一元一次方程應(yīng)用題分類講評(píng).doc

/jya12/ 楊浦家教一元一次方程應(yīng)用題分類講評(píng)一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是難以從實(shí)際問(wèn)題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對(duì)數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來(lái)表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時(shí)無(wú)從下手。 事實(shí)上，方程就是一個(gè)含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來(lái)。而在這種等式中的每個(gè)式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過(guò)程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。 下面就一元一次方程中常見的幾類應(yīng)用題作逐一講評(píng)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。 1.行程問(wèn)題 行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。關(guān)系式為：路程=速度時(shí)間；速度=；時(shí)間=。 可尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問(wèn)題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問(wèn)題中多以路程作相等關(guān)系，而對(duì)有先后順序的問(wèn)題卻通常以時(shí)間作相等關(guān)系，在航行問(wèn)題中很多時(shí)候還用速度作相等關(guān)系。 航行問(wèn)題是行程問(wèn)題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會(huì)發(fā)生變化：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度水流速度（風(fēng)速）。由此可得到航行問(wèn)題中一個(gè)重要等量關(guān)系：順?biāo)L(fēng)）速度水流速度（風(fēng)速）逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）靜水（無(wú)風(fēng)）速度。 例某隊(duì)伍450米長(zhǎng)，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問(wèn)往返共需多少時(shí)間？ 講評(píng)：這一問(wèn)題實(shí)際上分為兩個(gè)過(guò)程：從排尾到排頭的過(guò)程是一個(gè)追及過(guò)程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過(guò)程則是一個(gè)相遇過(guò)程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。 在追及過(guò)程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問(wèn)題中的相等關(guān)系“追趕者的路程被追者的路程=原來(lái)相隔的路程”，有： 3x1.5x=450 x=300 在相遇過(guò)程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問(wèn)題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 y=100 故往返共需的時(shí)間為 x+y=300+100=400（秒） 例2 汽車從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以早到半小時(shí)。求A、B 兩地的距離。 講評(píng)：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問(wèn)題，我們通常都稱其為“先后問(wèn)題”。在這類問(wèn)題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)；速度為45 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有 = 1 x = 360 例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時(shí)，逆流航行需8小時(shí)，已知水流速度每小時(shí)2 km。求甲、乙兩地之間的距離。 講評(píng)：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時(shí)，逆流速度為km/小時(shí)，由航行問(wèn)題中的重要等量關(guān)系有： = +2 x = 96 2.工程問(wèn)題 工程問(wèn)題的基本量有：工作量、工作效率、工作時(shí)間。關(guān)系式為：工作量=工作效率工作時(shí)間。工作時(shí)間=，工作效率=。 工程問(wèn)題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種：如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。如果以時(shí)間作相等關(guān)系，完成同一工作的時(shí)間差=多用的時(shí)間。 在工程問(wèn)題中，還要注意有些問(wèn)題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時(shí)不能看作整體1，此時(shí)工作效率也即工作速度。 例4 加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問(wèn)乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？ 講評(píng)：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 +=1 x =8 例5 收割一塊麥地，每小時(shí)割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)割完。收割了后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來(lái)的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工。求這塊麥地有多少畝？ 講評(píng)：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時(shí)，割完x畝預(yù)計(jì)時(shí)間為小時(shí)，收割畝工作時(shí)間為/4=小時(shí)；改用新式工具后，工作效率為1.54=6畝/小時(shí)，割完剩下畝時(shí)間為/6=小時(shí)，則實(shí)際用的時(shí)間為（+）小時(shí)，依題意“比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工”有 （+）=1 x =36 例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開需10小時(shí)注滿一池水，乙單獨(dú)開需6小時(shí)注滿一池水，丙單獨(dú)開15小時(shí)放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開，需多少時(shí)間注滿水池？ 講評(píng)：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為、（進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)小時(shí)可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、，由三水管完成整體工作量1，有 +1 x = 5 3經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個(gè)突出類型。經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題主要體現(xiàn)為三大類：銷售利潤(rùn)問(wèn)題、優(yōu)惠（促銷）問(wèn)題、存貸問(wèn)題。這三類問(wèn)題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時(shí)，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，正確列出方程。 銷售利潤(rùn)問(wèn)題。利潤(rùn)問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷售價(jià)（收入）、利潤(rùn)、利潤(rùn)率?；娟P(guān)系式有：利潤(rùn)=銷售價(jià)（收入）成本（進(jìn)價(jià)）【成本（進(jìn)價(jià)）=銷售價(jià)（收入）利潤(rùn)】；利潤(rùn)率=【利潤(rùn)=成本（進(jìn)價(jià)）利潤(rùn)率】。在有折扣的銷售問(wèn)題中，實(shí)際銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)折扣率。打折問(wèn)題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。 優(yōu)惠（促銷）問(wèn)題。日常生活中有很多促銷活動(dòng)，不同的購(gòu)物（消費(fèi)）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問(wèn)題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)。 存貸問(wèn)題。存貸問(wèn)題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時(shí)最好選取的問(wèn)題情景之一。存貸問(wèn)題中有本金、利息、利息稅三個(gè)基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：利息=本金利率期數(shù)；利息稅=利息稅率；本息和（本利）=本金+利息利息稅。 例7.某商店先在廣州以每件15元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種商品10件，后來(lái)又到深圳以每件12.5元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時(shí)，要獲利12，那么這種商品的銷售價(jià)應(yīng)定多少？ 講評(píng)：設(shè)銷售價(jià)每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進(jìn)價(jià)）為（510+4012.5），利潤(rùn)率為12，利潤(rùn)為（510+4012.5）12。由關(guān)系式有 （10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12 x=14.56 例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價(jià)七五折出售，則賠25元，而按定價(jià)的九折出售將賺20元。問(wèn)這種商品的定價(jià)是多少？ 講評(píng)：設(shè)定價(jià)為x元，七五折售價(jià)為75x，利潤(rùn)為25元，進(jìn)價(jià)則為75x（25）=75x+25；九折銷售售價(jià)為90x，利潤(rùn)為20元，進(jìn)價(jià)為90x20。由進(jìn)價(jià)一定，有 75x+25=90x20 x = 300 例9. 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16。取款時(shí)扣除20利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問(wèn)半年前李勇同學(xué)共存入多少元？ 講評(píng)：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16，期數(shù)為0.5年，則利息為0.52.16x，利息稅為200.52.16x，由存貸問(wèn)題中關(guān)系式有 x +0.52.16x200.52.16x=504.32 x = 500 例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購(gòu)物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購(gòu)物，什么情況下買卡購(gòu)物合算？ 講評(píng)：購(gòu)物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購(gòu)物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費(fèi)金額為（200+80x）元，不買卡花費(fèi)金額為x元，故有 200+80x = x x = 1000 當(dāng)x 1000時(shí)，如x=2000 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+802000=1800（元） 不買卡花費(fèi)為：2000（元 ） 此時(shí)買卡購(gòu)物合算。 當(dāng)x 1000時(shí)，如x=800 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80800=840（元） 不買卡花費(fèi)為：800（元） 此時(shí)買卡不合算。 4.溶液（混合物）問(wèn)題 溶液（混合物）問(wèn)題有四個(gè)基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；濃度=100=100【純度（含量）=100=100】；由可得到：溶質(zhì)=濃度溶液=濃度（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液?jiǎn)栴}中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。 例11.把1000克濃度為80的酒精配成濃度為60的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該同學(xué)加水是否過(guò)量？如果加水不過(guò)量，則應(yīng)加入濃度為20的酒精多少克？如果加水過(guò)量，則需再加入濃度為95的酒精多少克？ 講評(píng)：溶液?jiǎn)栴}中濃度的變化有稀釋（通過(guò)加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過(guò)蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過(guò)程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個(gè)關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。 本題中，加水前，原溶液1000克，濃度為80，溶質(zhì)（純酒精）為100080克；設(shè)加x克水后，濃度為60，此時(shí)溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）60克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）60=100080 x = 300 該同學(xué)加水未過(guò)量。 設(shè)應(yīng)加入濃度為20的酒精y克，此時(shí)總?cè)芤簽椋?000+300+y）克，濃度為60，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）60；原兩種溶液的濃度分別為100080、20y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）60=100080+20 y=50 5.數(shù)字問(wèn)題 數(shù)字問(wèn)題是常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問(wèn)題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=（數(shù)位上的數(shù)字位權(quán)），如兩位數(shù)=10a+b；三位數(shù)=100a+10b+c。在求解數(shù)字問(wèn)題時(shí)要注意整體設(shè)元思想的運(yùn)用。 例12. 一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個(gè)數(shù)。 講評(píng)：設(shè)這個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個(gè)三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17 x=2 100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926 例13. 一個(gè)六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個(gè)數(shù)字移到個(gè)位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。 講評(píng)：這個(gè)六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個(gè)位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字被擴(kuò)大10倍，可將后五位數(shù)看成一個(gè)整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動(dòng)后的數(shù)為10x+1，依題意有 10x+1=10+x x = 42857 則原數(shù)為142857 6.調(diào)配（分配）與比例問(wèn)題 調(diào)配與比例問(wèn)題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問(wèn)題中關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問(wèn)題中主要考慮“總量不變”；而在比例問(wèn)題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。 例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問(wèn)原來(lái)每架上各有多少書？ 講評(píng)：本題難點(diǎn)是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來(lái)。在調(diào)配問(wèn)題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來(lái)多的一方多出的數(shù)量進(jìn)行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x100） x=180 x+200=380 例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個(gè)。已知每條拉線管3個(gè)燈管或2個(gè)吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個(gè)？ 講評(píng)：這是一道對(duì)開關(guān)拉線的分配問(wèn)題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13）個(gè)，燈管拉線為條，吊扇拉線為條，依題意“共有條拉線”，有+x=9 例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個(gè)或螺母200個(gè)，一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？ 講評(píng)：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問(wèn)題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個(gè)數(shù)為200x個(gè)，則有（22x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個(gè)數(shù)為120（22x）個(gè)。由“一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母”即“螺母的個(gè)數(shù)是螺絲個(gè)數(shù)的2倍”，有 200x=2120（22x） x=12 22x=10 例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25216的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢瑁壳叭N料各稱了多少千克？ 講評(píng)：解決比例問(wèn)題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25216，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600 x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200 例18. 蘋果若干個(gè)分給小朋友，每人m個(gè)余14個(gè)，每人9個(gè)，則最后一人得6個(gè)。問(wèn)小朋友有幾人？ 講評(píng)：這是一個(gè)分配問(wèn)題。設(shè)小朋友x人，每人分m個(gè)蘋果余14個(gè)，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個(gè)蘋果最后一人6個(gè)，則蘋果總數(shù)為9（x）+。蘋果總數(shù)不變，有 mx+149（x）+x、m均為整數(shù) 9 例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價(jià)格與4噸砂糖的價(jià)格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？ 講評(píng)：本題可轉(zhuǎn)換成一個(gè)比例問(wèn)題。由豬肉鋼材=15，豬肉砂糖=74，得豬肉鋼材砂糖=7354，設(shè)可換回鋼材x噸，則有 x288=354 x=2620 7.需設(shè)中間（間接）未知數(shù)求解的問(wèn)題 一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過(guò)中間未知數(shù)求出結(jié)果。 例20.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個(gè)數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)。 講評(píng)：本題中要求4個(gè)量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個(gè)數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個(gè)相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為，乙數(shù)為，丙數(shù)為，丁數(shù)為，由四個(gè)數(shù)的和是43，有 +=43 x = 36 =14 =12 =9 =8 例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊(duì)均需比賽10場(chǎng)），其中勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分。向明中學(xué)足球隊(duì)在這次聯(lián)賽中所負(fù)場(chǎng)數(shù)比平場(chǎng)數(shù)少3場(chǎng)，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場(chǎng)？ 講評(píng)：本題中若直接將勝的場(chǎng)次設(shè)為未知數(shù)，無(wú)法用未知數(shù)的式子表示出負(fù)的場(chǎng)數(shù)和平的場(chǎng)數(shù)，但設(shè)平或負(fù)的場(chǎng)數(shù)，則可表示出勝的場(chǎng)數(shù)。故設(shè)平x場(chǎng)，則負(fù)x3場(chǎng)，勝10（+）場(chǎng)，依題意有 310（x+x3）+x=19 x=4 10（+）=5 8.設(shè)而