高中數(shù)學(xué)第1章不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法1.2基本不等式學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)新人教B版.docx

第1章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.2 基本不等式學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 新人教B版選修4-5(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.設(shè)a0，b0，且ab4，則有()A.B.1C.2D.【解析】4ab2，2，21.【答案】B2.設(shè)x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，則的最大值為()A.2B.C.1D.【解析】因?yàn)閤，yR，a1，b1，且axby3，ab2，所以xloga3，ylogb3，log3alog3blog3(ab)，由均值定理，ab3，故log3alog3blog3(ab)log331.【答案】C3.設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A.8 B.4 C.1 D.【解析】由題意，知3a3b3，即3ab3，故ab1.因?yàn)閍0，b0，所以(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.【答案】B4.已知ma1(a0)，n3x(x1)，則m，n之間的大小關(guān)系是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000007】A.mnB.mnC.mnD.mn【解析】因?yàn)閍0，所以ma1213，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立.又因?yàn)閤1，所以n3x313，所以mn.【答案】A5.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】每批生產(chǎn)x件，則平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，每件產(chǎn)品的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是元，則2 20，當(dāng)且僅當(dāng)，即x80時(shí)“”成立，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，故選B.【答案】B二、填空題6.已知x，則函數(shù)y4x的最大值為_(kāi).【解析】因?yàn)閤，所以4x50，所以54x0.所以y4x(4x5)55253，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)x1時(shí)，y取最大值，即ymax3.【答案】37.設(shè)點(diǎn)P(x，y)在直線xy1位于第一象限內(nèi)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則log2xlog2y的最大值是_.【解析】要求log2xlog2y的最大值，即求log2(xy)的最大值，應(yīng)先求xy的最大值.顯然當(dāng)xy時(shí)，xy的最大值為，故log2xlog2y的最大值為2.【答案】28.函數(shù)yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中mn0，則的最小值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000008】【解析】因?yàn)閥loga(x3)1恒過(guò)點(diǎn)(2，1)，所以A(2，1).因?yàn)锳在直線上，所以2mn10，即2mn1.又因?yàn)閙n0，所以m0，n0.又因?yàn)?2428，當(dāng)n，m時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.【答案】8三、解答題9.已知a，b都是正數(shù)，且ab1，(1)求證：4；(2)求22的最小值.【解】(1)證明：2224.(2)2，即.又得0ab，即4，15，當(dāng)且僅當(dāng)ab上式等號(hào)成立.10.如圖122所示，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄目的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最?。繄D122【解】設(shè)廣告的高和寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x20，.其中x20，y25.兩欄面積之和為2(x20)18 000，由此得y25，廣告的面積Sxyx25x，整理得S25(x20)18 500.因?yàn)閤200，所以S218 50024 500.當(dāng)且僅當(dāng)25(x20)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有(x20)214 400(x20)，解得x140，代入y25，得y175.即當(dāng)x140，y175時(shí)，S取得最小值24 500，故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.能力提升1.已知a0，b0，則2的最小值是()A.2B.2C.4D.5【解析】22，因?yàn)閍0，b0，所以ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.所以222224，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，ab1時(shí)，取等號(hào).【答案】C2.如果圓柱的軸截面周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱的體積最大值是()A.B.C.D.【解析】l4r2h，即2rh，Vr2h.當(dāng)且僅當(dāng)rh時(shí)等號(hào)成立.【答案】A3.設(shè)a0，b0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi).【解析】由a0，b0，0，得k.又因?yàn)?4(ab時(shí)，取等號(hào))，所以4.因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值為4.【答案】44.如圖123所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，已知AB3米，AD2米.(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積.圖123【解】(1)設(shè)ANx米(x2)，則ND(x2)米.由題意，得.，AM，S矩形AMPNx32，3x232x