程守珠普通物理學六版電子教案8-3

8 3畢奧 薩伐爾定律 一 畢奧 薩伐爾 Biot Savart 定律 載流導線中的電流為I 導線半徑比到觀察點P的距離小得多 即為線電流 在線電流上取長為dl的定向線元 規(guī)定的方向與電流的方向相同 為電流元 電流元在給定點所產(chǎn)生的磁感應強度的大小與Idl成正比 與到電流元的距離平方成反比 與電流元和矢徑夾角的正弦成正比 方向垂直于與組成的平面 指向為由經(jīng)角轉(zhuǎn)向時右螺旋前進方向 磁感應強度的矢量式 Biot Savart定律的微分形式 Biot Savart定律的積分形式 其中 0 4 10 7N A 2 稱為真空中的磁導率 而 二 運動電荷的磁場 電流 電荷運動 磁場 設電流元 橫截面積S 單位體積內(nèi)有n個定向運動的正電荷 每個電荷電量為q 定向速度為v 單位時間內(nèi)通過橫截面S的電量即為電流強度I 電流元在P點產(chǎn)生的磁感應強度 設電流元內(nèi)共有dN個以速度v運動的帶電粒子 每個帶電量為q的粒子以速度v通過電流元所在位置時 在P點產(chǎn)生的磁感應強度大小為 其方向根據(jù)右手螺旋法則 垂直 組成的平面 q為正 為的方向 q為負 與的方向相反 矢量式 三 畢奧 薩伐爾定律的應用 寫出電流元在所求點處的磁感應強度 然后按照磁感應強度的疊加原理求出所有電流元在該點磁感應強度的矢量和 先將載流導體分割成許多電流元 實際計算時要應先建立合適的坐標系 求各電流元的分量式 即電流元產(chǎn)生的磁場方向不同時 應先求出各分量然后再對各分量積分 例8 1載流長直導線的磁場設有長為L的載流直導線 其中電流為I 計算距離直導線為a處的P點的磁感應強度 解 任取電流元 據(jù)畢奧 薩伐爾定律 此電流元在P點磁感應強度為 方向根據(jù)右手螺旋定則確定 由于直導線上所有電流元在該點方向相同 矢量積分可變?yōu)闃肆糠e分 由幾何關系有 考慮三種情況 1 導線無限長 即 2 導線半無限長 場點與一端的連線垂直于導線 3 P點位于導線延長線上 B 0 例8 2載流圓線圈軸線上的磁場設有圓形線圈L 半徑為R 通以電流I 求軸線上一點磁感應強度 在場點P的磁感強度大小為 解 各電流元的磁場方向不相同 可分解為和 由于圓電流具有對稱性 其電流元的逐對抵消 所以P點的大小為 1 在圓心處 2 在遠離線圈處 載流線圈的磁矩 引入 若線圈有N匝 例 3載流直螺線管內(nèi)部的磁場 設螺線管的半徑為R 電流為I 每單位長度有線圈n匝 計算螺線管內(nèi)軸線上P點的電磁感應強度 在螺線管上任取一小段dl由于每匝可作平面線圈處理 ndl匝線圈可作Indl的一個圓電流 在P點產(chǎn)生的磁感應強度 實際上 L R時 螺線管內(nèi)部的磁場近似均勻 大小為 1 螺線管無限長 2 半無限長螺線管的端點圓心處 例題8 4亥姆霍茲線圈 在實驗室中 常應用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生所需的不太強的均勻磁場 特征是由一對相同半徑的同軸載流線圈組成 當它們之間的距離等于它們的半徑時 試計算兩線圈中心處和軸線上中點的磁感應強度 從計算結(jié)果將看到 這時在兩線圈間軸線上中點附近的場強是近似均勻的 解 設兩個線圈的半徑為R 各有N匝 每匝中的電流均為I 且流向相同 如圖 兩線圈在軸線上各點的場強方向均沿軸線向右 在圓心O1 O2處磁感應強度相等 大小都是 兩線圈間軸線上中點P處 磁感應強度大小為 此外 在P點兩側(cè)各R 4處的O1 O2兩點處磁感應強度都等于 在線圈軸線上其他各點 磁感應強度的量值都介乎B0 BP之間 由此可見 在P點附近軸線上的場強基本上是均勻的 其分布情況約如圖所示 圖中虛線是每個圓形載流線圈在軸線上所激發(fā)的場強分布 實線是代表兩線圈所激發(fā)場強的疊加曲線 右圖為磁感線分布情況 例題 在玻爾的氫原子模型中 電子繞原子核運動相當于一個圓電流 具有相應的磁矩 稱為軌道磁矩 試求 軌道中心磁感應強度B的大小 軌道磁矩 與軌道角動量L之間的關系 計算氫原子在基態(tài)時電子的軌道磁矩 解 為簡單起見 設電子繞核作勻速圓周運動 圓的半徑為r 轉(zhuǎn)速為n 電子的運動相當于一個圓電流 電流的量值為I ne 利用例 的結(jié)果 軌道中心的磁感應強度的大小為 圓電流的面積為S r2 所以相應的磁矩為 電子角動量為 Me是電質(zhì)量 比較兩式 可得 角動量和磁矩的方向可分別按右手螺旋規(guī)則確定 因為電子運動方向與電流方向相反 所以L和 的方向恰好相反 如圖所示 上式關系寫成矢量式為 由于電子的軌道角動量是滿足量子化條件的 在玻爾理論中 其量值等于 h 2 d的整數(shù)倍 所以氫原子在基態(tài)時 其軌道磁矩為 這一經(jīng)典結(jié)論與量子理論導出的結(jié)果相符 它是軌道磁矩的最小單位 稱為玻爾磁子 將e 1 602 10 19C me 9 11 10 31kg 普朗克常量h 6 626 10 34J s代入 可算得 原子中的電子除沿軌道運動外 還有自旋 電子的自旋是一種量子現(xiàn)象 它有自己的磁矩和角動量 電子自旋磁矩的量值等于玻爾磁子 選擇進入下一節(jié) 8 0教學基本要求 8 1恒定電流 8 2