2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1函數(shù)的平均變化率1.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)講義新人教B版.docx

1.1.1函數(shù)的平均變化率1.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解函數(shù)平均變化率的概念，會(huì)求函數(shù)的平均變化率(重點(diǎn))2理解瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1通過(guò)函數(shù)平均變化率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).一、函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率的定義一般地，已知函數(shù)yf(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當(dāng)x0時(shí)，商稱(chēng)作函數(shù)yf(x)在區(qū)間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率二、瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系是sf(t)，當(dāng)t趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0t之間的平均變化率趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度2函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在xx0附近改變量為x時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變yf(x0x)f(x0)，如果當(dāng)x趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)l，那么常數(shù)l稱(chēng)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率記作：當(dāng)x0時(shí)，l.還可以說(shuō)：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時(shí)變化率l，記作 l.3函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率，通常稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f(x0)，即f(x0) .4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的，則稱(chēng)f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f(x)或y(或yx)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)x表示x2x1，是相對(duì)于x1的一個(gè)增量，x的值可正可負(fù)，但不可為零()(2)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可負(fù)，也可以為零()(3)表示曲線yf(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1)，(x2，f(x2)連線的斜率()(4)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與x的正、負(fù)無(wú)關(guān)()(5)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上的變化快慢的物理量()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.如圖，函數(shù)yf(x)在1,3上的平均變化率為()A1B1C2 D2解析1答案B3函數(shù)f(x)x2在x1處的瞬時(shí)變化率是_解析f(x)x2，函數(shù)f(x)在x1處的瞬時(shí)變化率是 (2x)2.答案2求函數(shù)的平均變化率【例1】(1)已知函數(shù)yf(x)x21，則在x2，x0.1時(shí)，y的值為()A0.40B0.41C0.43D0.44(2)已知函數(shù)f(x)x，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快思路探究(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)解析(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41答案B(2)自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為.因?yàn)?)垂直上拋的物體，t秒時(shí)的高度為s(t)v0tgt2，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)(2)某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s2t3，則物體在第t1時(shí)的瞬時(shí)速度是_思路探究先求出，再求 .解析(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tgt2，v0gt0gt， v0gt0，即t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0gt0.(2)當(dāng)t1時(shí)，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6， 6，則物體在第t1時(shí)的瞬時(shí)速度是6.答案(1)v0gt0(2)61求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度2求(當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把x作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算(2)求出的表達(dá)式后，x無(wú)限趨近于0就是令x0，求出結(jié)果即可2一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s3tt2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求t0到t2時(shí)的平均速度解(1)初速度v0 (3t)3，即物體的初速度為3 m/s.(2)v瞬l l (t1)1，即物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為1 m/s，方向與初速度方向相反(3)1，即t0到t2時(shí)的平均速度為1 m/s.求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)探究問(wèn)題一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s83t2，其中s表示位移，t表示時(shí)間1試求質(zhì)點(diǎn)在1,1t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度提示：63t.2當(dāng)t趨近于0時(shí)，探究1中的平均速度趨近于何值？如何理解這一速度？提示：當(dāng)t趨近于0時(shí)，趨近于6.這時(shí)的平均速度即為t1時(shí)的瞬時(shí)速度【例3】(1)求函數(shù)f(x)x2x在x1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y3x2在x1處的導(dǎo)數(shù)思路探究求函數(shù)f(x)在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f(x0)解(1)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)23x(x)2，3x，f(1) (3x)3.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1) (63x)6.1通過(guò)本例(1)進(jìn)一步感受平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系，對(duì)于y與x的比值，感受和認(rèn)識(shí)在x逐漸變小的過(guò)程中趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象2用定義求函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f(x0) .簡(jiǎn)記為：一差、二比、三趨近3求函數(shù)f(x)x在x1處的導(dǎo)數(shù)解y(1x)x1x，1，f(1) 2.1已知函數(shù)yf(x)2x2的圖象上點(diǎn)P(1,2)及鄰近點(diǎn)Q(1x，2y)，則的值為()A4B4xC42x2 D42x解析42x.答案D2一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s1tt2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3 s末的瞬時(shí)速度是()A7 m/s B6 m/sC5 m/s D8 m/s解析5t， (5t)5(m/s)答案C3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律sgt2，則在時(shí)間區(qū)間(3,3t)內(nèi)的平均速度等于_(g10 m/s2)解析sg(3t)2g32106t(t)230t5(t)2，305t.答案305t4一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)若質(zhì)點(diǎn)M在t2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，則常