初中數(shù)學競賽專題選講-勾股定理

教學視頻-公開課,優(yōu)質課,展示課,課堂實錄(/)初中數(shù)學競賽專題選講勾股定理一、內容提要1. 勾股定理及逆定理：ABC中CRta2b2=c22. 勾股定理及逆定理的應用 作已知線段a的， 倍 計算圖形的長度，面積，并用計算方法解幾何題 證明線段的平方關系等。3. 勾股數(shù)的定義：如果三個正整數(shù)a,b,c滿足等式a2b2=c2，那么這三個正整數(shù)a,b,c叫做一組勾股數(shù).4. 勾股數(shù)的推算公式 羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數(shù)學家17891853）任取兩個正整數(shù)m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一組勾股數(shù)。 如果k是大于1的奇數(shù)，那么k, ,是一組勾股數(shù)。 如果k是大于2的偶數(shù)，那么k, ,是一組勾股數(shù)。 如果a,b,c是勾股數(shù)，那么na,nb,nc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)。5. 熟悉勾股數(shù)可提高計算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例題例1.已知線段a a a2a 3a a求作線段a a 分析一：a 2a a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。分析二：aa是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。作圖（略）例2.四邊形ABCD中DAB60，BDRt，BC1，CD2求對角線AC的長解：延長BC和AD相交于E，則E30CE2CD4，在RtABE中設AB為x,則AE2x根據(jù)勾股定理x2+52=(2x)2, x2=在RtABC中，AC例3.已知ABC中，ABAC，B2A求證：AB2BC2ABBC證明：作B的平分線交AC于D，則AABD，BDC2ACADBDBC作BMAC于M，則CMDMAB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AMCM）（AMCM）ACADABBC例4.如圖已知ABC中，ADBC，ABCDACBD求證：ABAC證明：設AB，AC，BD，CD分別為b,c,m,n則c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根據(jù)勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n, c-b=0 即c=bABAC例5.已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC求證：ACBD證明：作DEAC，DFBC，交BA或延長線于點E、FACDE和BCDF都是平行四邊形DEAC，DFBC，AECDBF作DHAB于H，根據(jù)勾股定理 AH，F(xiàn)HADBC，ADDFAHFH，EHBHDE，BDDEBD即ACBD例6.已知：正方形ABCD的邊長為1，正方形EFGH內接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH求：的值（2001年希望杯數(shù)學邀請賽，初二）解：根據(jù)勾股定理a2+b2=EF2SEFGH ;4SAEFSABCDSEFGH2ab= 得（a-b）2=三、練習1. 以下列數(shù)字為一邊，寫出一組勾股數(shù)： 7，8，9，10，11，12，2. 根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值： 252242，52122，3. ABC中，AB25，BC20，CA15，CM和CH分別是中線和高。那么SABC，CH，MH4.梯形兩底長分別是3和7，兩對角線長分別是6和8，則S梯形5.已知：ABC中，AD是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD求證：AEAF6.已知：M是ABC內的一點，MDBC，MEAC，MFAB，且BDBF，CDCE求證：AEAF7.在ABC中，C是鈍角，a2-b2=bc 求證A2B8.求證每一組勾股數(shù)中至少有一個數(shù)是偶數(shù)。（用反證法）9.已知直角三角形三邊長均為整數(shù)，且周長和面積的數(shù)值相等，求各邊長10等腰直角三角形ABC斜邊上一點P，求證：AP2BP22CP211.已知ABC中，ARt，M是BC的中點，E，F(xiàn)分別在AB，ACMEMF求證：EF2BE2CF212.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中點，從D作DEAC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結DF，則DF的長是。（2002年希望杯數(shù)學邀請賽，初二試題）13.ABC中，ABAC2，BC邊上有100個不同的點p1，p2，p3，p100, 記mi=APi2+BPiPiC (I=1,2，100)，則m1+m2+m100=_ (1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)練習題參考答案3.150，12，354.24（作CEBD交AB延長線E）5. 利用勾股定理證明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD26.利用勾股定理:AE2，AF2 7.作CDAB于D， bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD) b=BD-AD 8.（用反證法）設a,b,c都是奇數(shù)， 那么a2,b2,c2也都是奇數(shù)，a2b2是偶數(shù),而c2是奇數(shù)， 這與a2b2c2相矛盾，故這種假設不能成立，a,b,c中至少有一個數(shù)是偶數(shù)9. 正整數(shù)解有答：各邊長是5，12，13或6，8，1011.延長EM到N，使MNEM，連結CN，顯然MNCMEB，NCBE，NFEF12.可證DFDE2，13.400 (mi=4)文章來源：教師之家