應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系.ppt

7 7應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系 一 單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變成正比 比值為泊松比 而符號(hào)相反 E為材料的彈性模量 單位為N m2 1 二 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 或 G為剪切彈性模量 單位為N m2 2 1 符號(hào)規(guī)定 1 各向同性材料的廣義胡克定律 a 三個(gè)正應(yīng)力分量 拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù) 三 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 3 b 三個(gè)剪應(yīng)力分量 若正面 外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面 上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致 或負(fù)面 外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面 上剪應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致 則該剪應(yīng)力為正 反之為負(fù) 圖中表示的均為正方向 4 線應(yīng)變 以伸長(zhǎng)為正 縮短為負(fù) 剪應(yīng)變 使直角減小者為正 增大者為負(fù) xOy yOz zox 5 在 x y z分別單獨(dú)存在時(shí) x方向的線應(yīng)變 x依次為 2 各向同性材料的廣義胡克定律 1 線應(yīng)變的推導(dǎo) 6 在 x y z同時(shí)存在時(shí) x方向的線應(yīng)變 x為 在 x y z同時(shí)存在時(shí) y z方向的線應(yīng)變?yōu)?7 剪應(yīng)變 xy yz zx與剪應(yīng)力 xy yz zx之間的關(guān)系為 2 剪應(yīng)變的推導(dǎo) 8 9 3 特例 1 平面應(yīng)力狀態(tài)下 假設(shè) Z 0 10 2 廣義胡克定律用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示時(shí)三向應(yīng)力狀態(tài)下 7 7 6 11 平面應(yīng)力狀態(tài)下設(shè) 3 0 則 12 材料的三個(gè)彈性常數(shù)E G 間存在如下關(guān)系 13 14 解 一 一對(duì)應(yīng) 由于構(gòu)件自由表面 所以主應(yīng)力 2 0 所以該點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài) 由 解得 15 該點(diǎn)處另一主應(yīng)變 2的數(shù)值為 2是縮短的主應(yīng)變 其方向必與 1和 3垂直 即沿構(gòu)件的外法線方向 16 四 各向同性材料的體積應(yīng)變 2 各向同性材料在空間應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變 1 概念 構(gòu)件每單位體積的體積變化 稱為體積應(yīng)變用 表示 17 設(shè)單元體的三對(duì)平面為主平面 其三個(gè)邊長(zhǎng)為dx dy dz變形后的邊長(zhǎng)分別為dx 1 dy 1 2 dz 1 3 因此變形后單元體的體積為 2 dz 18 體積應(yīng)變?yōu)?19 將廣義胡克定律 代入得 20 在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下 材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變 x y z有關(guān) 仿照上述推導(dǎo)有 21 在平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下 代入得 可見(jiàn) 材料的體積應(yīng)變等于零 即在小變形下 剪應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變 22 例題7 7邊長(zhǎng)a 0 1m的銅立方塊 無(wú)間隙地放入體積較大 變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中 如圖所示 已知銅的彈性模量E 100GPa 泊松比 0 34 當(dāng)受到P 300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí) 求該銅塊的主應(yīng)力 體積應(yīng)變以及最大剪應(yīng)力 a a a P y x z 23 解 銅塊上截面上的壓應(yīng)力為 y y 由 24 解得 銅塊的主應(yīng)力為 25 體積應(yīng)變和最大剪應(yīng)力分別為 26 例題9 8壁厚t 10mm 外徑D 60mm的薄壁圓筒 在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45 和135 角即x y兩方向分別貼上應(yīng)變片 然后在圓筒兩端作用矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶 如圖所示已知圓筒材料的彈性模量為E 200GPa和 0 3 若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi) 且 max 80MPa 試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變 x y以及變形后的筒壁厚度 27 D t x y m k 可求得 解 從圓筒表面k點(diǎn)處取出單元體 其各面上的應(yīng)力分量如圖所示 28 k