畢業(yè)論文柯西-許瓦茲不等式的推廣與應(yīng)用

華 北 水 利 水 電 學(xué) 院題目：柯西-施瓦茲不等式應(yīng)用求極值課 程 名 稱： 高等數(shù)學(xué)（2） 專 業(yè) 班 級： 應(yīng)用化學(xué)2011123 成 員 組 成：姓名:鄭永帥 學(xué)號：201112323 姓名：姜林強 學(xué)號：201112325聯(lián) 系 方 式：18236914371 2012年 05月20日柯西-許瓦茲不等式的推廣與應(yīng)用摘要：柯西-許瓦茲不等式在許多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，如線性代數(shù)的矢量運動、數(shù)學(xué)分析的無窮級數(shù)、函數(shù)乘積的積分、概率論的方差和協(xié)方差等方面。柯西-許瓦茲不等式在不同的空間有著不同的形式，同時也有著許多的變形及推廣。本文總結(jié)了柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域、微積分、歐氏空間以及概率空間中的形式及其證明，并給出了它的一些推廣和應(yīng)用。關(guān)鍵詞：柯西-許瓦茲不等式；實數(shù)域； 歐氏空間；概率空間 The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz InequalityAbstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areas such as motion vector in linear algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization.This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application. Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space; Probability space 1 引言2 研究問題及成果 2.1柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的推廣與應(yīng)用 2.1.1柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的定義 2.1.2柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的推廣 2.1.3柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中求極值的應(yīng)用 2. 2柯西-許瓦茲不等式在微積分中的推廣與應(yīng)用2.1.1柯西-許瓦茲不等式在微積分中的定義2.2.2柯西-許瓦茲不等式在微積分中的推廣2.3.3柯西-許瓦茲不等式在微積分中的應(yīng)用求極值3 結(jié)束語4 參考文獻(xiàn) 引言： 在微積分、線性代數(shù)和概率論等學(xué)科中，從不同的角度和方法對同一事物做出證明和詮釋，著名的柯西不等式就是一個具體的例子。它可以充分說明人類思維的多樣性和不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)之間的內(nèi)通行、滲透性和完備性。此外，不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個分支，本文主要介紹著名的不等式柯西斯瓦茲不等式求函數(shù)極值及其在初等數(shù)學(xué)解體中的應(yīng)用。柯西不等式是一個重要的不等式，本文用了幾種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式，解方程等方面的應(yīng)用。 1、柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的推廣與應(yīng)用1.1柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的定義定義:設(shè),則有 （1.1）其中當(dāng)且僅當(dāng) (為常數(shù))等號成立。 柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在我們通過它的三種證明方法，來加深對其的理解。證法一：我們利用一元二次函數(shù)的知識來證明證明：設(shè)，則由于,因此上述不等式的判別式，則即證法二：利用一元二次不等式的知識來證明證明：平方和絕不可能是負(fù)數(shù)，故對每一個實數(shù)都有其中，等號當(dāng)且僅當(dāng)每一項都等于0時成立，該不等式可以變形為 ，其中，如果,不等式顯然成立如果，因為恒成立，所以成立即等號當(dāng)且僅當(dāng) (為常數(shù))成立。證法三：利用向量的知識來證明 證明：設(shè)是兩個維向量，則由于因此 ，即當(dāng)時等號成立， 即或時，也即與共線時等號成立.1.2柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的推廣推論1.柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的基本變形與推廣 在（1.1式）中，令，則 （1.2） （1.3）令 則 （1.4）（1.1） （1.5）（1.1） （1.6）推論2 .將柯西-許瓦茲不等式中的冪指數(shù)擴充，則有赫爾德不等式.赫爾德不等式：對任意的非負(fù)數(shù)有 其中滿足且 （1.7）證明：利用不等式其中為非負(fù)數(shù)且得赫爾德不等式中，當(dāng)時為柯西-許瓦茲不等式。推論3.若將則可導(dǎo)出相應(yīng)的無窮不等式 設(shè)數(shù)項級數(shù)與收斂，則也收斂，且 （1.8）推論4.設(shè)為組正實數(shù)，則有證明：令其中由平均值不等式得 對之作和得所以有：1.3柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的應(yīng)用例1-1設(shè)，求證：證明：不等式左邊等于 所以得證.例1-2若都是正數(shù)，又（常數(shù)），求證：.證明：根據(jù)柯西-許瓦茲不等式（1.1）式可得于是得：例1-3設(shè) ，若則；解：應(yīng)用（1.1）式 ，例1-4證明中任意三點 滿足三角不等式 證明：設(shè) 若式成立，則有：則 而 于是：即：由（1.1）式知上式成立，所以可得例1-5.設(shè)，則有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.證明：由（1.1）式可得，則：所以例1-6已知 且不等式 恒成立，求的取值范圍。 解： 故參數(shù)的取值范圍是2、柯西-許瓦茲不等式在微積分中的推廣與應(yīng)用2.1柯西-許瓦茲不等式在微積分中的定義定義：設(shè),在上可積，則 （2.1），或與成正比，則等號成立.證明：因為,都在上可積，則由定積分的性質(zhì) 均在上可積，對區(qū)間進(jìn)行等分，分點為由定積分的定義，有 由式可知再由極限的保號性易知（2.1）成立若對，或與成正比，則（2.1）式中等號成立，但其逆不真.2.2柯西-許瓦茲不等式在微積分中的推廣推論1.（明可夫斯基不等式）設(shè),都在上可積，則有明可夫斯基不等式 （2.2）證明： 由（2.1）式可知因為兩邊都大于等于零，且右邊大括號內(nèi)也大于等于零，所以有推論2： 當(dāng)存在一組不全為零的 使得 時等號成立，不等式（2.1）可以改寫為以下行列式形式 （2.3）以這樣的形式給出的好處在于形式美觀便于推廣設(shè)均在上可積，則有 （2.4）證明:注意到關(guān)于 的二次型為非負(fù)二次型，從而其系數(shù)行列式從而得證.推論3:設(shè) 均在上可積，則有 （2.5）2.3柯西-許瓦茲不等式在微積分中的應(yīng)用例2-1.設(shè)在上連續(xù)，且試證：證明：同理有：則 例2-2設(shè) 在上連續(xù)，證明：證法一：把不等式中的換成,移項得設(shè)則 為單調(diào)函數(shù)，故，所以證法二：根據(jù) 得證. 證法一用構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，證法二利用柯西-許瓦茲不等式證明，所以我們可以看出后者比前者簡單的.例2-3.設(shè)均在上可積且滿足（1）（2）則有證明：利用（2.4）式取.并注意到 ，則有由此得到 注意到定義中的條件（1） ，于是，從而得例2-4設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，試證： 證明：令 則，由知 因此例2-5設(shè)在上連續(xù)，且，證明證明：由（2.1）式得例2-6.設(shè)在0,1上連續(xù)可微，并且.證明:證明：由于根據(jù)（2.1）式即例2-7設(shè)在上具有連續(xù)可導(dǎo)，且 ，證明:證明：由于 在上對任何實數(shù)都不恒等于0，否則，設(shè)有使由此可解得：,再由，得，這與 矛盾。由上知，有嚴(yán)格不等式而從而有例2-8設(shè)在上可微且 連續(xù)，,證明：證明：因為連續(xù)，且，故因為，故從到積分得到： 可得： 根據(jù)（3.2）式可得：例3-7.已知， 求 的最小值.解：構(gòu)造向量 可得： 根據(jù)（3.2）式得：則即 的最小值為.結(jié)束語：柯西-許瓦茲不等式有著許多不同的形式，本文總結(jié)了它的四種形式，并給出其相應(yīng)得定義。對每一種形式給出了相應(yīng)的推廣與應(yīng)用。文章第一大部分給出了柯西-許瓦茲不等式在實數(shù)域中的推廣與應(yīng)用，由于在實數(shù)域中柯西-許瓦茲不等式的應(yīng)用非常廣泛，因此，我們通過他的三種證明方法，來加深對其的理解。在實數(shù)域中我們對柯西-許瓦茲不等式做了基本的變形推廣；將其中的冪指數(shù)擴充，得到赫爾德不等式；導(dǎo)出了其級數(shù)的無窮不等式等。文章的第二大部分給出了柯西-許瓦茲不等式在微積分中的形式，并對其推廣和應(yīng)用，我們由其推導(dǎo)出的明可夫斯基不等式，對其微積分中的形式變形得到行列式的形式，并進(jìn)行推廣。文章第三大部分給出了柯西-許瓦茲不等式在歐氏空間中的形式，在對其推廣的過程中由其在微積分可改寫成行列式形式中得到啟發(fā)也把其改寫成行列式的形式，應(yīng)對其進(jìn)行推廣。文章第四大部分給出了柯西-許瓦茲不等式在概率空間中的形式，并對其推廣得到Chung-Erdos不等式。我們通過一些例題說明柯西-許瓦茲不等式和其推廣在實際問題中的應(yīng)用?？挛?許瓦茲不等式不同的形式之間是相通的，對于同一個例題我們可以應(yīng)用它的不同形式來解答。例如：例1-2，3-2，4-1它們是同一道題我們應(yīng)用柯西-許瓦茲不等式的三種形式都能很好的對其解答。對有些題目我們應(yīng)用柯西-許瓦茲不等式能非常簡單、快速的得到答案，而應(yīng)用其他方法解題卻十分復(fù)雜，如：例2-2我們先用一般的構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明的方法解答比較復(fù)雜。而我們應(yīng)用柯西-許瓦茲不等式解則十分簡單。參考文獻(xiàn)1王瓊.概率方法在不等式證明中的應(yīng)用J.西藏大學(xué)學(xué)報，2002,17(2):75-78.2許維珍.關(guān)于Cauchy-Schwarz不等式的變形與應(yīng)用J.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)（社會科學(xué)版），2008,9(2):72-73.3倪偉平.柯西許瓦茲不等式的推廣J.臨沂師范學(xué)院學(xué)報，2000,22(3):13-14.4王陽 崔春紅.幾類定積分不等式的證明J.和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報（漢文綜合版），2009,28:208-209.5羅俊麗 朱白.Cauchy-Schwarz 不等式的幾種推廣形式J.商洛學(xué)院學(xué)報，2009,23(4):28-30.6陸媛.Cauchy - Schwarz不等式的推廣及其在矩陣分析中的應(yīng)用J.鹽城工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009,22(1):26-27.7陳思源.關(guān)于Cauchy - Schwarz不等式的推廣與應(yīng)用J.宜春學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué))，2006,28(4):19-19.8李靜.Cauchy-Schwarz 不等式的四種形式的證明及應(yīng)用J.宿州學(xué)院學(xué)報，2008,23 (6):89-90.9李娟 崔文泉.Cauchy-Schwarz