狀態(tài)反饋和觀測(cè)器

第4章系統(tǒng)狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器,目錄4.1狀態(tài)反饋與輸出反饋4.2單輸入單輸出狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置法4.3狀態(tài)重構(gòu)問題4.4觀測(cè)器的極點(diǎn)配置,4.1狀態(tài)反饋與輸出反饋,1.狀態(tài)反饋設(shè)原系統(tǒng)：,1/s,u,y,-,+,+,+,+,其中：系統(tǒng)輸入-狀態(tài)反饋陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)(閉環(huán)系統(tǒng)）：若=0，特征方程,狀態(tài)反饋控制律：,2.輸出反饋a.輸出反饋至參考微分處(),1/S,H,u,-,+,+,y,其中-輸出反饋陣,b.輸出反饋至參考輸入：,1/S,u,-,+,+,比較：輸出反饋輸出反饋H，F(xiàn)選擇的自由度比狀態(tài)反饋K小，輸出反饋部分狀態(tài)反饋。C=I，F(xiàn)C=K時(shí)，才能等同狀態(tài)反饋。因此，輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋，但輸出反饋實(shí)現(xiàn)較方便，而狀態(tài)反饋中不能測(cè)量的狀態(tài)變量需用狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)。引入各種反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)后，系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性如何呢？,4.2閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性,定理1：狀態(tài)反饋不改變?cè)到y(tǒng)的能控性，但卻不一定能保證系統(tǒng)的能觀測(cè)性證明：設(shè)原系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：引入u=v-kx的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：,先證能控的充要條件是能控：的能控性陣：的能控性陣：,另一方面：的狀態(tài)反饋系統(tǒng)或：是由經(jīng)初等變換得到，而初等變換,例：解：判斷原系統(tǒng)的能控性，能觀性,能控,能觀測(cè),引入狀態(tài)反饋：,則：,令：,能控,不能觀測(cè),原系統(tǒng)：,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：,引入狀態(tài)反饋后出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消,定理2：輸出至參考輸入的反饋不改變?cè)到y(tǒng)的能觀測(cè)性與能控性,證明：輸出反饋中的FC等效于狀態(tài)反饋中的K，所以輸出反饋也保持了系統(tǒng)的能控性不變。由能觀測(cè)性判據(jù)陣，同樣可把SOH看成是SCO經(jīng)初等變換的結(jié)果，因此能觀測(cè)性保持不變。,定理3：輸出至狀態(tài)微分的反饋不改變?cè)到y(tǒng)的能觀測(cè)性，但可能改變?cè)到y(tǒng)的能控性證明：1）用對(duì)偶原理證明能觀測(cè)性不變,設(shè)原系統(tǒng)，輸出反饋的系統(tǒng)若原系統(tǒng)能觀測(cè)對(duì)偶系統(tǒng)能控。由定理1可知，系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)能控性不變對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè)性不變。即,關(guān)于能控性：設(shè)原系統(tǒng)能控對(duì)偶系統(tǒng)能觀測(cè),而系統(tǒng)的能觀測(cè)性陣：,4.3單輸入/單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,控制系統(tǒng)的性能主要取決系統(tǒng)的極點(diǎn)在根平面上的分布。極點(diǎn)配置就是通過狀態(tài)反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)特性。,設(shè)原系統(tǒng)：,1/S,u,-,+,+,y,x,v,引入狀態(tài)反饋：,-閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)陣,閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,定理：用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件是：原系統(tǒng)狀態(tài)完全能控證明：充分性設(shè)原系統(tǒng)能控任意配置極點(diǎn)原系統(tǒng)能控，一定存在非奇異線性變換陣將(A，b)能控標(biāo)準(zhǔn)型,引入狀態(tài)反饋，其中其中：,是能控標(biāo)準(zhǔn)型（規(guī)范型）,特征多項(xiàng)式：,比較與,根據(jù)給定的n個(gè)希望閉環(huán)極點(diǎn)，其期望的閉環(huán)特征方程,可任意配置極點(diǎn),能控標(biāo)準(zhǔn)型,必要性：任意配置極點(diǎn)原系統(tǒng)狀態(tài)能控反證法：即假設(shè)原系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)，但原系統(tǒng)不完全能控。,設(shè),系統(tǒng)不完全能控，采用非奇異變換，將系統(tǒng)分解成能控和不能控兩部分，即,的特征值(的極點(diǎn))不能任意配置與已知矛盾，所以反設(shè)不成立。,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控時(shí)，狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能影響系統(tǒng)不能控部分的極點(diǎn)。,幾點(diǎn)說明：（1）在原系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的情況下，可通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)；（2）當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時(shí)，狀態(tài)反饋只能任意配置系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變系統(tǒng)不能控部分的極點(diǎn)；（3）對(duì)單輸入/單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置定理對(duì)多輸入/多輸出系統(tǒng)也成立，僅僅是狀態(tài)反饋矩陣K是不惟一的，對(duì)單變量系統(tǒng)K是唯一的。,求解狀態(tài)反饋陣的步驟：驗(yàn)證原系統(tǒng)的能控性閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：希望的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：計(jì)算,直接求出,a)原系統(tǒng)是能控標(biāo)準(zhǔn)型：b)原系統(tǒng)不是能控型，比較與C）或按能控標(biāo)準(zhǔn)型求P變換陣（）d)寫出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程：,標(biāo)準(zhǔn)型法求出,例1：要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置在解：能控標(biāo)準(zhǔn)型能控設(shè),1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,例2:要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置在解：（1）,原系統(tǒng)能控,(2),狀態(tài)完全能控K陣存在，設(shè),(3),(4)令,(5),1/s,1/s,1/s,2,3,3,-,-,-,+,+,y,v,3,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不完全能觀測(cè),4.4狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)零極點(diǎn)的影響,設(shè)單輸入出系統(tǒng)：已知(A,b,c,d)能控，則經(jīng)過將(A,b,c,d)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型,引入狀態(tài)反饋：,設(shè)：,狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的零點(diǎn)不變，極點(diǎn)可變，可能導(dǎo)致系統(tǒng)零極點(diǎn)對(duì)消,具有輸入變換器和串聯(lián)補(bǔ)償器的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置,對(duì)于完全能控的系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，但不能改變極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不能改變閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)，并且一旦閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)確定，還不能改變閉環(huán)傳遞系數(shù)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能所決定的期望的傳遞函數(shù)與原被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均不相一致時(shí)，單狀態(tài)反饋達(dá)不到要求。,具有輸入變換器和串聯(lián)補(bǔ)償器的狀態(tài)反饋,Gc(s)是串聯(lián)補(bǔ)償器，F(xiàn)是輸入變換器。,設(shè)計(jì)的基本原理：（1）根據(jù)期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)串聯(lián)補(bǔ)償其Gc(s)-實(shí)現(xiàn)要求的極點(diǎn)個(gè)數(shù)和要求的閉環(huán)零點(diǎn)；（2）通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)要求的閉環(huán)極點(diǎn)；（3）根據(jù)要求的閉環(huán)傳遞系數(shù)，確定輸入變換器F。,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,設(shè)計(jì)串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s)，狀態(tài)反饋陣K和輸入變換器F。,（1）設(shè)計(jì)串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s)原系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)為,需要增加一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，由于閉環(huán)極點(diǎn)的位置可由狀態(tài)反饋?zhàn)杂梢苿?dòng)，從實(shí)現(xiàn)方便，可選擇串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為,（2）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K,（3）確定輸入變換器F,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,其它一些情況：（1）增加零點(diǎn)。,串聯(lián)補(bǔ)償器需準(zhǔn)確提供該零點(diǎn)，同時(shí)還需提供一個(gè)極點(diǎn)。,（2）移動(dòng)零點(diǎn)。,串聯(lián)補(bǔ)償器必須把零點(diǎn)從-0.5移動(dòng)到-3.5。采用極點(diǎn)抵消零點(diǎn)，再增加零點(diǎn)，同時(shí)還需提供一個(gè)極點(diǎn)。,（3）消除零點(diǎn)。,串聯(lián)補(bǔ)償器采用極點(diǎn)抵消零點(diǎn)，同時(shí)還需提供一個(gè)極點(diǎn)。,4.5輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置,輸出反饋狀態(tài)微分設(shè)多輸入單輸出系統(tǒng)：,B,A,1/s,C,h,u,y,-,+,定理：由輸出至的反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的證明：運(yùn)用對(duì)偶原理：若(A,B,C)能觀，則能控，可由狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置：可求出h,輸出反饋至參考輸入的極點(diǎn)配置：,B,A,1/s,C,f,u,-,+,引入輸出反饋：對(duì)于完全能控的系統(tǒng)，采用輸出線性反饋不一定能任意配置極點(diǎn)。,y,v,例：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,若采用輸出反饋，是否可使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若采用狀態(tài)反饋，是否可使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。分析系統(tǒng)的能控和能觀測(cè)性，,采用輸出到輸入的反饋，則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,不論f取任何值都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,4.6全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì),狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)估計(jì)器狀態(tài)重構(gòu)原系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)狀態(tài)全維狀態(tài)觀測(cè)器,b,I/S,C,A,觀測(cè)器,k,-,要求：,狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)成：實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)，即設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)器系統(tǒng)，該系統(tǒng)的輸入是原系統(tǒng)的輸入和輸出，它的輸出就是原系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)漸近估計(jì)。,原系統(tǒng)：構(gòu)造系統(tǒng)：,盡管兩個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)，輸入信號(hào)都一樣，但系統(tǒng)的初始狀態(tài)不可能完全一樣，,但是可加入輸出量比較的反饋來進(jìn)行修正，這就可得到所求的觀測(cè)狀態(tài)。,全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)：,-觀測(cè)器的系統(tǒng)陣,-觀測(cè)器的輸出反饋陣,(2),觀測(cè)器存在的條件：,偏差狀態(tài)方程,令,狀態(tài)與估計(jì)狀態(tài)的偏差,為使觀測(cè)器的響應(yīng)速度大于狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度而希望的特征多項(xiàng)式,當(dāng)輸出反饋起作用，可選擇，使,的選擇：,當(dāng)輸出反饋不起作用,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態(tài)反饋部分,觀測(cè)器部分,-,定理：若系統(tǒng)(A,B,C)完全能觀測(cè)，則可構(gòu)造能任意配置極點(diǎn)的全維觀測(cè)器對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)來進(jìn)行估計(jì)：,適當(dāng)選取,關(guān)于觀測(cè)器的極點(diǎn)：（1）為了保證估計(jì)狀態(tài)逐漸逼近實(shí)際狀態(tài)，觀測(cè)器的極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部；（2）觀測(cè)器的極點(diǎn)決定了估計(jì)狀態(tài)逼近實(shí)際狀態(tài)的速度，實(shí)部越負(fù)，逼近速度越快；（3）觀測(cè)器的極點(diǎn)還決定了觀測(cè)器的抗干擾能力，響應(yīng)速度越快，觀測(cè)器的頻帶越寬，抗干擾能力越差。通常將觀測(cè)器的極點(diǎn)配置得使觀測(cè)器的響應(yīng)速度比系統(tǒng)稍快些。,定理：若系統(tǒng)(A,B,C)不完全能觀測(cè)，則觀測(cè)器存在的充分必要條件是其不能觀測(cè)部分是漸近穩(wěn)定的。,對(duì)于不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解為能觀測(cè)和不能觀測(cè)兩部分。能觀測(cè)部分極點(diǎn)可以任意配置；不能觀測(cè)部分本身極點(diǎn)為負(fù)實(shí)部。,例：設(shè)計(jì)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的極點(diǎn)為：解：,原系統(tǒng)能觀測(cè)觀測(cè)器的極點(diǎn)可任意配置。,令,又,設(shè),觀測(cè)器的狀態(tài)方程,原系統(tǒng),觀測(cè)器系統(tǒng),4.7降維狀態(tài)觀測(cè)器全維狀態(tài)觀測(cè)器其維數(shù)和控制系統(tǒng)狀態(tài)個(gè)數(shù)一樣。實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出y是能夠嚴(yán)格測(cè)量的，因此，利用系統(tǒng)的輸出量直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)，構(gòu)成降維狀態(tài)觀測(cè)器?？勺C明，若系統(tǒng)是能觀測(cè)的，且輸出為q維，系統(tǒng)的狀態(tài)為n維，則需要觀測(cè)器的狀態(tài)可減為n-q維。,定理：對(duì)于完全能觀測(cè)系統(tǒng),假設(shè)狀態(tài)x是n維，y是q維的。，則存在n-q維降維觀測(cè)器為,證明：,設(shè)非奇異變換陣,線性變換得,將和q個(gè)輸出量相當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分離出來.,狀態(tài)能直接由輸出y獲得，只要將n-q個(gè)狀態(tài)變量由觀測(cè)器來重構(gòu)，構(gòu)造子系統(tǒng)的全維觀測(cè)器。,為了消去等式右邊y的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，做變換得,設(shè)計(jì)q維的全維狀態(tài)觀測(cè)器,經(jīng)變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值可表示為而原系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計(jì)值為,狀態(tài)觀測(cè)器解決了系統(tǒng)狀態(tài)變量重構(gòu)問題，為實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。依靠狀態(tài)觀測(cè)器所構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖所示。整個(gè)系統(tǒng)由三部分組成，原系統(tǒng)，觀測(cè)器和狀態(tài)反饋。,4.8帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態(tài)反饋部分,觀測(cè)器部分,-,帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,原系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋：全維觀測(cè)器：,由上得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（組合系統(tǒng)，2n個(gè)狀態(tài)變量）,或狀態(tài)和狀態(tài)估計(jì)差,上述兩系統(tǒng)滿足如下的線性變換,閉環(huán)系統(tǒng)的基本特征1）分離定理：組合系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為,由觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)適合觀測(cè)器部分的特征多項(xiàng)式的乘積，而且兩者相互獨(dú)立。系統(tǒng)（A，B，C)能控且能觀測(cè)，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測(cè)器反饋陣H可按各自的要求，獨(dú)力進(jìn)行設(shè)計(jì)，成為分離特性。,2.傳遞函數(shù)陣的不變性,帶觀測(cè)器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。,3.觀測(cè)器反饋和直接反饋的等效性系統(tǒng)能觀測(cè)時(shí)，選擇H陣可使A-HC的特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以必有，因此，當(dāng)時(shí)，必有,這表明，帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，只有當(dāng)，才會(huì)與直