2020版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.3變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案（含解析）新人教A版必修3.docx

2.3變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系，會(huì)畫散點(diǎn)圖.2.根據(jù)散點(diǎn)圖，能判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.3.了解線性回歸思想，會(huì)求回歸直線的方程知識(shí)點(diǎn)一變量間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的定義變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系，兩個(gè)變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二散點(diǎn)圖及正、負(fù)相關(guān)的概念1散點(diǎn)圖將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐標(biāo)系中，以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖點(diǎn)(，)叫樣本點(diǎn)中心2正相關(guān)與負(fù)相關(guān)(1)正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域(2)負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域知識(shí)點(diǎn)三回歸直線回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線回歸直線過樣本點(diǎn)中心(2)線性回歸方程：回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程(3)最小二乘法：求線性回歸方程x時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法其中，是線性回歸方程的斜率，是線性回歸方程在y軸上的截距1人的身高與年齡之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系()2農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系()3回歸直線過樣本點(diǎn)中心(，)()4根據(jù)回歸直線方程得到的結(jié)論一定是可靠的()題型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是_(填序號(hào))正方形的邊長與面積之間的關(guān)系；農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；出租車費(fèi)與行駛的里程；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系答案解析在中，正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；為確定的函數(shù)關(guān)系；在中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系(2)某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120畫出散點(diǎn)圖；判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系解散點(diǎn)圖如圖所示由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系反思感悟兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法(1)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷(2)利用散點(diǎn)圖：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷跟蹤訓(xùn)練1某中學(xué)的興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()A沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)B沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)答案A解析由左圖知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，由于兩個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都成線性分布，所以沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故B，C，D正確，A錯(cuò)誤題型二求回歸方程例2某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1380于是可得，6.5，506.5517.5.于是所求的回歸方程是6.5x17.5.反思感悟求回歸方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i1,2，n)(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系(3)把數(shù)據(jù)制成表格(4)計(jì)算，iyi.(5)代入公式計(jì)算，公式為(6)寫出回歸方程x.跟蹤訓(xùn)練2已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點(diǎn)圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)，iyi16122039.1491630，0，所以x即為所求的回歸方程利用線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)典例由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費(fèi)yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，90，iyi112，i20，i25.(1)求所支出的維修費(fèi)y對(duì)使用年限x的線性回歸方程x；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；當(dāng)使用年限為8年時(shí)，試估計(jì)支出的維修費(fèi)是多少？解(1)i20，i25，i4，i5，1.2，51.240.2.線性回歸方程為1.2x0.2.(2)由(1)知1.20，變量x與y之間是正相關(guān)由(1)知，當(dāng)x8時(shí)，1.280.29.8，即使用年限為8年時(shí)，支出的維修費(fèi)約是9.8萬元素養(yǎng)評(píng)析(1)用回歸方程進(jìn)行總體估計(jì)要注意幾點(diǎn)，首先要判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系，準(zhǔn)確求出回歸方程，根據(jù)回歸方程進(jìn)行估計(jì)或預(yù)測，但估計(jì)值不是實(shí)際值，允許有一定誤差(2)收集數(shù)據(jù)，求回歸方程，進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成過程.1對(duì)變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2,3，10)，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2,3，10)，得散點(diǎn)圖2，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以斷定()Ax與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)Bx與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)Cx與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案C解析由圖1可知，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢，故x與y負(fù)相關(guān)；由圖2可知，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢，故u與v正相關(guān)2工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的回歸方程為5080x，下列判斷正確的是()A勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元答案B解析因?yàn)榛貧w直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元3設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點(diǎn)中心(，)C若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg答案D解析當(dāng)x170時(shí)，0.8517085.7158.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg.4某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合0.8x0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計(jì)是_億元答案12.1解析將x15代入0.8x0.1，得12.1.5已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，且過定點(diǎn)(4,5)，則線性回歸方程是_答案1.23x0.08解析回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，即1.23，又回歸直線過定點(diǎn)(4,5)，51.2340.08，1.23x0.08.1判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)2求線性回歸方程時(shí)應(yīng)注意的問題(1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的(2)用公式計(jì)算，的值時(shí)，要先計(jì)算，然后才能算出.3利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測若回歸方程為x，則在xx0處的估計(jì)值為0x0 .一、選擇題1.已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為()A.1.5x2B.1.5x2C.1.5x2D.1.5x2答案B2判斷下圖中的兩個(gè)變量，具有較強(qiáng)相關(guān)關(guān)系的是()答案B解析A，C是函數(shù)關(guān)系，D中的點(diǎn)的分布毫無規(guī)律，橫軸、縱軸表示的兩個(gè)變量之間相關(guān)性不強(qiáng)3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123ym35.57已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程為2.2x0.7，則m的值為()A1B0.85C0.7D0.5答案D解析1.5，將其代入2.2x0.7，可得m0.5，故選D.4設(shè)有一條回歸直線的方程為21.5x，則變量x增加1個(gè)單位時(shí)()Ay平均增加1.5個(gè)單位By平均增加2個(gè)單位Cy平均減少1.5個(gè)單位Dy平均減少2個(gè)單位答案C解析回歸方程為121.5x，221.5(x1)，得211.5，即y平均減少1.5個(gè)單位，故選C.5已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357若y與x線性相關(guān)，則y與x的回歸直線x必過()A點(diǎn)(2,2) B點(diǎn)(1.5,0)C點(diǎn)(1,2) D點(diǎn)(1.5,4)答案D解析1.5，4，回歸直線必過點(diǎn)(1.5,4)故選D.6已知x，y的取值如表所示：x234y645如果y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為x，則等于()AB.CD.答案A解析3，5，回歸直線過點(diǎn)(3,5)，53，故選A.7某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x4235銷售額y49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()A63.6萬元B65.5萬元C67.7萬元D72.0萬元答案B解析3.5，42.因?yàn)榛貧w直線過點(diǎn)(，)，所以429.43.5.解得9.1.故回歸方程為9.4x9.1.所以當(dāng)x6時(shí)，69.49.165.5.8根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為x，則()x345678y4.02.50.50.52.03.0A.0，0B.0，0C.0，0D.0，0答案B解析畫出散點(diǎn)圖，知0，0.二、填空題9在一次試驗(yàn)中測得(x，y)的四組數(shù)據(jù)如下：x16171819y50344131根據(jù)上表可得線性回歸方程5x，據(jù)此模型預(yù)報(bào)當(dāng)x20時(shí)，y的值為_答案26.5解析17.5，39，回歸直線過點(diǎn)(17.5,39)，39517.5，126.5，當(dāng)x20時(shí)，y520126.526.5.10某工廠對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬元)78912由表中數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程x中1.1，預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量為9千件時(shí)，成本約為_萬元答案14.5解析由表中數(shù)據(jù)得4，9，代入線性回歸方程得4.6，當(dāng)x9時(shí)，1.194.614.5.11期中考試后，某校高三(9)班對(duì)全班65名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成績y對(duì)總成績x的回歸方程為60.4x.由此可以估計(jì)：若兩個(gè)同學(xué)的總成績相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績大約相差_分答案20解析令兩人的總成績分別為x1，x2.則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)成績估計(jì)為160.4x1，260.4x2，所以|12|0.4(x1x2)|0.45020.12為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：h)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為_；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號(hào)打6h籃球的投籃命中率為_答案0.50.53解析0.5，3.由公式，得0.01，從而0.50.0130.47.所以回歸方程為0.470.01x.所以當(dāng)x6時(shí)，0.470.0160.53.三、解答題132018年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2017年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x(萬元)24466年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.1年收入x(萬元)677810年飲食支出y(萬元)1.91.82.12.22.3(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出(參考數(shù)據(jù)：iyi117.7，406)解依題意可計(jì)算得，6，1.83，236，10.98，又iyi117.7，406，0.17，b0.81，0.17x0.81.所求的線性回歸方程為0.17x0.81.(2)當(dāng)x9時(shí)，0.1790.812.34(萬元)可估計(jì)大多數(shù)年收入9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元14某公司過去五個(gè)月的廣告費(fèi)支出x(單元：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y40605070工作人員不慎將表格中y的第一個(gè)數(shù)據(jù)丟失已知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為6.5x17.5，有下列說法：銷售額y與廣告費(fèi)支出x正相關(guān)；丟失的數(shù)據(jù)(表中處)為30；該公司廣告費(fèi)支出每增加1萬元，銷售額一定增加6.5萬元；若該公司下月廣告費(fèi)支出為8萬元，則銷售額約為75萬元其中，正確的說法有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案B解析由回歸方程6.5x17.5，可知6.5，則銷售額y與廣告費(fèi)支出x正相關(guān)，所以正確；設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為m，由表中的數(shù)據(jù)可得5，把點(diǎn)代入回歸方程，可得6.5517.5，