江西省宜春市2019屆高三數(shù)學(xué)4月模擬考試試題文（含解析）.docx

宜春市2019屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合為函數(shù)的定義域，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，然后根據(jù)對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求出集合，最后根據(jù)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。【詳解】由題意可知，集合：，解得；集合：，解得，綜上所述，故選D。【點(diǎn)睛】本題考查了交集的相關(guān)性質(zhì)以及集合的取值范圍的求解，能否求出集合以及集合的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是簡單題。2.已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模的相關(guān)性質(zhì)以及復(fù)數(shù)得出以及的值，然后通過兩者相加即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的計算方法以及復(fù)數(shù)的模的計算方法，考查計算能力，提高了學(xué)生對復(fù)數(shù)的理解，是簡單題。3.已知雙曲線的漸近線方程為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程為，結(jié)合漸近線方程為，從而可得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又漸近線方程為，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題. 若雙曲線方程為，則漸近線方程為.4.在等比數(shù)列中，若，是方程的兩根，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)“、是方程的兩根”計算出的值，然后通過等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得出，即可計算出的值。【詳解】因為、是方程的兩根，所以根據(jù)韋達(dá)定理可知，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等比數(shù)列中等比中項的靈活應(yīng)用，若，則有，考查推理能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題。5.已知向量，滿足且，則向量在向量方向的投影為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算法則將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)題意以及投影的相關(guān)性質(zhì)即可得知、以及向量在向量方向的投影為，最后代入數(shù)據(jù)計算，即可得出結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)向量與向量的夾角為，則向量在向量方向的投影為，因為，所以，即，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了向量的運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積以及投影的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是簡單題。6.若滿足，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以通過題目所給出的不等式組畫出不等式組在坐標(biāo)系中所表示的可行域，然后通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行平移即可找出可行域內(nèi)使得目標(biāo)函數(shù)取最小值的點(diǎn)為，最后將代入目標(biāo)函數(shù)中即可得出結(jié)果。【詳解】可根據(jù)題目所給不等式組畫出如圖所示的平面區(qū)域，得出、，再根據(jù)線性規(guī)劃的相關(guān)性質(zhì)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行平移，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時取最小值，此時，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)性質(zhì)，能否通過不等式組正確的畫出可行域并在可行域中找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查推理能力，鍛煉了學(xué)生的繪圖能力，是中檔題。7.已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則A. 2B. 4C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】由題意，直觀圖為圓錐與三棱錐的組合體，利用幾何體的體積求出r，再求出該幾何體的表面積【詳解】由題意，直觀圖為圓錐與三棱錐的組合體，該幾何體的體積為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求面積、體積，考查學(xué)生的計算能力，確定直觀圖的形狀是關(guān)鍵8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，且 ,，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題首先可以通過、以及是正項等比數(shù)列計算出數(shù)列的通項公式，然后通過數(shù)列是等差數(shù)列、以及計算出數(shù)列的通項公式，最后通過數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的通項公式即可計算出的值。【詳解】因為，是正項等比數(shù)列，所以，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，。所以，故選D。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式的求法，考查等差中項的使用，考查推理能力與計算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是中檔題。9.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息.現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通過對稱性將圓陰影部分面積轉(zhuǎn)化為一個小圓的面積，然后利用小圓半徑表示出正方形對角線長，從而求解出正方形面積和圓的面積，作比得到概率.【詳解】由圖像對稱可知，原題中陰影部分面積與下圖中陰影部分面積一致，則陰影部分面積為一個小圓的面積設(shè)：，則， 正方形面積陰影部分面積所求概率本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積型，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別在拋物線及圓的實線部分上運(yùn)動，且始終平行于軸，則的周長的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由拋物線定義可得，從而的周長，確定點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，即可得到結(jié)論【詳解】拋物線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)，由拋物線定義可得，圓的圓心為，半徑為4，的周長，由拋物線及圓可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，故選 C.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，考查拋物線與圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍是關(guān)鍵，屬于中檔題.11.設(shè)點(diǎn)，分別是曲線（是自然對數(shù)的底數(shù)）和直線上的動點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間距離的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】對曲線yxex進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分析知道，過點(diǎn)P直線與直線yx+2平行且與曲線相切于點(diǎn)P，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解即可【詳解】點(diǎn)P是曲線yxex上的任意一點(diǎn)，和直線yx+3上的動點(diǎn)Q，求P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值，就是求出曲線yxex上與直線yx+3平行的切線與直線yx+3之間的距離由y（1x）ex，令y（1x）ex1，解得x0，當(dāng)x0，y0時，點(diǎn)P（0，0），P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值，即為點(diǎn)P（0，0）到直線yx+3的距離，dmin.故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考?？嫉闹R點(diǎn)，是基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可以對函數(shù)的解析式進(jìn)行分析，根據(jù)時函數(shù)的解析式推導(dǎo)出、等區(qū)間的函數(shù)解析式并確定每一段區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的值域，然后將函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有解，通過求解以及偶函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。【詳解】函數(shù)有零點(diǎn)即有解，即，由題意可知，當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，此時的取值范圍為；當(dāng)時，此時的取值范圍為，時，；當(dāng)時，此時的取值范圍為，時，；當(dāng)時，此時的取值范圍為，所以當(dāng)時，有兩解，即當(dāng)時函數(shù)有兩個零點(diǎn)，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時，也有兩解，所以函數(shù)共有四個零點(diǎn)，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查分段函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及偶函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查通過函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的值域的求解，體現(xiàn)了綜合性，是難題。二、填空題（將答案填在答題紙上）13.已知數(shù)列的通項公式，設(shè)其前項和為，則_【答案】【解析】【分析】本題首先可以將數(shù)列的通項公式化簡為，然后求出數(shù)列的前項和，最后代入，即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗閿?shù)列的通項公式，所以數(shù)列的前項和，所以，故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題。裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.14.已知函數(shù)，則_【答案】【解析】【分析】本題首先可以將以及代入到函數(shù)中，得到以及的值，然后兩者相加并通過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗楹瘮?shù)，所以，所以,所以，綜上所述，答案為2。【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了計算能力，考查的公式有，是簡單題。15.直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)最大時，的最小值為_【答案】【解析】當(dāng)最大時，即直線過圓心，所以，即，所以16.在三棱錐中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，其中，則該三棱錐外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】本題首先可以通過題意畫出圖像，然后通過三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作三角形的中心，過點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得。因為三棱錐底面是一個邊長為的等邊三角形，為三角形的中心，所以三棱錐的外接球的球心在過點(diǎn)的平面的垂線上，因為，、兩點(diǎn)在三棱錐的外接球的球面上，所以點(diǎn)即為球心，因為平面平面，為中點(diǎn)，所以平面，設(shè)球的半徑為，則有，即，解得，故表面積為。【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過三棱錐的幾何特征來確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.在中，角的對邊分別是，.（1）求角的大小；（2）為邊上的一點(diǎn)，且滿足，銳角三角形面積為，求的長.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)本題首先可以根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為，然后通過兩角和的正弦公式將轉(zhuǎn)化為，最后通過角的取值范圍即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以根據(jù)解三角形面積公式以及銳角三角形的面積為計算出并求出的值，然后在三角形中通過余弦定理以及正弦定理計算出的值以及的值，最后在三角形中通過正弦定理即可計算出的值。【詳解】（1）因為，所以，解得，所以，因為，所以，解得。（2）因為銳角三角形的面積為，所以，因為三角形為銳角三角形，所以，在三角形中，由余弦定理可得：，所以，在三角形中，所以，在三角形中，解得。【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)性質(zhì)，主要考查解三角形的相關(guān)公式的靈活使用，考查推理能力與計算能力，是中檔題。18.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表:個人所得稅稅率表（調(diào)整前）個人所得稅稅率表（調(diào)整后）免征額元免征額元級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（）級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（）1不超過元部分1不超過元部分2超過元至元的部分2超過元至元的部分3超過元至元部分3超過元至元的部分某稅務(wù)部門在某公式利用分層抽樣方法抽取2019年3月個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入（元）人數(shù)（1）先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取人，則收入在及的人群中分別抽取多少人？（2）在從（1）中抽取人中選人作為新納稅法知識宣講員，求兩個宣講員不全是同一收入人群的概率.【答案】(1) 3人，4人. (2) 【解析】【分析】(1)本題根據(jù)分層抽樣的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以列出所有的可能情況數(shù)目，然后列出滿足題意的所有可能情況的數(shù)目，最后通過古典概型的概率計算公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻浚?）由頻數(shù)分布表可知從及的人群中按分層抽樣抽取7人，其中占人，中占人。（2）由（1）知，占人，分別記為，中占人分別記為，再從這人中選人的所有組合有：共種情況，其中不在同一收入人群的有，共種，所以所求概率為?！军c(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的相關(guān)性質(zhì)以及古典概型的概率計算，考查分層抽樣以及古典概型的概率計算在實際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生從題目中提取所需信息的能力，是中檔題。19.如圖，四棱錐中，菱形所在的平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】(1)本題首先可以通過菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出，然后通過菱形所在的平面證明出，最后通過線面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形當(dāng)成三棱錐的底面，將當(dāng)成三棱錐的高，最后通過三棱錐的體積計算公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻浚?）證明：連接，因為底面為菱形，所以為正三角形，因為是的中點(diǎn)，所以，因為，所以，因平面，平面，所以，又因為，所以平面。（2）,則，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過證明平面外一條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線來證明線面垂直，考查推理能力，是中檔題。20.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓的另一交點(diǎn)分別為，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1) (2)見證明【解析】【分析】(1)可根據(jù)橢圓離心率為、橢圓過點(diǎn)、橢圓三者之間的關(guān)系列出算式，通過計算即可得出結(jié)果；(2)首先根據(jù)橢圓性質(zhì)可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出直線的方程以及直線的方程，然后通過直線方程與橢圓方程聯(lián)立即可得出兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，然后利用橢圓的對稱性設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，通過直線的斜率等于直線的斜率即可列出方程并通過計算得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意知，解得，所以橢圓的方程為。(2)易知、，則直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，得，于是，同理可得，又由點(diǎn)及橢圓的對稱性可知定點(diǎn)在軸上，設(shè)為，則直線斜率，直線的斜率，令，則，化簡得，解得，所以直線過定點(diǎn)?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查橢圓的相關(guān)性質(zhì)，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓與直線的相關(guān)性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查方程思想，考查推理能力與計算能力，是難題。21.已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：.【答案】（1） 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）見解析.【解析】【分析】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，解得，又由，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1），進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性，即可作出證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，又由，且是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，又時，在上，是增函數(shù)，且，所以，得，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知因為，在上，是增函數(shù)，又（且當(dāng)自變量逐漸趨向于時，趨向于），所以，使得，所以，即，在上，函數(shù)是減函數(shù)，在上，函數(shù)是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，所以，令，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即成立，【點(diǎn)睛】本題