第三講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)

.,第一節(jié)間接效用函數(shù),一、間接效用函數(shù)的定義直接效用函數(shù)：效用是消費(fèi)計(jì)劃的函數(shù)。若成立，則就為間接效用函數(shù)。,.,二、使用間接效用函數(shù)的原因：,間接效用函數(shù)使用收入和價(jià)格兩個(gè)變量來描述的消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)均衡。,.,三、間接效用函數(shù)的性質(zhì),1、在價(jià)格和財(cái)富上是連續(xù)的。2、它對于價(jià)格和財(cái)富是零次齊次的，即價(jià)格和財(cái)富的同比例變化并不影響效用水平。3、在財(cái)富上是嚴(yán)格遞增的。4、而在價(jià)格上則是嚴(yán)格遞減的。5、滿足羅伊恒等式。,.,性質(zhì)1說明和證明,.,性質(zhì)2的證明,.,.,5、羅伊恒等關(guān)系,如果間接效用函數(shù)在點(diǎn)上是可導(dǎo)的且，一定存在這個(gè)證明要用到包絡(luò)定理,.,包絡(luò)定理(EnvelopeTheorem),與比較靜態(tài)分析相關(guān)的一個(gè)重要工具是包絡(luò)定理。比較靜態(tài)分析的思想是在其它條件（參數(shù)）不變得前提下，研究單個(gè)參數(shù)的變化對均衡解的影響，以此來表達(dá)決策者的行為。而另一類重要的問題是，我們常常要考慮此參數(shù)的變化對目標(biāo)函數(shù)（最大值）的影響，如一商品價(jià)格的變化對消費(fèi)者的效用的影響，一投入要素價(jià)格的變化（或要素稟賦的變動(dòng)）對廠商收入（或利潤）的影響，都屬此類情形。在進(jìn)入正式的討論之前，我們先介紹一個(gè)概念：最大值函數(shù),.,最大值函數(shù)(MaximumValueFunction)最優(yōu)規(guī)劃問題中，我們知道最優(yōu)解是與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，即，因此在最優(yōu)解處，目標(biāo)函數(shù)的值為：,.,即目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的解也是與參數(shù)c有關(guān)的函數(shù)，我們定義為，稱之為最大值函數(shù)。更一般的，如果參數(shù)不僅出現(xiàn)在約束，而且也出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)，我們有：,.,其中為參數(shù)為時(shí)的選擇變量的最優(yōu)解，或者稱最優(yōu)反應(yīng)。因此，根據(jù)定義，如果對一任意，則有，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得。因此，最大值函數(shù)與函數(shù)是有區(qū)別的，一般而言，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為參數(shù)的最優(yōu)反應(yīng)時(shí)取得等號。我們用一簡單的圖示來說明這一關(guān)系。,.,.,包絡(luò)定理：包絡(luò)曲線與曲線相切于A點(diǎn)，即兩曲線在A點(diǎn)的斜率相等，用代數(shù)表達(dá)為：在處取值。此等式即為包絡(luò)定理。,.,更加一般的，對于最優(yōu)規(guī)劃問題：其中選擇變量x為n維向量，參數(shù)為m維向量，包絡(luò)定理為：,.,即參數(shù)對最大值函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)的最大值）的影響，就等于拉格朗日函數(shù)直接對參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并在最優(yōu)解處取值。,.,包絡(luò)定理證明,.,.,.,.,性質(zhì)3證明,.,性質(zhì)4證明,多加一個(gè)假設(shè)條件,用與性質(zhì)3同樣的方法,可證由于,.,性質(zhì)5證明,兩式相除，就可以得到羅伊恒等式,.,例:從直接效用函數(shù)并驗(yàn)證性質(zhì)5。,.,.,令,.,.,驗(yàn)證（略）性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5,.,三、間接效用函數(shù)的應(yīng)用,間接效用函數(shù)的存在對于說明政府政策的福利影響有比較便利的條件?？刂葡M(fèi)者行為實(shí)質(zhì)上可以由控制價(jià)格與控制收入來實(shí)現(xiàn)。控制價(jià)格，實(shí)質(zhì)就是價(jià)格改革和價(jià)格政策；控制收入，實(shí)質(zhì)便是收入政策的內(nèi)容。如：最低生活保障制度。這項(xiàng)制度有利于社會(huì)穩(wěn)定，有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)均衡?，F(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。最低生活保障制度。為了保證消費(fèi)者在收入限制下選擇到生活需要品，消費(fèi)者收入就應(yīng)不低于最低收入標(biāo)準(zhǔn)。所謂最低收入標(biāo)準(zhǔn)，是指在既定價(jià)格體系p下消費(fèi)集合X中的最低支出I(p)=infpx:xX。最低生活保障制度是一種保證收入y不低于I(p)的制度。條件yI(p)就叫做最低生活保障或最低收入條件或最低支出條件。,.,現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來分析兩個(gè)實(shí)際問題：所得稅與銷售稅的比較，價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較。問題1：所得稅與銷售稅哪一種對消費(fèi)者更為有利？國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收所得稅，另一種是征收銷售稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民更為有利些?問題2：漲價(jià)補(bǔ)貼對消費(fèi)者是否有利？商品漲價(jià)，國家要發(fā)放價(jià)格補(bǔ)貼。一種辦法是控制價(jià)格，不許漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者。那么，哪一種補(bǔ)貼辦法對消費(fèi)者更為有利？為了分析這兩個(gè)問題，設(shè)當(dāng)前的市場價(jià)格體系為p，消費(fèi)者收入為r，消費(fèi)者的選擇為xD(p,r)。,.,1、比較開征所得稅和銷售稅對消費(fèi)者效用的影響。,設(shè)效用函數(shù)為由,.,.,(一)所得稅與消費(fèi)稅的比較,征收銷售稅：稅率向量為t=(t1,t2,t)，ti為購買一單位商品i的稅額。按稅率t征收銷售稅，相當(dāng)于價(jià)格從p上升到p+t，于是需求從xD(p,r)變到y(tǒng)(p+t,r)，所納的稅額為T=ty。注意y(p+t,r)D(p,r)，故yx。,征收所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從消費(fèi)者收入r中扣除銷售稅情況下所繳納的稅額T=ty，則預(yù)算集合變?yōu)?p,r-T)，消費(fèi)者選擇變?yōu)閦D(p,r-T)。,x,x,y,y,z,(p+t,r),D(p,r),結(jié)果比較：可以看出，y(p,r-T)，因而yz。這說明：雖然繳納的稅額相同,但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利些。,(p,r-T),.,(二)價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較,不許漲價(jià)：在把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放給生產(chǎn)者，不允許商品漲價(jià)的情況下，消費(fèi)者的選擇為xD(p,r)。,允許漲價(jià)：允許商品漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放給消費(fèi)者。漲價(jià)后的價(jià)格體系為q，補(bǔ)貼使得消費(fèi)者收入從r提高到s，消費(fèi)者的選擇從x變?yōu)閥(q,s)。補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)：補(bǔ)貼后，要保證消費(fèi)者仍可以按照原來的方案進(jìn)行消費(fèi)，即補(bǔ)貼額=qxpx，也即qx=s。結(jié)果比較：y(q,s)，xy。這說明“允許漲價(jià)，把補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者”比“不許漲價(jià)，把補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者”對消費(fèi)者來說更為有利些。,D(p,r),x,x,y,(q,s),.,第二節(jié)支出函數(shù),一、支出函數(shù)的定義在價(jià)格p既定的前提下，為滿足特定的效用水平u所必須的最低花費(fèi)為e(p,u),.,二、支出函數(shù)的解,這是個(gè)支出最小化問題，選擇合適的x使得滿足約束條件,.,最小化支出問題,u,o,.,三、支出函數(shù)的性質(zhì),1、對于p是一次齊次的。2、是關(guān)于p的凹函數(shù)3、對p是遞增的。4、連續(xù)性（利用最大化原理）5、謝潑德引理：,.,性質(zhì)1證明,設(shè)函數(shù)f：RnR,tR，xRn,如果f(tx)=tmf(x),亦即f(tx1,txn)=tmf(x1,xn),稱函數(shù)f為m次齊次函數(shù)。線性函數(shù)為一次齊次函數(shù)。因?yàn)閒(tx)=tf(x)。如:p1x1+p2x2=y(tp1)x1+(tp2)x2=ty,.,例：設(shè)需求滿足效用水平是效用函數(shù)形式為：，求支出函數(shù)，并說明支出函數(shù)關(guān)于價(jià)格變動(dòng)具有一次齊次性。,.,.,性質(zhì)2證明,支出最小化意味著，在既定的價(jià)格下，獲得既定的效用，支出最小。,.,性質(zhì)5：謝潑德引理證明,如果是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的，那么，當(dāng)時(shí)，支出函數(shù)在點(diǎn)對于可微，并且證明構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，利用包絡(luò)定理。,.,.,四、?？怂沟男枨蟾拍?任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)先驗(yàn)命題。支出最小化反映的是這樣一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象：當(dāng)消費(fèi)者面臨一種消費(fèi)方案時(shí)，常常會(huì)作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越少就越好。這就是說，消費(fèi)者首先確定一個(gè)效用水平，然后在不低于這個(gè)效用水平的前提下使消費(fèi)支出達(dá)到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣相當(dāng)于支付效用。以貨幣換商品，相當(dāng)于以效用換效用。正常人都會(huì)有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？因此，支出最小化當(dāng)然也要算作經(jīng)濟(jì)人理性的構(gòu)成部分。準(zhǔn)確地講，支出最小化是指消費(fèi)者在保證不降低生活水平的前提下，謀求消費(fèi)支出達(dá)到最少。希克斯從支出最小化出發(fā)，分析了消費(fèi)者的選擇，給出了今天稱謂的?？怂剐枨蟾拍睢?.,五、希克斯的需求函數(shù),?？怂沟男枨蠛瘮?shù)有兩種確定的方式，一種是通過最小化的支出方法，另一種則是通過財(cái)富補(bǔ)償?shù)男袨?。一般記為：前者是為達(dá)到既定的效用水平u，選擇最小的支出引出“謝潑特定理”（前面已經(jīng)證明和推導(dǎo)，后者通過下面圖形加以說明）,.,B,C,B,B,A,o,o,.,圖形說明:上圖表示價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)，的價(jià)格由降到了,仍然保持不變，由于假定實(shí)行了負(fù)的補(bǔ)償（收入相應(yīng)減少了，本來應(yīng)該和點(diǎn)B相切），