有限元法基礎(chǔ)-4單元和插值函數(shù)的構(gòu)造PPT課件

1 第四章單元與插值函數(shù) 4 1面積坐標(biāo)4 2Lagrange單元4 3Serendipity單元4 4體積坐標(biāo)4 5Hermite插值 2 4 單元與插值函數(shù) 通過(guò)變分法或加權(quán)余量法建立有限元方程時(shí) 首先是在確定單元形狀后 在單元域內(nèi)假設(shè)場(chǎng)函數(shù)的試解 本章重點(diǎn)介紹構(gòu)造單元插值函數(shù)規(guī)范化形式的兩類(lèi)自然坐標(biāo)的建立方法和特點(diǎn)構(gòu)造單元插值函數(shù)的兩類(lèi)方法的步驟和特點(diǎn) 有限元法基礎(chǔ) 3 4 單元與插值函數(shù) 關(guān)鍵概念自然坐標(biāo)面積坐標(biāo)體積坐標(biāo)Lagrange單元Serendipity單元 有限元法基礎(chǔ) 4 4 單元與插值函數(shù) 廣義坐標(biāo)有限元法的存在的問(wèn)題 1 建立單元插值函數(shù)方法繁瑣2 形成單元矩陣過(guò)于復(fù)雜 有限元法基礎(chǔ) 5 4 單元與插值函數(shù) 單元插值函數(shù)的構(gòu)造與求解問(wèn)題的微分方程無(wú)關(guān)插值函數(shù)的構(gòu)造方法與單元形狀有關(guān)與單元節(jié)點(diǎn)數(shù)量與位置有關(guān)與單元節(jié)點(diǎn)DOF的類(lèi)型和數(shù)量有關(guān) 有限元法基礎(chǔ) 6 4 單元與插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 7 4 1面積坐標(biāo) 定義在三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P的位置由其三角形子域的面積與三角形面積的比值確定 即其中A為三角形面積 為的面積 為的面積 為的面積 有限元法基礎(chǔ) 8 4 1面積坐標(biāo) 記則三角形內(nèi)的點(diǎn)P表示為稱(chēng)為面積坐標(biāo) 有限元法基礎(chǔ) 9 面積坐標(biāo)的性質(zhì)1 與j m平行的線上具有相同的Li 4 1面積坐標(biāo) 有限元法基礎(chǔ) 10 4 1面積坐標(biāo) 2 角點(diǎn)坐標(biāo)為i 1 0 0 j 01 0 m 0 0 1 3 形心坐標(biāo)為4 三角形三條邊的坐標(biāo)為j m邊 Li 0 m i邊 Lj 0 i j邊 Lm 05 三個(gè)坐標(biāo)只有2個(gè)是獨(dú)立的 有限元法基礎(chǔ) 11 4 1面積坐標(biāo) 面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系三角形單元的面積三角形內(nèi)任意點(diǎn)P x y 有限元法基礎(chǔ) 12 4 1面積坐標(biāo) 有限元法基礎(chǔ) 13 4 1面積坐標(biāo) 面積坐標(biāo)的微積分運(yùn)算1 導(dǎo)數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 14 4 1面積坐標(biāo) 2 面積分3 i j邊長(zhǎng)為l的線積分 有限元法基礎(chǔ) 15 4 1面積坐標(biāo) 例 有限元法基礎(chǔ) 16 4 1面積坐標(biāo) 例 均質(zhì)等厚單元的自重 有限元法基礎(chǔ) 17 4 1面積坐標(biāo) 用面積坐標(biāo)給出的單元的插值函數(shù)以面積坐標(biāo)作為三角形單元的自然坐標(biāo) 表示的插值函數(shù) 對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)講 插值函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的 有限元法基礎(chǔ) 18 4 1面積坐標(biāo) 1 線性單元 3節(jié)點(diǎn)三角形單元根據(jù)形函數(shù)的特點(diǎn)這樣可用過(guò)其他兩節(jié)點(diǎn)的直線方程來(lái)構(gòu)成 例如節(jié)點(diǎn)1 可用2 3邊的直線方程來(lái)構(gòu)成插值函數(shù) 即 有限元法基礎(chǔ) 19 4 1面積坐標(biāo) 2 二次單元 6節(jié)點(diǎn)三角形單元節(jié)點(diǎn)1 節(jié)點(diǎn)4 通用表達(dá)式 角節(jié)點(diǎn)中節(jié)點(diǎn)注 有限元法基礎(chǔ) 20 4 1面積坐標(biāo) 2 三次單元 10節(jié)點(diǎn)三角形單元節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)4節(jié)點(diǎn)10 有限元法基礎(chǔ) 21 4 2Lagrange單元 單元場(chǎng)函數(shù)的插值表示為插值函數(shù)滿足下列性質(zhì) 有限元法基礎(chǔ) 22 4 2Lagrange單元 一維Lagrange插值1 總體坐標(biāo)下的位移插值函數(shù)對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為多項(xiàng)式插值可達(dá)n 1階 即 有限元法基礎(chǔ) 23 4 2Lagrange單元 當(dāng) 2時(shí)令 則引進(jìn)無(wú)量綱坐標(biāo) 有限元法基礎(chǔ) 24 4 2Lagrange單元 2 自然坐標(biāo)下的位移插值函數(shù)對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為多項(xiàng)式插值可達(dá)n 1階 即或 有限元法基礎(chǔ) 25 4 2Lagrange單元 當(dāng)n 2時(shí) 通式 有限元法基礎(chǔ) 26 4 2Lagrange單元 當(dāng)n 3時(shí) 有限元法基礎(chǔ) 27 4 2Lagrange單元 二維Lagrange單元二維Lagrange單元的場(chǎng)插值函數(shù)由一維Lagrange插值分別在兩個(gè)方向插值 即場(chǎng)插值函數(shù)為 有限元法基礎(chǔ) 28 4 2Lagrange單元 可以證明 有限元法基礎(chǔ) 29 4 2Lagrange單元 一次單元 4節(jié)點(diǎn)單元雙線性插值 有限元法基礎(chǔ) 30 4 2Lagrange單元 二次單元 9節(jié)點(diǎn)單元角節(jié)點(diǎn)邊中節(jié)點(diǎn)內(nèi)部節(jié)點(diǎn) 有限元法基礎(chǔ) 31 4 2Lagrange單元 三維Lagrange單元單元節(jié)點(diǎn)場(chǎng)插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 32 4 2Lagrange單元 可以證明 有限元法基礎(chǔ) 33 4 2Lagrange單元 Lagrange單元族的特點(diǎn)1 插值函數(shù)構(gòu)造方便2 高次單元內(nèi)部節(jié)點(diǎn)過(guò)多 影響計(jì)算效率 有限元法基礎(chǔ) 平面單元內(nèi)部節(jié)點(diǎn)數(shù) n 1 m 1 34 4 3Serendipity單元 Serendipity單元族單元的節(jié)點(diǎn)僅配置在角點(diǎn)和邊界上 不改變精度的情況下 減少內(nèi)節(jié)點(diǎn) Irons等首先提出 按字面意思是意外發(fā)現(xiàn)的 但有規(guī)律可循 有限元法基礎(chǔ) 35 4 3Serendipity單元 Serendipity單元族 有限元法基礎(chǔ) 36 4 3Serendipity單元 Serendipity插值函數(shù)的構(gòu)造4節(jié)點(diǎn)單元的插值函數(shù)與Lagrange單元相同 有限元法基礎(chǔ) 37 4 3Serendipity單元 8節(jié)點(diǎn)單元在邊中點(diǎn)的插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 38 4 3Serendipity單元 顯然 有限元法基礎(chǔ) 39 4 3Serendipity單元 Serendipity插值函數(shù)的一般構(gòu)造方法 有限元法基礎(chǔ) 40 4 3Serendipity單元 Serendipity單元族 有限元法基礎(chǔ) 41 4 3Serendipity單元 二次平面單元 8節(jié)點(diǎn)單元 有限元法基礎(chǔ) 42 4 3Serendipity單元 劃線法構(gòu)造插值函數(shù)二次平面單元 8節(jié)點(diǎn)單元由 得 有限元法基礎(chǔ) 43 4 3Serendipity單元 平面四邊形8節(jié)點(diǎn)單元插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 44 4 3Serendipity單元 三維Serendipity單元族1 線性單元 8節(jié)點(diǎn)單元 有限元法基礎(chǔ) 45 4 3Serendipity單元 2 二次單元 20節(jié)點(diǎn)單元插值函數(shù)完備到二次 有限元法基礎(chǔ) 46 4 3Serendipity單元 Serendipity插值與Lagrange插值的差異Serendipity插值函數(shù)的多項(xiàng)式表示與Lagrange插值相比少都是二次完備 沒(méi)達(dá)到三次完備 有限元法基礎(chǔ) 47 4 3Serendipity單元 有限元法基礎(chǔ) 48 4 3Serendipity單元 Lagrange插值項(xiàng) 有限元法基礎(chǔ) 49 4 3Serendipity單元 Serendipity插值項(xiàng) 有限元法基礎(chǔ) 50 4 3Serendipity單元 Serendipity插值與Lagrange插值的差異 有限元法基礎(chǔ) 51 4 3Serendipity單元 在邊 二次變化在邊 二次變化單元的每條邊上有三個(gè)節(jié)點(diǎn) 因此插值是協(xié)調(diào)的 有限元法基礎(chǔ) 52 4 4體積坐標(biāo) 定義 四面體中任一點(diǎn)P的位置由下列參數(shù)確定 有限元法基礎(chǔ) 53 4 4體積坐標(biāo) 四面體單元族 有限元法基礎(chǔ) 54 4 4體積坐標(biāo) 1 線性單元 4節(jié)點(diǎn)單元2 二次單元 10節(jié)點(diǎn)單元角節(jié)點(diǎn)邊中節(jié)點(diǎn) 有限元法基礎(chǔ) 55 4 4體積坐標(biāo) 3 三次單元 20節(jié)點(diǎn)單元角節(jié)點(diǎn)邊中節(jié)點(diǎn)面內(nèi)節(jié)點(diǎn) 有限元法基礎(chǔ) 56 4 4體積坐標(biāo) 體積坐標(biāo)的微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 有限元法基礎(chǔ) 57 4 4體積坐標(biāo) 體積坐標(biāo)的積分 有限元法基礎(chǔ) 58 4 5Hermite插值 特點(diǎn)1 多項(xiàng)式插值2 節(jié)點(diǎn)參數(shù)包含導(dǎo)數(shù) 例如3 在插值點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)也連續(xù)4 0階連續(xù)的Hermite插值就是Lagrange插值 有限元法基礎(chǔ) 59 4 5Hermite插值 例 一維問(wèn)題有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 包含有2n個(gè)節(jié)點(diǎn)未知參數(shù) 可唯一確定2n 1次多項(xiàng)式的插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 60 4 5Hermite插值 容易得到其中為L(zhǎng)agrange插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 61 4 5Hermite插值 采用局部無(wú)量綱坐標(biāo)時(shí) 端點(diǎn)為 有限元法基礎(chǔ) 62 4 5Hermite插值 在無(wú)量綱坐標(biāo)下 插值函數(shù)曲線 有限元法基礎(chǔ) 63 4 5Hermite插值 二階Hermite插值函數(shù) 有限元法基礎(chǔ) 64 4 5Hermite插值 例 2節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧?有限元法基礎(chǔ) 65 4 6五面體單元 有限元法基礎(chǔ) 線性五面體單元單元內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用面積坐