2019版高考數(shù)學(xué)第9章平面解析幾何4第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案理.docx

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0(A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2(r0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d0相切dr0相離dr0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解 判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切()(2)若兩個(gè)圓的方程組成的方程組無解，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為外切()(3)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(4)聯(lián)立兩相交圓的方程，并消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()答案：(1)(2)(3)(4) (教材習(xí)題改編)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1B1，3C3，1D(，31，)解析：選C.由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為，所以，即|a1|2，解得3a1，故選C. 圓Q：x2y24x0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為()Axy20Bxy40Cxy40Dxy20解析：選D.因點(diǎn)P在圓上，且圓心Q的坐標(biāo)為(2，0)，所以kPQ，所以切線斜率k，所以切線方程為y(x1)，即xy20. 若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則實(shí)數(shù)m_解析：圓C1的圓心是原點(diǎn)(0，0)，半徑r11，圓C2：(x3)2(y4)225m，圓心C2(3，4)，半徑r2，由兩圓外切，得|C1C2|r1r215，所以m9.答案：9 直線x2y50與圓x2y28相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_解析：如圖，取AB中點(diǎn)C，連接OC，OA，則OCAB，|OA|2，|OC|，所以|AC|，所以|AB|2|AC|2.答案：2直線與圓的位置關(guān)系 典例引領(lǐng) (1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外， 則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切B相交 C相離D不確定(2)圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)的充要條件是_【解析】(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21，從而圓心O到直線axby1的距離d1，所以直線與圓相交(2)法一：將直線方程代入圓方程，得(k21)x24kx30，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是16k212(k21)1，即1，解得k(，)【答案】(1)B(2)k(，)若將本例(1)的條件改為“點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21上”，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系如何？解：由點(diǎn)M在圓上，得a2b21，所以圓心O到直線axby1的距離d1，則直線與圓O相切判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的方法提醒上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題 通關(guān)練習(xí)1直線xsin ycos 1cos 與圓x2(y1)2的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交D以上都有可能解析：選A.因?yàn)閳A心到直線的距離d1，所以直線與圓相離2(2018聊城模擬)圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4解析：選C.因?yàn)閳A心到直線的距離為2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)圓的切線與弦長問題(高頻考點(diǎn))圓的切線與弦長問題，是近年來高考的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，多為中、低檔題目高考對(duì)圓的切線及弦長問題的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)求圓的切線方程；(2)求弦長及切線長；(3)由弦長及切線問題求參數(shù) 典例引領(lǐng) 角度一求圓的切線方程 過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y70【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，所以點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，因?yàn)閳A心與切點(diǎn)連線的斜率k，所以切線的斜率為2，則圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.故選B.【答案】B角度二求弦長及切線長 (1)若a，b，c是ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且csin C3asin A3bsin B，則直線l：axbyc0被圓O：x2y212所截得的弦長為()A4B2C6D5(2)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|_【解析】(1)因?yàn)?故由csin C3asin A3bsin B可得c23(a2b2)圓O：x2y212的圓心為O(0，0)，半徑為r2，圓心O到直線l的距離d，所以直線l被圓O所截得的弦長為226，故選C.(2)由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸，所以圓心C(2，1)在直線xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦長及切線問題求參數(shù) (2016高考全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_【解析】圓C的方程可化為x2(ya)2a22，可得圓心的坐標(biāo)為C(0，a)，半徑r，所以圓心到直線xy2a0的距離為，所以()2()2，解得a22，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為4.【答案】4(1)求直線被圓截得的弦長的常用方法幾何法：用圓的幾何性質(zhì)求解，運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長|AB|2.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式求解，其公式為|AB|x1x2|. (2)圓的切線方程的求法幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.通關(guān)練習(xí)1平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：選A.設(shè)直線方程為2xyc0，由直線與圓相切，得d，c5，所以所求方程為2xy50或2xy50.2(2018洛陽市第一次統(tǒng)一考試)直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則“k1”是“|AB|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.依題意，注意到|AB|等價(jià)于圓心O到直線l的距離等于，即有，k1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要條件，選A.3(2016高考全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_解析：設(shè)圓心到直線l：mxy3m0的距離為d，則弦長|AB|22，得d3，即3，解得m，則直線l：xy60，數(shù)形結(jié)合可得|CD|4.答案：4圓與圓的位置關(guān)系 典例引領(lǐng) (1)已知圓C1：(xa)2(y2)24與圓C2：(xb)2(y2)21相外切，則ab的最大值為()A. B. C. D2(2)兩圓C1：x2y24xy10，C2：x2y22x2y10相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|_【解析】(1)由圓C1與圓C2相外切，可得213，即(ab)2a22abb29，根據(jù)基本不等式可知9a22abb22ab2ab4ab，即ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立故選C.(2)由(x2y24xy1)(x2y22x2y1)0得弦AB所在直線方程為2xy0.圓C2的方程即為(x1)2(y1)21，圓心C2(1，1)，半徑r21.圓心C2到直線AB的距離d.所以|AB|22.【答案】(1)C(2) 若本例(1)條件中“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值解：由C1與C2內(nèi)切，得 1.即(ab)21, 又ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為.(1)幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，并求r1r2，|r1r2|；比較d，r1r2，|r1r2|的大小，然后寫出結(jié)論 (2)兩圓公共弦長的求法兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解通關(guān)練習(xí)1圓C1：(xm)2(y2)29與圓C2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為()A2B5C2或5D不確定解析：選C.由C1(m，2)，r13；C2(1，m)，r22；則兩圓心之間的距離為|C1C2|235，解得m2或5.故選C.2(2018河南鄭州模擬)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_解析：O1與O在A處的切線互相垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，所以O(shè)1AOA.又因?yàn)閨OA|，|O1A|2，所以|OO1|5.又A，B關(guān)于OO1所在直線對(duì)稱，所以AB長為RtOAO1斜邊上的高的2倍所以|AB|2 4.答案：4 解決有關(guān)弦長問題的兩種方法(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2d2；(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0) 求過一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上，然后設(shè)出切線方程注意：斜率不存在的情形 易錯(cuò)防范(1)求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡(jiǎn)化運(yùn)算(2)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條：過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解 1(2018安徽江南十校聯(lián)考)直線l：xym0與圓C：x2y24x2y10恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A，B2，2C1，1D21，21解析：選D.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為(2，1)，半徑為2，圓心到直線的距離d，若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，則2，解得21m21，故選D.2若直線l：ykx1(k0)與圓C：x24xy22y30相切，則直線l與圓D：(x2)2y23的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定解析：選A.因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)22，所以其圓心坐標(biāo)為(2，1)，半徑為，因?yàn)橹本€l與圓C相切所以，解得k1，因?yàn)閗0，所以k1，所以直線l的方程為xy10.圓心D(2，0)到直線l的距離d0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則當(dāng)t取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.B.C.D.解析：選D.設(shè)P(a，b)為圓上一點(diǎn)，由題意知，0，即(at)(at)b20，a2t2b20，所以t2a2b2|OP|2，|OP|max213，即t的最大值為3，此時(shí)kOP，OP所在直線的傾斜角為30，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為3，即P.6過原點(diǎn)且與直線xy10平行的直線l被圓x2(y)27所截得的弦長為_解析：由題意可得l的方程為xy0，因?yàn)閳A心(0，)到l的距離d1，所以所求弦長222.答案：27在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為_解析：因?yàn)锳OB90，所以點(diǎn)O在圓C上設(shè)直線2xy40與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2xy40的距離，所以點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2xy40為準(zhǔn)線的拋物線上，所以當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|，所以圓C的最小半徑為，所以圓C面積的最小值為.答案：8.如圖，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|2.則圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_解析：如圖，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓C在點(diǎn)B處的切線方程，再求切線在x軸上的截距令(x1)2(y)22中的x0，解得y1，故B(0，1)直線BC的斜率為1，故切線的斜率為1，切線方程為yx1.令y0，解得x1，故所求截距為1.答案：19已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程(1)過切點(diǎn)A(4，1)；(2)與直線l2：x2y40垂直解：(1)因?yàn)閗AC，所以過切點(diǎn)A(4，1)的切線斜率為3，所以過切點(diǎn)A(4，1)的切線方程為y13(x4)，即3xy110.(2)設(shè)切線方程為2xym0，則，所以m5，所以切線方程為2xy50.10圓O1的方程為x2(y1)24，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2，1)(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，求圓O2的方程解：(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2(y1)24，所以圓心O1(0，1)，半徑r12.設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圓O2的方程為(x2)2(y1)2128.(2)設(shè)圓O2的方程為(x2)2(y1)2r，又圓O1的方程為x2(y1)24，相減得AB所在的直線方程為4x4yr80.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H，因?yàn)閞12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圓O2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.1(2018安徽蕪湖六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是()A.B0，1C.D.解析：選A.因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選A.2(2018廣東省五校協(xié)作體第一次診斷考試)兩圓x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三條公切線，若aR，bR且ab0，則的最小值為_解析：兩圓x2y22axa240和x2y24by14b20配方得，(xa)2y24，x2(y2b)21，依題意得兩圓相外切，故123，即a24b29，21，當(dāng)且僅當(dāng)，即a22b2時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1.答案：13(2017高考全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l