《李雅普諾夫穩(wěn)定性》PPT課件

3.1李亞普諾夫第二法的概述3.2李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.3李亞普諾夫穩(wěn)定性定理3.4線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,3.1李亞普諾夫第二法的概述,一、物理基礎(chǔ)1、穩(wěn)定性：一個自動控制系統(tǒng)當(dāng)受到外界干擾時，它的平衡狀態(tài)被破壞，但在外擾去掉后,它仍有能力自動地在平衡狀態(tài)狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，稱為穩(wěn)定性。2、穩(wěn)定系統(tǒng)：具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。反之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。3、系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表示法系統(tǒng)在受外界干擾后，系統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過渡過程的收斂性，用數(shù)學(xué)方法表示為：,為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的大小，為任意小的規(guī)定量。3、研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法勞斯胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)古典控制論：乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)第一種方法現(xiàn)代控制論：李亞普諾夫穩(wěn)定性第二種方法第一種方法：是解系統(tǒng)的微分方程式，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或根據(jù)特征方程根的情況來判據(jù)穩(wěn)定性。,第二種方法：建立在一個直觀的物理事實上，如果一個系統(tǒng)的某個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即那么隨著系統(tǒng)的運動，其貯存的能量將隨時間增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。由于實際系統(tǒng)很難找到一個統(tǒng)一的，簡便的用于完全描述上述過程的所謂能量函數(shù)。李氏認(rèn)為在判斷一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，不一定非要得到系統(tǒng)的真正能量函數(shù)，可以根據(jù)不同的系統(tǒng)虛構(gòu)一個廣義的能量函數(shù)，稱為李亞普諾夫函數(shù)（李氏函數(shù)）。李氏函數(shù)能滿足一定的條件，也就是根據(jù)它來判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,李氏函數(shù)一般是狀態(tài)分量和時間t的標(biāo)量函數(shù)，用表示，若與t無關(guān)，可用表示。在多數(shù)情況下，常取二次型函數(shù)作為李氏函數(shù)。即：式中P為實對稱陣。二、二次型及其定號性1、二次型：定義：n個變量的二次齊次多項式為：,稱為二次型。式中是二次的系數(shù)。設(shè)對稱且均為實數(shù)。用矩陣表示二次型2、定號性1）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，才有；對任意非零X，恒有，則為正定。,2）負(fù)定性：當(dāng)僅當(dāng)X=0時，才有；對任意非零X,恒有，則為負(fù)定。3）正半定性和負(fù)半定性如果對任意，恒有,則V(X)為正半定或準(zhǔn)正定。如果對任意，恒有,則V(X)為負(fù)半定或準(zhǔn)負(fù)定。4）不定性如果無論取多么小的零點的某個鄰域，V(X)可為正值也可為負(fù)值，則V(X)為不定。3、賽爾維斯特準(zhǔn)則1）二次型或?qū)ΨQ矩陣P為正定的充分條件是P的主子行列式均為正，即,如果則P為正定，即V(X)正定。2）二次型或?qū)ΨQ陣P為負(fù)定的充要條件是P的主子行列式滿足；（i為偶數(shù)）i=1，2，3，,n。,3.2李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性,一、平衡狀態(tài)系統(tǒng)一般描述：X為n維狀態(tài)向量。平衡狀態(tài)：當(dāng)在任意時間都能滿足時，稱Xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。對于線性定常系統(tǒng)A為非奇異時，X=0是其唯一的平衡狀態(tài)。A為奇異時，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，有一個或多個平衡狀態(tài)。對任意，總可引入一個新狀態(tài)，經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換，把它化到坐標(biāo)原點（即零狀態(tài)）。,孤立平衡狀態(tài)：如果多個平衡狀態(tài)彼此是孤立的，則稱這樣的狀態(tài)為孤立平衡狀態(tài)。單個平衡狀態(tài)也是孤立平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性問題：是指系統(tǒng)的狀態(tài)解（常稱“運動”）是否能趨于平衡狀態(tài)解的問題，若系統(tǒng)的狀態(tài)解能回復(fù)到平衡狀態(tài)則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)解雖然不能最終回復(fù)到平衡狀態(tài)，而是在平衡狀態(tài)某個鄰域內(nèi)呈現(xiàn)自激震蕩，而這種震蕩又為實際系統(tǒng)所允許，那么也應(yīng)把這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的，反之為不穩(wěn)定的。二、李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)狀態(tài)方程為,設(shè)u(t)=0，且系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為Xe，。有擾動使系統(tǒng)在時的狀態(tài)為，產(chǎn)生初始偏差則后，系統(tǒng)的運動狀態(tài)從開始隨時間發(fā)生變化。表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的閉環(huán)域里。其中表示平衡狀態(tài)偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的閉環(huán)域里,1、穩(wěn)定性定義：1）穩(wěn)定與一致穩(wěn)定設(shè)Xe為動力學(xué)系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)。如果對球域或任意正實數(shù)，都可以找到另一個正實數(shù)或球域，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時，對由此出發(fā)的X的運動軌跡有，則此系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定。,2）漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定設(shè)Xe為動力學(xué)系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)，如果它是穩(wěn)定的，且從充分靠近Xe的任一初始狀態(tài)出發(fā)的運動軌跡有或即收斂于平衡狀態(tài)Xe，則稱平衡狀態(tài)Xe為漸近穩(wěn)定。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)Xe為一致漸近穩(wěn)定。3）大范圍漸近穩(wěn)定如果對狀態(tài)空間的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性，即對所有點都成立，稱平衡狀態(tài)Xe為大范圍漸近穩(wěn)定的，如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定是大,范圍漸近穩(wěn)定的。4）不穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)Xe即不是漸近穩(wěn)定的，也不是穩(wěn)定的，當(dāng)并無限增大時，從出發(fā)的運動軌跡最終超越域，則稱平衡狀態(tài)Xe是不穩(wěn)定的。,3.3李亞普諾夫穩(wěn)定性定理,定理1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：是正定的。是負(fù)定的。則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著，有，則原點處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例3.1設(shè)系統(tǒng)方程為,試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1）平衡狀態(tài)求解，得是給定系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。2）選取李氏函數(shù)選顯然正定的所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。,又即,有,則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,定理2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中：，如果存在一標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：是正定的；是負(fù)半定的；對任意和任意，在時不恒等于零。則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有時，則為大范圍漸近,穩(wěn)定的。式中,表示時，從出發(fā)的解軌跡。例3.2設(shè)系統(tǒng)方程為確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：1）求平衡狀態(tài)原點（0,0）為給定系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。2）選李氏函數(shù)，選,當(dāng)負(fù)半定討論：的定號性，即是否恒為零.如果恒為零，勢必時，恒為零，而恒為零又必要恒為零。而又不可能恒為零。,因此有不可能恒為零系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又由于，有是大范圍漸近穩(wěn)定。若選正定。負(fù)定。而,系統(tǒng)在平衡狀態(tài)（0，0）是大范圍漸近穩(wěn)定。定理3：設(shè)系統(tǒng)方程為式中，如果存在一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),它,具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件是正定的；時負(fù)半定的，但在某一x值恒為零。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定義下穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定，這時系統(tǒng)可以保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。例3.3系統(tǒng)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：原點為平衡狀態(tài)，選取李氏函數(shù),在任意x值上均可保持為零，則系統(tǒng)在原點處是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的。定理4：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中.如果存在一個標(biāo)量函數(shù)V(x,t),它具有連續(xù)的一階偏函數(shù)，且滿足下列條件在原點的某一領(lǐng)域內(nèi)是正定的，在同樣的領(lǐng)域內(nèi)是正定的，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：分析：設(shè)線性定常系統(tǒng)為式中：xn維狀態(tài)向量，常系數(shù)距陣，假設(shè)為非奇異，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。主要取決自由響應(yīng)。平衡狀態(tài)，由方程知,x=0，(原點）對（1）式確定的系統(tǒng)，若選如下正定無限大V函數(shù)P正定赫米特距陣（復(fù)空間內(nèi)=次型，如A是一個實向量，則可取正定實對稱距陣）,3.4線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,的導(dǎo)數(shù)為如果系統(tǒng)為大范圍漸進穩(wěn)定。則要求負(fù)定。,即,為負(fù)定,式中,2.問題：在已知P是正定條件下，尋找滿足(2)式條件的赫米特矩陣（或?qū)崒ΨQ矩陣）Q是正定的，則系統(tǒng)（1）在原點處的平衡點，是大范圍漸近穩(wěn)定的。,3.定理:設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中,x是n維狀態(tài)向量，A是常系數(shù)矩陣,且是非奇異。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱矩陣)Q，存在一個正定的赫米特矩陣(或?qū)崒ΨQ矩陣)P,使得滿足如下矩陣方程則系統(tǒng)在x=0處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.而標(biāo)量函數(shù)就是李氏函數(shù).4.幾點討論,1）如果沿任意一條軌跡不恒等于零,則Q可取做半正定數(shù).2）該定理闡述的條件，是充分且必要的。3）因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終判斷結(jié)果和Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取這樣線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)X=0為漸近的充分條件為：存在一個正定對稱矩陣P，滿足矩陣方程5、特征值穩(wěn)定性判據(jù)對于線性定常系統(tǒng)有：,（1）系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)Xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：A的所有特征值均具有負(fù)實部。例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然，坐標(biāo)原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定系統(tǒng)在這一平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。,解：設(shè)系統(tǒng)李亞普諾夫函數(shù)為P由下式?jīng)Q定取得：,展開得：解上式：,漸近穩(wěn)定條件：即：,滿足此不等式，必須有故上述系統(tǒng)在原點處是漸近穩(wěn)定的充分條件為又此系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，若此系統(tǒng)為在原點處漸近穩(wěn)定，必為大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。,例：已知線性定常系統(tǒng)試用李亞普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1）平衡狀態(tài)：X=0是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。令代入,由此導(dǎo)出：故得,判據(jù)P的正定性故P是正定的。根據(jù)定理可知系統(tǒng)的平衡狀態(tài)X=0是漸近穩(wěn)定的李氏函數(shù)：,顯然系統(tǒng)在X=0平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。二、線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定理：若系統(tǒng)的矩陣A是t的函數(shù)（即時變函數(shù)），則系統(tǒng)在平衡點Xe=0處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定連續(xù)對稱正定矩陣Q(t),存在一個連續(xù)對稱正定矩陣P(t),使得,而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是證明：設(shè)李亞普諾夫函數(shù)是,則P(t)必是正定且對稱矩陣，其,式中,由定理可知，當(dāng)P是正定對稱矩陣時，若Q也是一個正定對稱矩陣，則是負(fù)定的，系統(tǒng)便是漸近穩(wěn)定的。,式（1）解為,式中，是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是式（1）的初始條件，若取,所以根據(jù)P(t)是否具有連續(xù)、對稱和正定性來分析線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,三、線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析定理：線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為當(dāng)系統(tǒng)在平衡點Xe=0是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定時，其充分必要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣Q都存在對稱正定矩陣P，使得,而系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是當(dāng)取時，證：設(shè)李亞普諾夫函數(shù)為式中