《晶格振動(dòng)》PPT課件

晶格振動(dòng)：晶體中的原子在格點(diǎn)附近作熱振動(dòng),第四章晶格振動(dòng)和晶體熱學(xué)性質(zhì),如何處理晶體中原子的振動(dòng)？,晶格動(dòng)力學(xué)（經(jīng)典理論）：原子的振動(dòng)以波的形式（稱為格波）在晶體中傳播,有多少個(gè)基本的振動(dòng)頻率（模式數(shù)量）、波動(dòng)的頻率和波數(shù)的關(guān)系（色散關(guān)系）,晶格振動(dòng)的量子理論：原子振動(dòng)的粒子形式（聲子）,應(yīng)用：晶體的熱容量,4.1一維單原子鏈的振動(dòng),原子鏈共有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞只有一個(gè)原子,每個(gè)原子具有相同的質(zhì)量m,平衡時(shí)原子間距等于晶格常數(shù)a,原子沿鏈方向運(yùn)動(dòng),第n個(gè)原子離開平衡位置的位移用un表示,第n個(gè)原子和第n+1個(gè)原子間的相對(duì)位移為,原子振動(dòng)時(shí)，相鄰兩個(gè)原子之間的間距,一維單原子鏈,平衡時(shí)原子位于Bravais格點(diǎn)上,1、基本假設(shè),原子圍繞平衡位置作微振動(dòng),簡(jiǎn)諧近似：原子間的相互作用勢(shì)能只考慮到平方項(xiàng),此時(shí)，兩原子間的相互作用勢(shì)能可表示為：,稱為原子間恢復(fù)力常數(shù),彈性力,在簡(jiǎn)諧近似下相鄰兩個(gè)原子間的作用力：,第n個(gè)原子受到的作用力為：,一維原子鏈的振動(dòng)模型：被一個(gè)個(gè)彈簧連接起來的一串質(zhì)量為m的球,2、一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程,只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力：,第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為,對(duì)于N個(gè)原子有N個(gè)完全類似的運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)動(dòng)方程為二階常微分方程,3、運(yùn)動(dòng)方程的解,設(shè)方程的特解為：,q：波矢,大小等于，方向?yàn)椴▊鞑サ姆较騫na：第n個(gè)原子相對(duì)于參考點(diǎn)的位相差qa：相鄰原子的位相差,t時(shí)刻原點(diǎn)處原子相對(duì)于平衡點(diǎn)的偏移,特解具有波動(dòng)形式（用波矢為q、頻率為的簡(jiǎn)諧波來描述原子離開平衡位置的振動(dòng)）,為了確定色散關(guān)系，把試探解帶入運(yùn)動(dòng)方程得：,振動(dòng)頻率與n無關(guān)，色散關(guān)系對(duì)所有原子都相同,4、一維單原子鏈的色散關(guān)系,和q之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系,原子的振動(dòng)以波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。一個(gè)格波表示晶體中所有原子一起參與的共同振動(dòng)。在簡(jiǎn)諧近似下，格波為平面波。,5、波矢q的取值范圍,波矢q和,描述同樣的振動(dòng)狀態(tài)：,為了保證xn的單值性，把q限制在,格波q的不唯一性的圖示,6、周期性邊界條件,波恩卡門邊界條件：將許多完全相同的原子鏈?zhǔn)孜策B接成無窮長(zhǎng)鏈，從而第N+1個(gè)原子就是第1個(gè)原子，第N2個(gè)原子就是第2個(gè)原子,獨(dú)立波矢的取值范圍在第一布里淵區(qū),相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢的波矢描述同樣的振動(dòng)狀態(tài),一個(gè)布里淵區(qū)包含的波矢數(shù)目,即對(duì)于一維單原子鏈，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目等于晶體的原胞數(shù),在FBZ，q取分立值，相鄰兩個(gè)波矢的間隔,是q的周期函數(shù)：,時(shí)，,（具有該特點(diǎn)的格波稱為聲學(xué)波）,7、一維單原子鏈色散關(guān)系的特點(diǎn),波速（相速度）,群速,8、格波的波速和群速,布里淵區(qū)的中心附近，,波速,為常數(shù)，此時(shí)格波為彈性波,在布里淵區(qū)的邊界上，一維單原子鏈格波的群速度為零：,根據(jù)彈性波的理論,波是一個(gè)駐波。,一個(gè)格波表示整個(gè)晶體所有原子都參與的振動(dòng)，體系所有原子一起參與的共同振動(dòng)，稱為一個(gè)振動(dòng)模。,波矢為q的格波t時(shí)刻在第n個(gè)原子處產(chǎn)生的位移量：,所有格波在第n個(gè)原子處產(chǎn)生的總位移量：,4.2一維雙原子鏈的振動(dòng),晶格常數(shù)a，共有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，質(zhì)量分別為M1、M2，交替放置形成一維周期結(jié)構(gòu)。鏈上的原子由其所屬的原胞數(shù)n及在基元中的序號(hào)p1，2來標(biāo)記。,一維雙原子鏈的結(jié)構(gòu),如圖所示，設(shè)A、B兩種原子組成一無限的一維周期晶體，畫出其晶格的原胞。,基元,仍然采用簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似，原子的運(yùn)動(dòng)方程為：,設(shè)方程組有如下的格波解：,共有2N個(gè),不同類原子的振幅不同，但以相同的頻率振動(dòng),1、運(yùn)動(dòng)方程和格波解,把試探解帶入運(yùn)動(dòng)方程，有：,A、B有非零解的條件是上面方程組的系數(shù)行列式等于零：,每個(gè)波矢對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的頻率，當(dāng)q變化時(shí)，給出兩條色散關(guān)系，稱為兩支，頻率低的一支（取負(fù)號(hào)）稱為稱為聲學(xué)波，頻率高的一支（取正號(hào)）稱為光學(xué)波。,2、色散關(guān)系,光學(xué)波,聲學(xué)波,3、一維雙原子鏈色散關(guān)系的特征,色散關(guān)系是倒格矢量的周期函數(shù)：,色散關(guān)系分成兩支：一支是聲學(xué)波，一支是光學(xué)波，光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率各有一定的范圍。,在聲學(xué)波最小最高頻率和光學(xué)波的最小頻率之間有一頻率間隙,當(dāng)q0時(shí)，聲學(xué)支的色散關(guān)系是線性的,光學(xué)支的頻率近似為常數(shù),4、聲學(xué)波和光學(xué)波振動(dòng)的特點(diǎn),相鄰原子振幅之比,聲學(xué)支,光學(xué)支,聲學(xué)支中，相鄰原子的振動(dòng)方向相同,光學(xué)支中，相鄰原子的振動(dòng)方向相反,長(zhǎng)波時(shí)，,長(zhǎng)聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動(dòng),長(zhǎng)波時(shí)，,長(zhǎng)光學(xué)波描述原胞內(nèi)原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),雙原子鏈在長(zhǎng)波極限(q0)的振動(dòng)圖像,光學(xué)波,在布里淵區(qū)邊界,聲學(xué)波：,光學(xué)波：,5、振動(dòng)模式數(shù)（頻率數(shù)）,波矢限定在第一布里淵區(qū)中,周期性邊界條件下,一維雙原子鏈：,晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù),一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的頻率，共有2N個(gè)振動(dòng)頻率，這2N個(gè)振動(dòng)頻率分為2支。,一個(gè)原胞中有r個(gè)原子，原胞數(shù)目,4.3三維晶格的振動(dòng),第L個(gè)原胞中第S個(gè)原子離開平衡點(diǎn)的位移在坐標(biāo)軸方向的分量,原子的質(zhì)量：,第L個(gè)原胞中第s個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程為：,共有3rN,設(shè)方程的一個(gè)特解為,把試探解代入運(yùn)動(dòng)方程，得到以振幅Asa滿足的3r個(gè)線性齊次聯(lián)立方程：,它有解的條件是系數(shù)行列式等于0。由此可以得到一個(gè)2的3r次方程式，從而給出3r個(gè)解：,對(duì)于一個(gè)波矢q,有3r個(gè)（即有3r支色散曲線）,在3r支色散關(guān)系中，當(dāng)q0時(shí)（長(zhǎng)波）：,有三支0，且各原子的振幅趨于相同，這三支為聲學(xué)波。長(zhǎng)聲學(xué)波描述了原胞質(zhì)心的振動(dòng)。,其余(3r-3)支有有限的振動(dòng)頻率，為光學(xué)波。長(zhǎng)光學(xué)波描述原胞內(nèi)原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。,q的值由周期性邊界條件確定：,波矢的取值和波矢空間,把波矢q表示為倒格子空間中的一個(gè)矢量：,根據(jù)倒格基矢與正格基矢的關(guān)系可得,倒格子空間也稱為波矢空間,在波矢空間中，許可的q值是一些分立的點(diǎn)，這些點(diǎn)在波矢空間是均勻分布的。,每個(gè)點(diǎn)在波矢空間占據(jù)的體積為：,相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢量的波矢描述同樣的振動(dòng)狀態(tài),波矢空間中即q的密度為：,獨(dú)立的波矢位于第一布里淵區(qū),一個(gè)布里淵區(qū)可能有的q數(shù)目,晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù),（自由度數(shù)原子的個(gè)數(shù)坐標(biāo)的維數(shù)）,晶格振動(dòng)頻率的數(shù)目=晶體內(nèi)原子的自由度數(shù),一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的頻率的數(shù)目=一個(gè)原胞內(nèi)原子的自由度數(shù),硅的色散關(guān)系,L：縱波，T：橫波；A：聲學(xué)波，O：光學(xué)波,橫波的色散關(guān)系總是簡(jiǎn)并的,格波頻譜密度（頻率分布函數(shù)）,格波頻譜密度定義為單位頻率間隔內(nèi)振動(dòng)的頻率數(shù),頻率數(shù)目為,波的群速度,3r支格波:,所以,因?yàn)?例題：一維單原子鏈的頻率分布函數(shù),q空間中q點(diǎn)的密度：,的波矢數(shù)目為,對(duì)應(yīng)的頻率數(shù)目為,晶體中原子在格點(diǎn)的微振動(dòng)，可以用波矢為q、頻率為的格波來描述。,總結(jié),在簡(jiǎn)諧近似下格波是平面波（簡(jiǎn)諧波），這些簡(jiǎn)諧波的存在是相互獨(dú)立的。一個(gè)簡(jiǎn)諧波表示晶體中所有原子一起參與的共同振動(dòng)。,波矢q并不是任意的。在周期性邊界條件的限制下，波矢只能取一系列分立的值。獨(dú)立的波矢q位于第一布里淵區(qū)，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)。,根據(jù)色散關(guān)系在長(zhǎng)波時(shí)的特征，3r支格波分成3支光學(xué)波，3r-3支聲學(xué)波，光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率各有一定的范圍,長(zhǎng)聲學(xué)波長(zhǎng)描述了不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而長(zhǎng)光學(xué)波描述了原胞內(nèi)不同原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),頻率和波矢之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系。格波的色散關(guān)系在波矢空間具有倒格子的周期性和反演對(duì)稱性,4.4晶格振動(dòng)的量子化、聲子,以一維單原子鏈為例,一維單原子鏈的哈密頓量為：,哈密頓量有交叉項(xiàng)，即用原子的位移坐標(biāo)描寫時(shí)，位移之間是相互耦合的，不便于量子力學(xué)處理。,有沒有更好的辦法來描寫這種振動(dòng)？,采用簡(jiǎn)正坐標(biāo)來描寫原子的振動(dòng)：尋求一適當(dāng)?shù)恼蛔儞Q，將原子坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為一組新的坐標(biāo)，使哈密頓量無交叉項(xiàng)。,波矢為q的格波t時(shí)刻在第n個(gè)原子處產(chǎn)生的位移量：,所有格波在第n個(gè)原子處產(chǎn)生的總位移量：,把上式變換為如下形式,就是簡(jiǎn)正坐標(biāo)！,可以證明，經(jīng)過上式變換后，哈密頓量為：,式中,所以,可以證明，動(dòng)量,因此體系的哈密頓量可表示為,為一個(gè)諧振子的能量！,H包含N項(xiàng)，所以共有N個(gè)獨(dú)立諧振子。,要過渡到量子力學(xué)，還必須知道動(dòng)量的表示,結(jié)論：N個(gè)原子組成的一維單原子鏈原子的微振動(dòng)可以看成N個(gè)獨(dú)立的以簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述的諧振子的運(yùn)動(dòng),此結(jié)論可以推廣到三維！,把Qq和Pq看成量子力學(xué)的共扼算符，并令,對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)，有：,其為一個(gè)量子諧振子的薛定諤方程,注意：量子諧振子的頻率就是經(jīng)典簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率！,頻率為的一個(gè)量子簡(jiǎn)諧振子，它的能量是量子化的，只能是：,諧振子的能量是量子化的，當(dāng)晶格體系的能量變化時(shí)，對(duì)應(yīng)于任一個(gè)頻率的諧振子，能量的改變都是的整數(shù)倍，即能量的激發(fā)單元為,聲子：晶格振動(dòng)的能量量子，是原子振動(dòng)的粒子形式（運(yùn)動(dòng)的粒子表述）,頻率為、波矢為q的格波,頻率為的量子諧振子,能量為、準(zhǔn)動(dòng)量為的一種聲子,可以把晶格微振動(dòng)表述為具有能級(jí)的聲子組成的體系。,頻率為的量子簡(jiǎn)諧振子，其平均能量：,波色愛因斯坦統(tǒng)計(jì),式中,波色愛因斯坦統(tǒng)計(jì),聲子的激發(fā)依賴于溫度，對(duì)于給定的溫度T，被激發(fā)的主要是那些能量的聲子,熱平衡時(shí)聲子占據(jù)能級(jí)的幾率：,聲子的特征,晶格振動(dòng)的能量量子，是一種準(zhǔn)粒子。,能量，動(dòng)量，質(zhì)量沒有定義。,是波色子，每個(gè)能態(tài)上容納的聲子的數(shù)目沒有限制，晶體內(nèi)可以有任意數(shù)目相同能量的聲子，聲子的數(shù)目不守恒。,T=0K時(shí)任何一種聲子的數(shù)目為零。對(duì)于給定的溫度T，一種聲子的平均數(shù)目服從波色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)。,在處理其它形態(tài)粒子和格波的相互作用時(shí)，可以把作用過程理解為與聲子的相互碰撞過程。例如，電子與晶格振動(dòng)的相互作用，就可以看成電子與聲子的相互作用。作用時(shí)，它們以h為單元交換能量。若電子從晶格獲得能量h，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格能量h，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。,晶格振動(dòng)的總能量等于3rN個(gè)獨(dú)立的量子簡(jiǎn)諧振子的能量之和,格波對(duì)中子、X射線、光子的散射，可以表述為吸收或發(fā)射聲子的過程。散射過程要滿足能量守恒和動(dòng)量守恒：,為了測(cè)量晶格的色散關(guān)系，入射粒子的能量和動(dòng)量應(yīng)和聲子相近，這樣吸收或放出一個(gè)聲子，入射粒子能量和動(dòng)量才有較大的改變，從而便于測(cè)量。,4.5確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法,固體熱容的定義：一種物質(zhì)溫度每升高（或降低）一度所需要（或放出）的能量，稱為該物質(zhì)的比熱（熱容）在熱力學(xué)中，固體的定容比熱定義為：,固體的平均內(nèi)能固體的體積,固體熱容的來源原子熱振動(dòng)，稱為晶格熱容電子熱運(yùn)動(dòng)，稱為電子熱容,本節(jié)研究的對(duì)象,4.6晶格比熱（熱容）,高溫區(qū)：?jiǎn)卧泳w比熱是一個(gè)與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)，稱為杜隆珀替定律（1818年）,晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,鋁,銅,低溫區(qū)：晶體熱容不再是常數(shù)，而是隨溫度下降很快趨于零。例如實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)絕緣體晶格的比熱在低溫區(qū)依T3規(guī)律變化。,是一個(gè)常數(shù)！與杜隆珀替定律符合。,經(jīng)典理論對(duì)晶格熱容的解釋及其困難,經(jīng)典理論：N個(gè)原子的微振動(dòng)可以由3N個(gè)的獨(dú)立的諧振子描述，諧振子每一個(gè)自由度分配到的平均能量為，晶體總平均熱能為，其摩爾熱容為：,但經(jīng)典物理無法解釋在低溫區(qū)晶格熱容與溫度有關(guān)，且在低溫下趨于零這一事實(shí)。,N個(gè)原子的微振動(dòng)可以由3N個(gè)量子諧振子描述，晶格的總能量是3N個(gè)量子諧振子能量的總和：,晶格熱容的量子理論,晶格比熱,關(guān)鍵在于求出晶格振動(dòng)的模式密度！,愛因斯坦模型（1907年）,所有原子都以相同的頻率振動(dòng)，格波頻譜密度為：,與經(jīng)典的杜隆珀替定律一致,熱容隨溫度指數(shù)下降,愛因斯坦模型與實(shí)驗(yàn)比較,定性上是完全正確的：在高溫區(qū)符合杜隆珀替定律，低溫區(qū)比熱趨于零。定量上偏差是因?yàn)檫^于簡(jiǎn)化的聲子頻譜假設(shè)造成的。,基本假設(shè)1：忽略光學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)，將聲學(xué)波作為彈性波來處理，假設(shè)聲學(xué)波的色散關(guān)系為基本假設(shè)2：對(duì)比熱有貢獻(xiàn)的聲子有一個(gè)截止頻率，稱為德拜頻率，德拜頻率由總自由度數(shù)確定：,德拜（Debye）模型（1912年）,德拜模型的頻率分布函數(shù),一支格波,根據(jù)德拜德假設(shè)，,共有三支聲學(xué)波，假設(shè)它們的速度相同，有：,根據(jù)德拜模型的假設(shè)3，可以得到德拜截止頻率：,德拜模型中的晶格比熱,晶體的摩爾熱容量為,在德拜模型中，晶體比熱特征完全由其德拜溫度確定,德拜溫度定義,用德拜頻率表示頻率分布函數(shù),德拜模型的高、低溫極限,HighT,高溫時(shí)，比熱趨于經(jīng)典極限,LowT,極低溫下晶格比熱正比于T3,稱為德拜T3定律,德拜模型與實(shí)驗(yàn)比較,如何確定德拜溫度？,德拜溫度：量子與經(jīng)典的分界線,求出晶體的彈性速度，再按照德拜頻率的定義計(jì)算德拜溫度；,用理論計(jì)算結(jié)果擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，使理論的比熱和實(shí)驗(yàn)值盡可能符合的好，以得到德拜溫度。,晶格的簡(jiǎn)諧振動(dòng)不能解釋晶體熱膨脹、熱傳導(dǎo)等現(xiàn)象,4.6晶格振動(dòng)的非諧效應(yīng),（但在簡(jiǎn)諧近似下，聲子之間沒有相互作用，不交換能量）,熱膨脹是在沒有壓力的情況下，晶體體積隨溫度的變化。,熱傳導(dǎo)是指當(dāng)晶體中溫度分布不均勻時(shí)，就會(huì)有熱能從高溫處向低溫處流動(dòng)。,（但在簡(jiǎn)諧近似下，原子振動(dòng)的平衡位置沒有變化，即原子間的距離與溫度無關(guān)）,熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象與晶格振動(dòng)的非諧效應(yīng)有關(guān),原子間的相互作用勢(shì)能的高次項(xiàng)（指三次及更高階項(xiàng)）叫非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。,若相互作用勢(shì)中的高次項(xiàng)很小，可以將其看成量子力學(xué)的微擾。微擾導(dǎo)致聲子間發(fā)生相互作用（聲子之間相互碰撞）,可以用聲子之間相互碰撞來處理非諧效應(yīng),聲子通過碰撞交換能量，并使其分布達(dá)到熱平衡,聲子間的碰撞,勢(shì)能的3次項(xiàng)對(duì)應(yīng)三聲子過程：,1個(gè)聲子分裂成2個(gè)聲子,2個(gè)聲子合成為1個(gè)聲子,兩個(gè)聲子碰撞后（湮滅）產(chǎn)生另一個(gè)聲子,一個(gè)聲子（湮滅）分裂成兩個(gè)聲子,以兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子的三聲子過程為例：,其中,為倒格子矢量,都在第一布里淵區(qū)內(nèi),聲子間的碰撞必須滿足能量守恒和動(dòng)量守恒,正常過程或N過程，在此過程中聲子的總動(dòng)量沒有變化，只是改變了動(dòng)量的分布,布里淵區(qū),N過程,翻轉(zhuǎn)過程或U過程，在翻轉(zhuǎn)過程中聲子動(dòng)量有很大的變化,U過程,晶體熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的晶格振動(dòng)理論解釋,熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象與晶格振動(dòng)的非諧效應(yīng)有關(guān),當(dāng)考慮到晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)后，原子的平衡間距將隨著溫度的升高而增大，導(dǎo)致晶體體積的熱脹冷縮。,熱傳導(dǎo)可以用聲子從高溫區(qū)向低溫區(qū)的擴(kuò)散來描述。在高溫區(qū)，聲子密度大、能量高。在低溫區(qū)，聲子密度小、能量低。當(dāng)聲子從高溫區(qū)向低溫區(qū)擴(kuò)散中，把熱能量傳遞到低溫區(qū)，形成熱傳導(dǎo)。對(duì)熱傳導(dǎo)起主要作用的是U過程。,主要內(nèi)容：晶體中原子的運(yùn)動(dòng),基本假設(shè)？,得到的結(jié)果？,色散關(guān)系聲子,愛因斯坦模型德拜模型,運(yùn)動(dòng)圖像？,原子在平衡位置（格點(diǎn)）做微振動(dòng),數(shù)學(xué)處理（一維雙原子鏈）,簡(jiǎn)諧近似,原子微振動(dòng)被描述為一系列線性獨(dú)立的諧振子,基本公式,頻譜密度,總結(jié),