方程的根與函數(shù)的零點(diǎn).doc

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)八道江區(qū) 白山市第二中學(xué) 劉慶輝【教學(xué)理念】今年是我省進(jìn)入高中課改的第一年，我將力求在本節(jié)課的教學(xué)中體現(xiàn)新課標(biāo)的要求：以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索，與他人合作的良好習(xí)慣，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)，通過(guò)典型事例的分析，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程的重要數(shù)學(xué)思想方法。【教材分析】本節(jié)是選自人教版高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版（必修1）第三章第一節(jié)內(nèi)容，是在學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及性質(zhì)，并且掌握了幾個(gè)基本初等函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，在這一節(jié)結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系；為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)算法奠定基礎(chǔ).【學(xué)情分析】由于初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)，及高中又剛剛學(xué)習(xí)過(guò)了函數(shù)的性質(zhì)，所以先由一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，學(xué)生易于接受，也能很快掌握，通過(guò)函數(shù)圖象及信息技術(shù)的應(yīng)用，學(xué)生能夠加深認(rèn)識(shí)和理解根與零點(diǎn)的知識(shí).【教學(xué)目標(biāo)】 根據(jù)新課標(biāo)的教學(xué)理念以及本節(jié)課的實(shí)際，教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下：知識(shí)與技能 理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根之間的關(guān)系，掌握零點(diǎn)存在的判定條件過(guò)程與方法 探求零點(diǎn)存在性的判定，感知?dú)w納總結(jié)與概括的思想方法.情感、態(tài)度、價(jià)值觀 在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值,感受數(shù)學(xué)的美感,發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.由于本節(jié)既有概念的教學(xué)，又有概念的應(yīng)用結(jié)合其內(nèi)容的知識(shí)體系以及學(xué)生的認(rèn)知能力，教學(xué)重難點(diǎn)如下：【教學(xué)重點(diǎn)】 零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系【教學(xué)難點(diǎn)】 零點(diǎn)存在的條件【教學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生討論探究【教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)】：?jiǎn)栴}導(dǎo)入進(jìn)入新課新課推進(jìn)新課深入創(chuàng)設(shè)情境組織探究1 -例題研究 收獲體會(huì)作業(yè)反饋組織探究2償試練習(xí) 探索研究【教學(xué)過(guò)程與操作設(shè)計(jì)】：環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題導(dǎo)入1.一枚炮彈從地面發(fā)射后,炮彈的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式為 ,問(wèn)炮彈經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間回到地面? （1）舉一個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單的例子,使學(xué)生對(duì)本節(jié)的內(nèi)容有一個(gè)直觀的感受.（2）一是復(fù)習(xí)，二是為下面畫(huà)圖能順利進(jìn)行做好準(zhǔn)備（3）教師點(diǎn)出課題,使學(xué)生的注意力集中于本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容之中.2一次函數(shù),二次函數(shù)的圖象如何畫(huà)出,要注意哪些要點(diǎn)？ （幻燈片展示） 進(jìn)入新課創(chuàng)設(shè)情境組織探究1組織探究2償試練習(xí)探 索研 究 1我們來(lái)研究方程的根與函數(shù)的圖象間的關(guān)系，問(wèn)：該如何來(lái)研究？從哪開(kāi)始來(lái)研究？ （教師提問(wèn)）（學(xué)生會(huì)想到熟悉的一元一次方程與一次函數(shù)的圖象, 一元二次方程與二次函數(shù)的圖象，指數(shù)方程與指數(shù)函數(shù)的圖象,教師要引導(dǎo)學(xué)生努力思考)1.主要是調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，使學(xué)生的思維處于起步狀態(tài)。同時(shí)，該問(wèn)題設(shè)置的目的還在于培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的數(shù)學(xué)思維方法為學(xué)生在高中的后繼學(xué)習(xí)做一些準(zhǔn)備.2對(duì)于上述函數(shù)與方程，我們應(yīng)先研究誰(shuí)好呢？ （教師提問(wèn)）（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)表不同的見(jiàn)解，會(huì)發(fā)現(xiàn)一元一次方程與一次函數(shù)圖象, 一元二次方程與二次函數(shù)圖象，最易研究.）2.向?qū)W生滲透“從最簡(jiǎn)單、最熟悉的問(wèn)題入手去解決較復(fù)雜問(wèn)題”的一般思維方法.這也是新中所提出的對(duì)學(xué)生思維的一種要求.3請(qǐng)學(xué)生舉一些一元一次方程與相應(yīng)的一次函數(shù)圖象, 一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的例子. (幻燈片展示)（學(xué)生會(huì)舉出很多例子，啟發(fā)學(xué)生從這些例子中選出有代表性且能解決問(wèn)題的即可.）例(1)方程與函數(shù)(2)方程與函數(shù)(學(xué)生歸納： 的根 相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn) 的關(guān)系)(3) (4)(5) (學(xué)生歸納：二次函數(shù)），方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)），方程有兩相等實(shí)根二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，），方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，)4函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn) （板書(shū)）找同學(xué)說(shuō)出一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)圖象與軸的有一個(gè)零點(diǎn)=二次函數(shù)），二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)），二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn),），二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)由一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)歸納更為一般的結(jié)論函數(shù)零點(diǎn)的意義： （板書(shū)）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的（實(shí)數(shù)根）亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的（橫坐標(biāo)）即：方程有（實(shí)數(shù)根）函數(shù)的圖象與軸有（交點(diǎn)）函數(shù)有（零點(diǎn)）利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒(méi)有根，有幾個(gè)根，并指出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)。（1）；（2）；5對(duì)于一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)易求，那么對(duì)于不能用公式法求根或更一般的方程又如何找出零點(diǎn)呢？先來(lái)看具體的函數(shù)（零點(diǎn)存在性的探索）：（）觀察二次函數(shù)的圖象： 在區(qū)間上有零點(diǎn)_；_，_,_0（或） 在區(qū)間上有零點(diǎn)_；_0（或）（）觀察下面函數(shù)的圖象 在區(qū)間上_(有/無(wú))零點(diǎn)；_0（或） 在區(qū)間上_(有/無(wú))零點(diǎn)；_0（或）在區(qū)間c,d上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(c)_0（或）思考：對(duì)于函數(shù)，在區(qū)間上有 0時(shí)，零點(diǎn)的情況？由以上探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？(學(xué)生歸納：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0，那么函數(shù)在（a ,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c（a ,b），使得f(c)=0這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根）；(由學(xué)生找出關(guān)鍵條件：連續(xù)不斷的一條曲線，有0，那么函數(shù)在（a ,b）內(nèi)有零點(diǎn))。（板書(shū)）怎樣利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，判定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)3.該問(wèn)題的設(shè)置具有一定的開(kāi)放性，有利于提高學(xué)生的參與意識(shí).培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)的分析判斷能力，選出帶有典型性的解決方案。引導(dǎo)學(xué)生解方程，畫(huà)函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系總結(jié)出一元一次方程的根與相應(yīng)的一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)(x,0) 的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，通過(guò)觀察、思考、總結(jié)、概括得出結(jié)論，并積極和同學(xué)進(jìn)行交流，培養(yǎng)與別人合作的良好的精神培養(yǎng)學(xué)生的歸納與總結(jié)能力:推廣到一般的一元二次方程和二次函數(shù)又怎樣？這種能力的提高對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)是極為重要的,教師有意識(shí)地抓住各種機(jī)會(huì),鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)的能力.4引出零點(diǎn)的概念引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)左邊的這段文字，感悟其中的思想方法再回到具體的函數(shù)中來(lái)加深體會(huì).根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，并進(jìn)行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.目的要學(xué)生明確零點(diǎn)不是點(diǎn)而是實(shí)數(shù).再次深化由特殊到一般的思想方法并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力。由學(xué)生完成填空,加深方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的聯(lián)系,突出本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn).結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定方程的根中的重要作用為下面更一般的方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的研究做準(zhǔn)備.5.提出一個(gè)更一般的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)和探索興趣，使學(xué)生的思維走向深化，培養(yǎng)其思維的深刻性.培養(yǎng)學(xué)生知難而進(jìn)的個(gè)性品質(zhì),設(shè)計(jì)上還是從特殊到一般的方法,學(xué)生易于接受.站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)問(wèn)題,分析函數(shù)，按提示探索，完成解答，并認(rèn)真思考，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)的零點(diǎn)的存在性是否具有著某種關(guān)系結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)析，充分發(fā)揮班級(jí)群體思維的互補(bǔ)作用。這也是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,通過(guò)學(xué)生自己總結(jié)的結(jié)論,印象深刻,讓他們體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，分析其中各條件的作用，為后面的應(yīng)用做準(zhǔn)備.例 題 研 究例1求函數(shù)的零點(diǎn)，并畫(huà)出它的大致圖象（板 演）（零點(diǎn)可求出，圖象可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來(lái)畫(huà)）例2求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說(shuō)出零點(diǎn)所在的區(qū)間. （板 演）設(shè)計(jì)問(wèn)題1：1）你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能說(shuō)出該函數(shù)的零點(diǎn)具有什么特性？設(shè)計(jì)問(wèn)題2：通過(guò)以上兩個(gè)例題你能總結(jié)出函數(shù)零點(diǎn)的求法么？引導(dǎo)學(xué)生歸納： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對(duì)于不能用求根公式求根的方程或者更為復(fù)雜的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或零點(diǎn)所在的區(qū)間.。引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，指出可以借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來(lái)畫(huà)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合圖象對(duì)函數(shù)有零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識(shí)例1，例2是兩個(gè)類型，通過(guò)對(duì)比使學(xué)生能總結(jié)出一般的函數(shù)零點(diǎn)求法.強(qiáng)化所學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容,使學(xué)生對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)有一個(gè)更進(jìn)一步的理解.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的反思意識(shí).培養(yǎng)思維的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性.收獲與體會(huì)說(shuō)出方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，并給出判定方程在某個(gè)閉區(qū)間存在根的基本步驟（1） 函數(shù)的圖像是否是一條連續(xù)的曲線（2） 計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值（3） 判斷函數(shù)值是否異號(hào) 小節(jié)是一堂課內(nèi)容的概括和總結(jié)，是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，有利于使學(xué)生把握本節(jié)所學(xué)的重要內(nèi)容，讓學(xué)生總結(jié)（1）是檢查學(xué)生的收獲情況.（2）是更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.而這種能力對(duì)學(xué)生的高中學(xué)習(xí)是極其重要的。作業(yè)反饋求下列函數(shù)的零點(diǎn)：（1）（2）（3）課后思考： 如何求出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)？作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)信息的反饋，也是師生互動(dòng)的一種方式，教師可以發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足學(xué)生也可以找到自身的問(wèn)題并及時(shí)糾正，實(shí)現(xiàn)“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”，在學(xué)用中體驗(yàn)成功的喜悅.板書(shū)設(shè)計(jì): 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一 零點(diǎn)的概念 四 例1二 零點(diǎn)的意義 例2三 零點(diǎn)的存在性定理 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本節(jié)課是在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，本著“教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一”的教學(xué)原則下組織本節(jié)課的教學(xué)。采取引導(dǎo)探究式的教學(xué)方法并配以多媒體輔助教學(xué)，通過(guò)教師的點(diǎn)撥，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、動(dòng)手操作來(lái)達(dá)到對(duì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和接受，并形成初步的應(yīng)用技能。本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為六個(gè)環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}導(dǎo)入：進(jìn)入新課：新課推進(jìn)：新課深入：收獲與體驗(yàn)：作業(yè)反饋。在教學(xué)過(guò)程中我充分遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在課前生活事例的引領(lǐng)下，進(jìn)入新知識(shí)的學(xué)習(xí)，而直觀情境又在學(xué)生積極思考的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究欲望。在這些環(huán)節(jié)的鋪墊中根與零點(diǎn)的知識(shí)呼之欲出。在新課推進(jìn)和新課深入的兩個(gè)環(huán)節(jié)中均以問(wèn)題為載體，通過(guò)學(xué)生合作作圖、尋求規(guī)律等一系列過(guò)程，在學(xué)生的探索與交流中解決問(wèn)題，形成自己對(duì)本節(jié)課重難點(diǎn)的理解和掌握，從而實(shí)現(xiàn)重難點(diǎn)的突破。課堂練習(xí)和例題，由淺入深