2020豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)期末試題及答案

豐臺(tái)區(qū)20192020學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí) 高三數(shù)學(xué) 2020.01第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1若集合，則（A）（B）（C）（D）2 命題“”的否定是（A）（B）（C）（D）3 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A）（B）（C）（D）4一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，則此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為（A）（B）（C）（D） 5已知菱形邊長(zhǎng)為1，則（A）（B）（C）（D）6雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D） 7已知公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，且成等比數(shù)列，則（A）（B）（C）（D）8. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（A）（B） （C）（D）9. 大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵. 記鮭魚的游速為（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為. 科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)與成正比. 當(dāng)時(shí)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為. 當(dāng)時(shí)，其耗氧量的單位數(shù)為（A）（B） （C）（D）10. 在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，將沿直線折到的位置. 在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是 （A）在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過程中，滿足平面 （B）存在，使得在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面平面（C）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)， （D）在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為第二部分 （非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11. 復(fù)數(shù)的實(shí)部為 12. 我國(guó)古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦如果某重卦中有2個(gè)陽(yáng)爻，則它可以組成 種重卦（用數(shù)字作答）13. 已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，則 14. 我們稱一個(gè)數(shù)列是“有趣數(shù)列”，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件：所有的奇數(shù)項(xiàng)滿足，所有的偶數(shù)項(xiàng)滿足；任意相鄰的兩項(xiàng)，滿足.根據(jù)上面的信息完成下面的問題：（i）數(shù)列 “有趣數(shù)列”（填“是”或者“不是”）；（）若，則數(shù)列 “有趣數(shù)列”（填“是”或者“不是”）.15已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為 ；過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的面積為 16定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足以下兩條性質(zhì)：存在,使得；對(duì)于任意，有.根據(jù)以下條件，分別寫出滿足上述性質(zhì)的一個(gè)函數(shù).（i）若是增函數(shù)，則 ；（）若不是單調(diào)函數(shù)，則 .三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程17.（本小題共13分）已知函數(shù).（）求的值；（）求在區(qū)間上的最大值.18.（本小題共14分）如圖，在三棱柱中，平面，的中點(diǎn)為. （）求證：； （）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由19.（本小題共13分）目前，中國(guó)有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境. 我國(guó)的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境. 垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市將實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類 .生活垃圾中有30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源. 如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75，節(jié)省造紙能源消耗4050.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（）從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（）從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望20.（本小題共13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓方程；（）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.21.（本小題共14分）已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（本小題共13分） 已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中. （）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值； （）從上面?zhèn)€整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，. （i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,；（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）豐臺(tái)區(qū)20192020學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué) 參考答案及評(píng)分參考 202001一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分題號(hào)12345678910答案CCB BAABCDD二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11 1215 1314是；是 15； 16；(答案不唯一)注：第14、15、16題第一空3分，第二空2分.三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 17.（本小題共13分）解：（） . .4分（） . 因?yàn)椋? 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. .13分 18.（本小題共14分）證明：（）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所? .4分 （）由（）可知，兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)?，所以?因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則 即 令，則.于是.所以.由題知二面角為銳角，所以其余弦值為. .10分（）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面.由，又，故. 因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.所以.若平面，則，解得.又因?yàn)槠矫? 所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面，且. .14分 19（本小題共13分）解：（）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件. 由題意，有B，C兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以. .4分 （）因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙， 所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有B，C，共2個(gè)小區(qū). 的所有可能取值為0，1，2. ；.所以的分布列為:012 .13分 20.（本小題共13分）解：（）因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切， 所以半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，即. 由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為. .4分 （）由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線方程為，所以.則直線的方程為，直線的方程為. 令，得，. 所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,由得，依題意恒成立.設(shè)， 則. 設(shè)，由題意三點(diǎn)共線可知，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以. 綜上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值. .13分 21（本小題共14分）解：（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗裕?又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為. .4分（）因?yàn)?，所?令，解得或.若，當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)是增函數(shù).若，當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.9分 （） 令，解得或.當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表：由表可知，此時(shí) ，不符合題意.當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表： 由表可得 ，且，所以只需 即 解得.當(dāng)時(shí)，在恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，只需 即 解得. 當(dāng)時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是. .14分 22（本小題共13分）解:（）當(dāng)時(shí)，4個(gè)整點(diǎn)分別為.所以的所有可能值. .3分 （）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.即在直線中至多有一條直線上取多于1個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線上至多取一個(gè)整點(diǎn)， 此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為.而，與已知矛盾.故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.（