復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第4章習(xí)題詳解

.第四章習(xí)題詳解1 下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出它們的極限：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 。2 證明：3 判別下列級數(shù)的絕對收斂性與收斂性：1) ；2) ；3) ；4) 。4 下列說法是否正確？為什么？1) 每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂；2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn)；3) 每一個在連續(xù)的函數(shù)一定可以在的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)。5 冪級數(shù)能否在收斂而在發(fā)散？6 求下列冪級數(shù)的收斂半徑：1) （為正整數(shù)）；2) ；3) ；4) ；5) ；6) 。7 如果的收斂半徑為，證明的收斂半徑。提示：8 證明：如果存在，下列三個冪級數(shù)有相同的收斂半徑；。9 設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為。10 如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂。11 把下列各函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出它們的收斂半徑：1) ；2) ；3) ；4) ；5) ；6) ；7) ；8) 。12 求下列各函數(shù)在指定點(diǎn)處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ；6) ；。13 為什么在區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級數(shù)時，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？14 證明在以的各冪表出的洛朗展開式中的各系數(shù)為，。提示：在公式中，取為，在此圓上設(shè)積分變量。然后證明的積分的虛部等于零。15 下列結(jié)論是否正確？用長除法得因為 所以 16 把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ，在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)；6) ，在的去心鄰域內(nèi)；7) ，。17 函數(shù)能否在圓環(huán)域展開成洛朗級數(shù)？為什么？18 如果為滿足關(guān)系的實(shí)數(shù)，證明提示：對展開成洛朗級數(shù)，并在展開式的結(jié)果中置，再令兩邊的實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等。19 如果為正向圓周，求積分的值。設(shè)為：1) ；2) ；3)