巧用函數(shù)模型解決最值問題.doc

巧用函數(shù)模型解決最值問題江蘇省江陰長(zhǎng)涇中學(xué) 劉云彬 函數(shù)最值是函數(shù)概念的一個(gè)重要組成部分，在研究函數(shù)圖象、性質(zhì)及實(shí)際問題中非常有用。求函數(shù)最值問題的方法有很多，如觀察法、配方法、圖象法、判別式法、換元法等等。但廣大師生仍普遍感到非常困難，本文將巧用數(shù)學(xué)模型，將問題化歸到某一模型上去討論，可以收到出奇制勝的效果。例1 若實(shí)數(shù)x ，y滿足3x-2y-5=0 （1x3），求的最值。 方法1.構(gòu)造函數(shù)模型方法2.構(gòu)造斜率模型是分式函數(shù)，其結(jié)構(gòu)與斜率公式相似，由此可視此式為定點(diǎn)（0，0）與線段3x-2y-5=0 （1x3）上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）連線的斜率，易知 歸納：對(duì)一類化歸為的函數(shù)最值問題，運(yùn)用斜率模型求解不失為一種行之有效的方法。例2.若點(diǎn)P（a，b）在直線x+y+1=0上，求的最小值。 方法一.構(gòu)造函數(shù)模型 中a，b均為變量，化為單參數(shù)問題即可。方法二：構(gòu)造距離模型 可考慮兩點(diǎn)間距離模型，上式可看成求動(dòng)點(diǎn)（a，b）到（1，1）的距離的最小值。根據(jù)數(shù)形結(jié)合知引申：求函數(shù) 解： = 可考慮兩點(diǎn)間距離模型。 上式可以看成求動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（5，1）、點(diǎn)B（1，2）兩點(diǎn)的距離之和的最小值。如圖，又點(diǎn)B（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) B，（1，-2）到點(diǎn)A（5，1）的距離即為所求的最小距離，故。例3.設(shè)a0,函數(shù)F（x）= -4a(ax2-bx+c)，已知F（c）=0，求函數(shù)F（x）的最大值之最小值。常規(guī)方法：由F（c）=0得-4ac（ac-b+1）=0 a0，ac-b+1=0，b= ac+10，ac-1根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，由F（x）的表達(dá)式知函數(shù)F（x）的最大值為M=當(dāng)且僅當(dāng)ac=-1時(shí)等號(hào)成立，故F（x）的最大值之最小值為4。方法2.利用該題的幾何意義將此題化為：已知拋物線V：y= -4a(ax2-bx+c)，（a0），經(jīng)過點(diǎn)P（c，0），其頂點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸距離的最小值。解：在題設(shè)下，拋物線V開口向下，如圖對(duì)稱軸l：位于左半平面或與y軸重合，拋物線V與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，P（c，0），Q（），分別位于右半平面與左半片面頂點(diǎn)M始終在上半片面，而且當(dāng)對(duì)稱軸逐漸移近y軸時(shí)，點(diǎn)M隨之向x軸靠近，因此當(dāng)l與y軸重合時(shí)，（即b=0，時(shí)）點(diǎn)M到x軸的距離最小，其值為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)。例4如圖，一工兵在河岸A處發(fā)現(xiàn)水中S處有一水雷，水雷離岸的距離SB=10m，而工兵距B點(diǎn)的距離為20m，工兵在岸上的跑動(dòng)速度為5m/s，而在水中的速度為1m/s，工兵為盡快到達(dá)S處排雷，他應(yīng)在何處下水？ 分析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。實(shí)際上就是要求我們?cè)诰€段AB上選擇一點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)A、P、S時(shí)所花的時(shí)間最短。因此線段BP的長(zhǎng)度或角的大小就是與問題有關(guān)的變量。于是就有下面的兩種方法。 方法1：如圖，設(shè)工兵從P處下水，BP=x （0x20），則AP=20-x，經(jīng)過點(diǎn)APS所需時(shí)間為。這樣我們就得到目標(biāo)函數(shù)，即化簡(jiǎn)得xR，方程有實(shí)根，又y0，。而當(dāng)當(dāng)方法2：建立三角函數(shù)模型 設(shè)PSB=，(0arctan2),則AP=20-10tan.經(jīng)過點(diǎn)APS所需時(shí)間, 若將看成經(jīng)過M(cos,sin)、N(0,5)兩點(diǎn)的直線l的斜率k，則求y的最小值，即求直線l斜率的最大值。由于0arctan2,所以當(dāng)l：y=kx+5與圓x2+y2=1上對(duì)應(yīng)的一段圓弧相切時(shí)，k取最大值k0。由