第三講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)

.,第一節(jié)間接效用函數(shù),一、間接效用函數(shù)的定義直接效用函數(shù)：效用是消費計劃的函數(shù)。若成立，則就為間接效用函數(shù)。,.,二、使用間接效用函數(shù)的原因：,間接效用函數(shù)使用收入和價格兩個變量來描述的消費者的最優(yōu)消費均衡。,.,三、間接效用函數(shù)的性質(zhì),1、在價格和財富上是連續(xù)的。2、它對于價格和財富是零次齊次的，即價格和財富的同比例變化并不影響效用水平。3、在財富上是嚴格遞增的。4、而在價格上則是嚴格遞減的。5、滿足羅伊恒等式。,.,性質(zhì)1說明和證明,.,性質(zhì)2的證明,.,.,5、羅伊恒等關系,如果間接效用函數(shù)在點上是可導的且，一定存在這個證明要用到包絡定理,.,包絡定理(EnvelopeTheorem),與比較靜態(tài)分析相關的一個重要工具是包絡定理。比較靜態(tài)分析的思想是在其它條件（參數(shù)）不變得前提下，研究單個參數(shù)的變化對均衡解的影響，以此來表達決策者的行為。而另一類重要的問題是，我們常常要考慮此參數(shù)的變化對目標函數(shù)（最大值）的影響，如一商品價格的變化對消費者的效用的影響，一投入要素價格的變化（或要素稟賦的變動）對廠商收入（或利潤）的影響，都屬此類情形。在進入正式的討論之前，我們先介紹一個概念：最大值函數(shù),.,最大值函數(shù)(MaximumValueFunction)最優(yōu)規(guī)劃問題中，我們知道最優(yōu)解是與參數(shù)有關的函數(shù)，即，因此在最優(yōu)解處，目標函數(shù)的值為：,.,即目標函數(shù)在最優(yōu)解處的解也是與參數(shù)c有關的函數(shù)，我們定義為，稱之為最大值函數(shù)。更一般的，如果參數(shù)不僅出現(xiàn)在約束，而且也出現(xiàn)在目標函數(shù)，我們有：,.,其中為參數(shù)為時的選擇變量的最優(yōu)解，或者稱最優(yōu)反應。因此，根據(jù)定義，如果對一任意，則有，等號當且僅當時取得。因此，最大值函數(shù)與函數(shù)是有區(qū)別的，一般而言，當且僅當時，即為參數(shù)的最優(yōu)反應時取得等號。我們用一簡單的圖示來說明這一關系。,.,.,包絡定理：包絡曲線與曲線相切于A點，即兩曲線在A點的斜率相等，用代數(shù)表達為：在處取值。此等式即為包絡定理。,.,更加一般的，對于最優(yōu)規(guī)劃問題：其中選擇變量x為n維向量，參數(shù)為m維向量，包絡定理為：,.,即參數(shù)對最大值函數(shù)（目標函數(shù)的最大值）的影響，就等于拉格朗日函數(shù)直接對參數(shù)求偏導數(shù)，并在最優(yōu)解處取值。,.,包絡定理證明,.,.,.,.,性質(zhì)3證明,.,性質(zhì)4證明,多加一個假設條件,用與性質(zhì)3同樣的方法,可證由于,.,性質(zhì)5證明,兩式相除，就可以得到羅伊恒等式,.,例:從直接效用函數(shù)并驗證性質(zhì)5。,.,.,令,.,.,驗證（略）性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5,.,三、間接效用函數(shù)的應用,間接效用函數(shù)的存在對于說明政府政策的福利影響有比較便利的條件。控制消費者行為實質(zhì)上可以由控制價格與控制收入來實現(xiàn)?？刂苾r格，實質(zhì)就是價格改革和價格政策；控制收入，實質(zhì)便是收入政策的內(nèi)容。如：最低生活保障制度。這項制度有利于社會穩(wěn)定，有利于促進經(jīng)濟均衡?，F(xiàn)在，我們先從預算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。最低生活保障制度。為了保證消費者在收入限制下選擇到生活需要品，消費者收入就應不低于最低收入標準。所謂最低收入標準，是指在既定價格體系p下消費集合X中的最低支出I(p)=infpx:xX。最低生活保障制度是一種保證收入y不低于I(p)的制度。條件yI(p)就叫做最低生活保障或最低收入條件或最低支出條件。,.,現(xiàn)在應用效用最大化理論來分析兩個實際問題：所得稅與銷售稅的比較，價格補貼發(fā)放辦法比較。問題1：所得稅與銷售稅哪一種對消費者更為有利？國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收所得稅，另一種是征收銷售稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民更為有利些?問題2：漲價補貼對消費者是否有利？商品漲價，國家要發(fā)放價格補貼。一種辦法是控制價格，不許漲價，把價格補貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價，把價格補貼發(fā)給消費者。那么，哪一種補貼辦法對消費者更為有利？為了分析這兩個問題，設當前的市場價格體系為p，消費者收入為r，消費者的選擇為xD(p,r)。,.,1、比較開征所得稅和銷售稅對消費者效用的影響。,設效用函數(shù)為由,.,.,(一)所得稅與消費稅的比較,征收銷售稅：稅率向量為t=(t1,t2,t)，ti為購買一單位商品i的稅額。按稅率t征收銷售稅，相當于價格從p上升到p+t，于是需求從xD(p,r)變到y(tǒng)(p+t,r)，所納的稅額為T=ty。注意y(p+t,r)D(p,r)，故yx。,征收所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從消費者收入r中扣除銷售稅情況下所繳納的稅額T=ty，則預算集合變?yōu)?p,r-T)，消費者選擇變?yōu)閦D(p,r-T)。,x,x,y,y,z,(p+t,r),D(p,r),結果比較：可以看出，y(p,r-T)，因而yz。這說明：雖然繳納的稅額相同,但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利些。,(p,r-T),.,(二)價格補貼發(fā)放辦法比較,不許漲價：在把價格補貼發(fā)放給生產(chǎn)者，不允許商品漲價的情況下，消費者的選擇為xD(p,r)。,允許漲價：允許商品漲價，把價格補貼發(fā)放給消費者。漲價后的價格體系為q，補貼使得消費者收入從r提高到s，消費者的選擇從x變?yōu)閥(q,s)。補貼標準：補貼后，要保證消費者仍可以按照原來的方案進行消費，即補貼額=qxpx，也即qx=s。結果比較：y(q,s)，xy。這說明“允許漲價，把補貼發(fā)給消費者”比“不許漲價，把補貼發(fā)給生產(chǎn)者”對消費者來說更為有利些。,D(p,r),x,x,y,(q,s),.,第二節(jié)支出函數(shù),一、支出函數(shù)的定義在價格p既定的前提下，為滿足特定的效用水平u所必須的最低花費為e(p,u),.,二、支出函數(shù)的解,這是個支出最小化問題，選擇合適的x使得滿足約束條件,.,最小化支出問題,u,o,.,三、支出函數(shù)的性質(zhì),1、對于p是一次齊次的。2、是關于p的凹函數(shù)3、對p是遞增的。4、連續(xù)性（利用最大化原理）5、謝潑德引理：,.,性質(zhì)1證明,設函數(shù)f：RnR,tR，xRn,如果f(tx)=tmf(x),亦即f(tx1,txn)=tmf(x1,xn),稱函數(shù)f為m次齊次函數(shù)。線性函數(shù)為一次齊次函數(shù)。因為f(tx)=tf(x)。如:p1x1+p2x2=y(tp1)x1+(tp2)x2=ty,.,例：設需求滿足效用水平是效用函數(shù)形式為：，求支出函數(shù)，并說明支出函數(shù)關于價格變動具有一次齊次性。,.,.,性質(zhì)2證明,支出最小化意味著，在既定的價格下，獲得既定的效用，支出最小。,.,性質(zhì)5：謝潑德引理證明,如果是連續(xù)且嚴格遞增的，那么，當時，支出函數(shù)在點對于可微，并且證明構建拉格朗日函數(shù)，利用包絡定理。,.,.,四、?？怂沟男枨蟾拍?任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟學的一個先驗命題。支出最小化反映的是這樣一種經(jīng)濟現(xiàn)象：當消費者面臨一種消費方案時，常常會作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越少就越好。這就是說，消費者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費支出達到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣相當于支付效用。以貨幣換商品，相當于以效用換效用。正常人都會有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？因此，支出最小化當然也要算作經(jīng)濟人理性的構成部分。準確地講，支出最小化是指消費者在保證不降低生活水平的前提下，謀求消費支出達到最少。?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)，分析了消費者的選擇，給出了今天稱謂的?？怂剐枨蟾拍睢?.,五、?？怂沟男枨蠛瘮?shù),?？怂沟男枨蠛瘮?shù)有兩種確定的方式，一種是通過最小化的支出方法，另一種則是通過財富補償?shù)男袨?。一般記為：前者是為達到既定的效用水平u，選擇最小的支出引出“謝潑特定理”（前面已經(jīng)證明和推導，后者通過下面圖形加以說明）,.,B,C,B,B,A,o,o,.,圖形說明:上圖表示價格變動的替代效應，的價格由降到了,仍然保持不變，由于假定實行了負的補償（收入相應減少了，本來應該和點B相切），