第二章_計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

.,第2章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法,計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)方法計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的離散化設(shè)計(jì)方法,本章主要內(nèi)容,.,21計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換,一、連續(xù)信號(hào)的采樣,圖1采樣過(guò)程,采樣:用連續(xù)信號(hào)在離散時(shí)間瞬時(shí)值的序列代替原來(lái)連續(xù)信號(hào)的過(guò)程,.,在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，采樣信號(hào)是一數(shù)字序列，可分解成一系列單脈沖之和。,式中，為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值；為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值,則：,只有在時(shí)刻，才有，而在的所有時(shí)刻，都有。,用函數(shù),.,量化過(guò)程,圖3量化過(guò)程,所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二進(jìn)制碼）來(lái)逼近離散模擬信號(hào)的幅值，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。經(jīng)量化使采樣信號(hào)成為數(shù)字信號(hào),該過(guò)程稱為量化過(guò)程。,.,為保證采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)的頻譜無(wú)重疊的重復(fù)（沿頻率軸方向），以便采樣信號(hào)能反映連續(xù)信號(hào)的變化規(guī)律，采樣頻率至少應(yīng)是的頻譜的最高頻率的兩倍，即,采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎(chǔ)，但對(duì)于連續(xù)對(duì)象的離散控制，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的準(zhǔn)則，在實(shí)際應(yīng)用中還要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況綜合考慮。,采樣定理,.,二、采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)和采樣保持器,保持器,保持器是一種基于時(shí)域外推原理、把采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)采樣點(diǎn)之間的插值的元件。,零階保持器,。,零階保持器采用恒值外推原理，把每個(gè)采樣值一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻,從而把采樣信號(hào)變成了階梯連續(xù)信號(hào)。,圖5零階保持器的功能,.,22計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,1.Z變換,對(duì)上式取拉氏變換：,令：,則：,.,零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出采樣函數(shù)的z變換和輸入采樣函數(shù)的z變換之比。為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通常可在輸出端虛設(shè)一采樣開(kāi)關(guān)，對(duì)輸出的連續(xù)時(shí)間信號(hào)做假想采樣，來(lái)獲得輸出信號(hào)的采樣信號(hào)。,2.脈沖傳遞函數(shù),.,如果已知和，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為,.,3.差分方程,計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的差分方程,圖6連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng),（a）連續(xù)系統(tǒng)（b）離散系統(tǒng),.,脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉(zhuǎn)換,，,若已知n階離散系統(tǒng)的差分方程是,在零初始條件下，進(jìn)行Z變換,得脈沖傳遞函數(shù)為,.,2.3S平面到Z平面之間的映射關(guān)系,s平面虛軸映射為z平面單位圓，左半平面映射在z平面單位圓內(nèi),1.s平面與z平面映射關(guān)系：,.,二、極點(diǎn)位置與時(shí)間響應(yīng)的關(guān)系,1極點(diǎn)位于實(shí)軸,.,2.復(fù)極點(diǎn)位置與系統(tǒng)響應(yīng)之間關(guān)系,.,Z平面極點(diǎn)位置的趨勢(shì),極點(diǎn)越接近原點(diǎn)，脈沖響應(yīng)收斂速度越快極點(diǎn)從右向左移動(dòng)，脈沖響應(yīng)振蕩頻率增加,已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)在平面中的分布情況，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,.,24計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的模擬化設(shè)計(jì)方法,.,一、連續(xù)域-離散化設(shè)計(jì)的步驟,第1步：設(shè)計(jì)模擬控制器D(s)第2步：選擇合適的采樣周期T第3步：選擇合適的離散化方法，將D(s)離散化，獲得數(shù)字控制器D(z)，使兩者性能盡量等效。第4步：檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)閉環(huán)性能。若滿足指標(biāo)要求，進(jìn)行下一步；否則，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)。改進(jìn)設(shè)計(jì)的途徑有：選擇更合適的離散化方法提高采樣頻率修正連續(xù)域設(shè)計(jì)，如增加穩(wěn)定裕度指標(biāo)等第5步：將D(z)變?yōu)椴罘址匠蹋谟?jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。,.,根據(jù)香農(nóng)采樣定理，系統(tǒng)采樣頻率的下限為fs=2fmax，此時(shí)系統(tǒng)可真實(shí)地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。從執(zhí)行機(jī)構(gòu)的特性要求來(lái)看，有時(shí)需要輸出信號(hào)保持一定的寬度，采樣周期必須大于這一時(shí)間。從控制系統(tǒng)的隨動(dòng)和抗干擾的性能來(lái)看，要求采樣周期短些。從微機(jī)的工作量和每個(gè)調(diào)節(jié)回路的計(jì)算來(lái)看，一般要求采樣周期大些。從計(jì)算機(jī)的精度看，過(guò)短的采樣周期是不合適的。,二、采樣周期的選擇,.,實(shí)際選擇采樣周期時(shí)，必須綜合考慮：采用周期要比對(duì)象的時(shí)間常數(shù)小得多，否則采樣信號(hào)無(wú)法反映瞬變過(guò)程。采用周期應(yīng)遠(yuǎn)小于對(duì)象的擾動(dòng)信號(hào)的周期?？紤]執(zhí)行器的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)純滯后占主導(dǎo)地位時(shí)，應(yīng)按純滯后大小選取，盡可能使純滯后時(shí)間接近或等于采用周期的整數(shù)倍。考慮對(duì)象所要求的控制質(zhì)量，精度越高，采樣周期越短，以減小系統(tǒng)的純滯后。,.,常見(jiàn)被控量的經(jīng)驗(yàn)采樣周期,.,三、模擬控制器的離散化方法,最常用的表征控制器特性的主要指標(biāo)：零極點(diǎn)個(gè)數(shù)；系統(tǒng)的頻帶；穩(wěn)態(tài)增益；相位及增益裕度；階躍響應(yīng)或脈沖響應(yīng)形狀；頻率響應(yīng)特性。,等效離散,D(z),D(s),數(shù)值積分法一階向后差法一階向前差法雙線性變換法及修正雙線性變換法零極點(diǎn)匹配法保持器等價(jià)法z變換法(脈沖響應(yīng)不變法),離散化方法,.,s與z之間的變換關(guān)系,向后差分(矩形積分)法,1.一階向后差分法,.,主要特性s平面與z平面映射關(guān)系當(dāng)=0（s平面虛軸），s平面虛軸映射到z平面為該小圓的圓周。當(dāng)0（s右半平面），映射到z平面為上述小圓的外部。當(dāng)0（s右半平面），映射到z平面單位圓外。當(dāng)0（s左半平面），映射到z平面單位圓內(nèi)。若D(s)穩(wěn)定，則D(z)一定穩(wěn)定,雙線性變換映射關(guān)系,.,頻率畸變：雙線性變換的一對(duì)一映射，保證了離散頻率特性不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，但產(chǎn)生了頻率畸變。變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。,應(yīng)用這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上應(yīng)用較為普遍。這種方法的主要缺點(diǎn)是高頻特性失真嚴(yán)重，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化，不宜用于高通環(huán)節(jié)的離散化。,.,注意，這里的零階保持器是假想的，并沒(méi)有物理的零階保持器。這種方法可以保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)相同，但要進(jìn)行z變換，同樣具有z變換法的一系列缺點(diǎn)，所以應(yīng)用亦較少。,3.帶零階保持器z變換法（階躍響應(yīng)不變法）,.,25計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的離散化設(shè)計(jì)方法,.,計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)離散化設(shè)計(jì)的步驟（直接設(shè)計(jì)）,第1步：求系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)，即對(duì)帶有零階保持器的被控對(duì)象傳遞函數(shù)進(jìn)行變換。第2步：根據(jù)對(duì)控制系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求和其他約束條件，構(gòu)造系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函