世界中提出的種種問題面前顯示出無窮無盡的威力，終生受用不盡。如何教好或?qū)W好數(shù)學(xué)，特別是高等數(shù)學(xué)？一理解概念 數(shù)學(xué)，特別是現(xiàn)代形態(tài)的數(shù)學(xué)，是一種很空洞抽象的東西。從形式上看，數(shù)學(xué)是由無物質(zhì)內(nèi)容的形式符號(hào)按一定的游戲規(guī)則所組成的推演系統(tǒng)，她遠(yuǎn)離人的直接經(jīng)驗(yàn)，具有一定的超現(xiàn)實(shí)性。完全純粹的數(shù)學(xué)，對(duì)于常人來說，無疑是一部天書。為了理解數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念，讀懂天書中的每一個(gè)詞，我們必須堅(jiān)持語言文字、數(shù)學(xué)公式、圖形列表、數(shù)值計(jì)算和物理實(shí)例四方面并重，力求通過不同側(cè)面來理解數(shù)學(xué)概念、思想和方法。 二演算解題 高等數(shù)學(xué)，單靠教師把課講好是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。只有調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，促使他們自覺地接受經(jīng)常、充分而又嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，才能使他們真正走近數(shù)學(xué)，取得切身的體會(huì)，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。在認(rèn)真復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上做好習(xí)題，是和課堂教學(xué)聯(lián)系最直接與緊密，同時(shí)也最利于經(jīng)常實(shí)施和長期堅(jiān)持的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)訓(xùn)練。多講不如多練，對(duì)數(shù)學(xué)這樣一門注重思考的學(xué)科，情況更是如此。只有通過嚴(yán)格的訓(xùn)練，使學(xué)生手腦并用，才能啟迪心智，推動(dòng)思維，使認(rèn)識(shí)不斷深入。由于解題在訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維方面的極端重要性，更需要對(duì)學(xué)生的解題進(jìn)行必要的指引。當(dāng)然這里的演算解題不僅僅局限于帶帶公式，套套定理，算算極限、導(dǎo)數(shù)或積分，更包括解答一些基本的數(shù)學(xué)證明問題。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不僅要求學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)中的一些基本概念、基本性質(zhì)和基本方法；更重要的是掌握高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系、知識(shí)框架，期望學(xué)生通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，提高抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和運(yùn)用所學(xué)只是分析問題和解決問題的能力。 三邏輯結(jié)構(gòu) 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，符號(hào)演算在課程中常占著較大的比例，比如微積分中的極限演算，導(dǎo)數(shù)和各種積分演算等。而事實(shí)上，符號(hào)演算僅僅是數(shù)學(xué)中的形式部分，也是比較簡單的部分；數(shù)學(xué)中的邏輯結(jié)構(gòu)才是它的理性思辨的精髓所在，它雖然不同于物質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)，但是它們所產(chǎn)生神妙的結(jié)構(gòu)性功能，卻是可以類比的。比如一種機(jī)械在裝配前，只是一堆死的零部件，若加以精密的裝配，就是賦予一種結(jié)構(gòu)，于是這堆零件就回變成鐘表、計(jì)算機(jī)、電視機(jī)和汽車等等，產(chǎn)生出各種奇妙的功能，因此結(jié)構(gòu)是各種機(jī)械的靈魂。數(shù)學(xué)，特別是高等數(shù)學(xué)是具有很精密而系統(tǒng)的建構(gòu)性，它的任何章節(jié)，所有概念和定理無不是由嚴(yán)密的邏輯因果網(wǎng)編織連接在一起的?？梢哉f，數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)乃是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)與靈魂，是它的原理和精神的所在。因此在學(xué)習(xí)中尤其要加以理解和領(lǐng)會(huì)，做到融會(huì)貫通，舉一反三。 四數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí) 從形式上看，數(shù)學(xué)乃是由無物質(zhì)內(nèi)容的形式符號(hào)按一定的游戲規(guī)則所組成的符號(hào)推演系統(tǒng)，它遠(yuǎn)離人的直接經(jīng)驗(yàn)。但是追本溯源，它的任何分支都是由更初級(jí)的內(nèi)容演化發(fā)展而來的，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的無限高度抽象和概括而得到的，它們都是自現(xiàn)實(shí)發(fā)端的有源之水?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)為什么會(huì)變得如此不友好呢？這還得從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史來看，特別是微積分的發(fā)展歷史。極限、導(dǎo)數(shù)和積分剛開始是作為解決各類實(shí)際問題的特殊方法，語言也是各具問題來源地的方言，思維表達(dá)上還不是十分嚴(yán)謹(jǐn)，也引起一定的混亂和錯(cuò)誤。后來，遭到各方的批評(píng)和指責(zé)，經(jīng)過幾代人，近百年的努力，才將微積分的基礎(chǔ)鞏固。為此付出的代價(jià)就是現(xiàn)在這樣一個(gè)不友好的面目。但是我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，還是不要拋棄微積分本來的具體實(shí)例、直觀思維等實(shí)實(shí)在在的東西，不要被它的嚴(yán)肅刻板的-(語言、-N語言所嚇倒，這只是微積分為了保護(hù)自己的盾牌而已。數(shù)學(xué)這種形式上的超現(xiàn)實(shí)性在某種程度上是其在各種自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中都有廣泛而深刻的應(yīng)用的保證。但是，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這種抽象的數(shù)學(xué)時(shí)，一定要結(jié)合具體而生動(dòng)的實(shí)例加以理解，還抽象數(shù)學(xué)以其現(xiàn)實(shí)本性，只有這樣我們才不會(huì)覺得數(shù)學(xué)是活的、生動(dòng)的、具體的、可以捉摸的，而且會(huì)體會(huì)到它為什么會(huì)是這樣的，為什么會(huì)必然是這樣的，做到知其然，更要做到知其所以然。 五深入淺出 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，實(shí)質(zhì)上是一定知識(shí)載體上的數(shù)學(xué)邏輯的演繹訓(xùn)練（包括符號(hào)演算）。數(shù)學(xué)思維是思辨性的演繹思維，它不同于自然科學(xué)中的觀察、歸納、總結(jié)、分析這樣的歸納思維。粗略地說，歸納思維是人有生以來認(rèn)識(shí)了解周圍世界的一種主要思維方法，是人生來就熟悉的自然思維；而演繹思維是歸納思維的一種逆向思維，是一種更為復(fù)雜的理性思維。只有通過一定的訓(xùn)練，我們才能熟悉、掌握和運(yùn)用。在具體學(xué)習(xí)上，首先要能夠聽清楚每一堂課，這不僅僅是指聽懂了那些名詞概念，會(huì)套用那些公式；更重要的是理解其內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)，以及與其他概念之間的外在聯(lián)系。數(shù)學(xué)邏輯的演繹，從思維結(jié)構(gòu)上看是串聯(lián)的，也即在邏輯演繹的推理鏈只需有一個(gè)環(huán)節(jié)不連續(xù)、銜接不上，其后續(xù)的推理就失去了依據(jù)，整個(gè)演繹就不能繼續(xù)。這壽命了這個(gè)思維結(jié)構(gòu)的脆弱性。由于上述緣故，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中必須做到十分細(xì)致、縝密，深刻理解數(shù)學(xué)演繹中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，以及環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，做到事出有據(jù)，不使演繹鏈中斷，這是深入。但是如果只有深入，使得我們埋頭于每一步驟的細(xì)節(jié)，往往會(huì)使我們之間樹木不見森林，眼睛一閉，書本一合，全然不知所云！這就要求我們要淺出，從高處俯覽、遠(yuǎn)處遠(yuǎn)眺所學(xué)的內(nèi)容，即對(duì)內(nèi)容作全局性、宏觀性的總結(jié)和概括。明白它要講什么，要干什么，怎么達(dá)到目的。就像要了解一臺(tái)精密的設(shè)備，僅僅了解它的所有零部件是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們必須要宏觀地