高中數學第二章平面向量2.5平面向量應用舉例教案新人教A版.docx

2.5平面向量應用舉例一、教材分析向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的，正因為如此，運用向量可以解決一些物理和幾何問題，例如利用向量計算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行、垂直位置關系的判定等問題。二、教學目標1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-向量法和坐標法，可以用向量知識研究物理中的相關問題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實際問題2.通過本節(jié)的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強學生的積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 三、教學重點難點重點：理解并能靈活運用向量加減法與向量數量積的法則解決幾何和物理問題. 難點：選擇適當的方法，將幾何問題或者物理問題轉化為向量問題加以解決. 四、學情分析在平面幾何中，平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎知識，那么在本節(jié)的學習中，借助這些對于學生來說，非常熟悉的內容來講解向量在幾何與物理問題中的應用。五、教學方法1.例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的應用。2.學案導學：見后面的學案3.新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑情境導入、展示目標合作探究、精講點撥反思總結、當堂檢測發(fā)導學案、布置預習六、課前準備1.學生的學習準備：預習本節(jié)課本上的基本內容，初步理解向量在平面幾何和物理中的應用2.教師的教學準備：課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。七、課時安排：1課時八、教學過程(一)預習檢查、總結疑惑檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。(二）情景導入、展示目標教師首先提問：（1）若O為重心,則+= （2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有什么關系?(3) 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習情況并讓學生把預習過程中的疑惑說出來。（設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。）（三）合作探究、精講點撥。探究一：（）向量運算與幾何中的結論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會？（）由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質可以由向量線性運算及數量積表示出來： 例如，向量數量積對應著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行中，設,，則（平移），（長度）向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關系，如距離、夾角等把運算結果翻譯成幾何關系本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用例1證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數量積注意到， ，我們計算和證明：不妨設a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？讓學生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；把運算結果“翻譯”成幾何關系變式訓練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設（1）證明A、O、E三點共線；（2）用表示向量。例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可解：設a，b，則a+b由與共線，因此。存在實數m，使得 =m(a+b)又由與共線因此 存在實數n，使得 =n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共線，所以有，解得所以同理于是所以ARRTTC說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.（2）在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么？師：向量在物理中的應用，實際上就是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現(xiàn)象例3在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力你能從數學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數學模型只要分析清楚F、G、三者之間的關系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數學解釋解：不妨設|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當由逐漸變大時，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力師：請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：為何值時，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸（用幾何畫板演示水流速度對船的實際航行的影響）解：=(km/h)，所以， (min)答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min本例關鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系侯，本例就容易解決了。變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。九、板書設計2.5 平面向量應用舉例例 用向量法解平