大學(xué)物理第一章 矢量分析VIP

1,第一章矢量分析,2,本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場的梯度1.4矢量場的通量與散度1.5矢量場的環(huán)流和旋度1.6無旋場與無散場1.7拉普拉斯運算與格林定理1.8亥姆霍茲定理,3,1.標(biāo)量和矢量,矢量的單位矢量：,標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。,1.1矢量代數(shù),矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。,矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示,注意：單位矢量不一定是常矢量。,常矢量：大小和方向均不變的矢量。,4,矢量用坐標(biāo)分量表示,5,（1）矢量的加減法,兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。,矢量的加減符合交換律和結(jié)合律,2.矢量的代數(shù)運算,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：,6,（2）標(biāo)量乘矢量,（3）矢量的標(biāo)積（點積）,兩矢量的標(biāo)量積也稱為點積(本書稱為標(biāo)積)。定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢量模的乘積，結(jié)果為標(biāo)量。,7,（4）矢量的矢積（叉積）,寫成行列式形式為,亦稱叉積，結(jié)果仍為一個矢量，用矢量C表示，C的大小為A和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和B構(gòu)成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法則。,8,（5）矢量的混合運算,9,三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。,1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系,在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。,三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。,10,11,直角坐標(biāo)系,x,y,z,dx,dy,dx,ez,dz,ey,dx,dy,dz,dy,dz,ex,dL,o,12,13,圓柱坐標(biāo)系,x,y,z,pd,dr,ez,dz,er,dy,dz,dz,dz,dz,e,dr,pd,p,d,pd,o,dL,14,15,球坐標(biāo)系,x,y,z,rd,er,e,dr,e,d,dr,rsind,rsind,rsind,rd,r,rd,dr,rsind,o,dL,16,4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,17,1.3標(biāo)量場的梯度,如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。,確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。,從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：,標(biāo)量場和矢量場,18,標(biāo)量場的等值面,等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。,常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。,等值面的特點：,意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。,19,方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。,20,21,2.方向?qū)?shù),意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。,問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？,22,梯度的表達式：,意義：描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向,23,標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。,梯度的性質(zhì)：,梯度運算的基本公式：,標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）,24,解(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為,例1.3.1設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2y2z描述了空間標(biāo)量場。試求：(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。,25,表征其方向的單位矢量,(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為,對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為,26,而該點的梯度值為,27,1.4矢量場的通量與散度,1.矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。,28,2.矢量場的通量,問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。,通量的概念,如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是,29,通過閉合曲面有凈的矢量線穿出,有凈的矢量線進入,進入與穿出閉合曲面的矢量線相等,矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。,通量的物理意義,30,為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：,稱為矢量場的散度。,散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。,31,32,直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo),由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為,不失一般性，令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則,33,根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達式為,同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為,34,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,散度的表達式：,散度的有關(guān)公式：,35,4.散度定理,從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。,36,1.5矢量場的環(huán)流和旋度,矢量場的環(huán)流與旋渦源,不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。,37,環(huán)流的概念,矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即,例如：流速場。,38,如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即,上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。,特點：其值與點M處的方向有關(guān)。,39,（2）環(huán)流面密度,稱為矢量場在點M處沿方向的環(huán)流面密度。,過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限,40,矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)面密度的最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向即：,41,任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點最大環(huán)流面密度的投影：,計算矢量場的旋度,42,而,推導(dǎo)的示意圖如圖所示。,直角坐標(biāo)系中、的表達式,43,于是,同理可得,故得,物理意義：旋渦源密度矢量。,性質(zhì)：,44,旋度的計算公式:,45,如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。,如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。,46,旋度的有關(guān)公式：,47,3.斯托克斯定理,斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。,從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即,48,4.散度和旋度的區(qū)別,49,1.矢量場的源,散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；,旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。,1.6無旋場與無散場,50,2.矢量場按源的分類,（1）無旋場,僅有散度源而無旋度源的矢量場，,梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零,證明：,51,性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。,無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為,例如：靜電場,52,（2）無散場,僅有旋度源而無散度源的矢量場，即,旋度的性質(zhì):任意矢量的旋度的散度恒為零,由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場B，必然可以表示為某個矢量場的旋度。即：,磁場的散度為零，則磁場強度可表為某一矢量的旋度.,性質(zhì)：,53,（3）無旋、無散場,（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場,這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分,54,1.7拉普拉斯運算與格林定理,1.拉普拉斯運算,直角坐標(biāo)系,計算公式：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,55,概念：,即,注意：對于非直角分量，,直角坐標(biāo)系中：,如：,56,2.格林定理,設(shè)任意兩個標(biāo)量場及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場及滿足下列等式：,根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成,以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。,57,基于上式還可獲得下列兩式：,上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。,格林定理說明了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。,此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。,格林定理廣泛地用于電磁理論