《晶格振動》PPT課件

晶格振動：晶體中的原子在格點附近作熱振動,第四章晶格振動和晶體熱學(xué)性質(zhì),如何處理晶體中原子的振動？,晶格動力學(xué)（經(jīng)典理論）：原子的振動以波的形式（稱為格波）在晶體中傳播,有多少個基本的振動頻率（模式數(shù)量）、波動的頻率和波數(shù)的關(guān)系（色散關(guān)系）,晶格振動的量子理論：原子振動的粒子形式（聲子）,應(yīng)用：晶體的熱容量,4.1一維單原子鏈的振動,原子鏈共有N個原胞，每個原胞只有一個原子,每個原子具有相同的質(zhì)量m,平衡時原子間距等于晶格常數(shù)a,原子沿鏈方向運動,第n個原子離開平衡位置的位移用un表示,第n個原子和第n+1個原子間的相對位移為,原子振動時，相鄰兩個原子之間的間距,一維單原子鏈,平衡時原子位于Bravais格點上,1、基本假設(shè),原子圍繞平衡位置作微振動,簡諧近似：原子間的相互作用勢能只考慮到平方項,此時，兩原子間的相互作用勢能可表示為：,稱為原子間恢復(fù)力常數(shù),彈性力,在簡諧近似下相鄰兩個原子間的作用力：,第n個原子受到的作用力為：,一維原子鏈的振動模型：被一個個彈簧連接起來的一串質(zhì)量為m的球,2、一維單原子鏈的運動方程,只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力：,第n個原子的運動方程為,對于N個原子有N個完全類似的運動方程,運動方程為二階常微分方程,3、運動方程的解,設(shè)方程的特解為：,q：波矢,大小等于，方向為波傳播的方向qna：第n個原子相對于參考點的位相差qa：相鄰原子的位相差,t時刻原點處原子相對于平衡點的偏移,特解具有波動形式（用波矢為q、頻率為的簡諧波來描述原子離開平衡位置的振動）,為了確定色散關(guān)系，把試探解帶入運動方程得：,振動頻率與n無關(guān)，色散關(guān)系對所有原子都相同,4、一維單原子鏈的色散關(guān)系,和q之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系,原子的振動以波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。一個格波表示晶體中所有原子一起參與的共同振動。在簡諧近似下，格波為平面波。,5、波矢q的取值范圍,波矢q和,描述同樣的振動狀態(tài)：,為了保證xn的單值性，把q限制在,格波q的不唯一性的圖示,6、周期性邊界條件,波恩卡門邊界條件：將許多完全相同的原子鏈?zhǔn)孜策B接成無窮長鏈，從而第N+1個原子就是第1個原子，第N2個原子就是第2個原子,獨立波矢的取值范圍在第一布里淵區(qū),相差一個或幾個倒格矢的波矢描述同樣的振動狀態(tài),一個布里淵區(qū)包含的波矢數(shù)目,即對于一維單原子鏈，晶格振動波矢的數(shù)目等于晶體的原胞數(shù),在FBZ，q取分立值，相鄰兩個波矢的間隔,是q的周期函數(shù)：,時，,（具有該特點的格波稱為聲學(xué)波）,7、一維單原子鏈色散關(guān)系的特點,波速（相速度）,群速,8、格波的波速和群速,布里淵區(qū)的中心附近，,波速,為常數(shù)，此時格波為彈性波,在布里淵區(qū)的邊界上，一維單原子鏈格波的群速度為零：,根據(jù)彈性波的理論,波是一個駐波。,一個格波表示整個晶體所有原子都參與的振動，體系所有原子一起參與的共同振動，稱為一個振動模。,波矢為q的格波t時刻在第n個原子處產(chǎn)生的位移量：,所有格波在第n個原子處產(chǎn)生的總位移量：,4.2一維雙原子鏈的振動,晶格常數(shù)a，共有N個原胞，每個原胞有兩個原子，質(zhì)量分別為M1、M2，交替放置形成一維周期結(jié)構(gòu)。鏈上的原子由其所屬的原胞數(shù)n及在基元中的序號p1，2來標(biāo)記。,一維雙原子鏈的結(jié)構(gòu),如圖所示，設(shè)A、B兩種原子組成一無限的一維周期晶體，畫出其晶格的原胞。,基元,仍然采用簡諧近似和最近鄰近似，原子的運動方程為：,設(shè)方程組有如下的格波解：,共有2N個,不同類原子的振幅不同，但以相同的頻率振動,1、運動方程和格波解,把試探解帶入運動方程，有：,A、B有非零解的條件是上面方程組的系數(shù)行列式等于零：,每個波矢對應(yīng)兩個不同的頻率，當(dāng)q變化時，給出兩條色散關(guān)系，稱為兩支，頻率低的一支（取負(fù)號）稱為稱為聲學(xué)波，頻率高的一支（取正號）稱為光學(xué)波。,2、色散關(guān)系,光學(xué)波,聲學(xué)波,3、一維雙原子鏈色散關(guān)系的特征,色散關(guān)系是倒格矢量的周期函數(shù)：,色散關(guān)系分成兩支：一支是聲學(xué)波，一支是光學(xué)波，光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率各有一定的范圍。,在聲學(xué)波最小最高頻率和光學(xué)波的最小頻率之間有一頻率間隙,當(dāng)q0時，聲學(xué)支的色散關(guān)系是線性的,光學(xué)支的頻率近似為常數(shù),4、聲學(xué)波和光學(xué)波振動的特點,相鄰原子振幅之比,聲學(xué)支,光學(xué)支,聲學(xué)支中，相鄰原子的振動方向相同,光學(xué)支中，相鄰原子的振動方向相反,長波時，,長聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動,長波時，,長光學(xué)波描述原胞內(nèi)原子之間的相對運動,雙原子鏈在長波極限(q0)的振動圖像,光學(xué)波,在布里淵區(qū)邊界,聲學(xué)波：,光學(xué)波：,5、振動模式數(shù)（頻率數(shù)）,波矢限定在第一布里淵區(qū)中,周期性邊界條件下,一維雙原子鏈：,晶格振動的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù),一個波矢對應(yīng)2個不同的頻率，共有2N個振動頻率，這2N個振動頻率分為2支。,一個原胞中有r個原子，原胞數(shù)目,4.3三維晶格的振動,第L個原胞中第S個原子離開平衡點的位移在坐標(biāo)軸方向的分量,原子的質(zhì)量：,第L個原胞中第s個原子運動方程為：,共有3rN,設(shè)方程的一個特解為,把試探解代入運動方程，得到以振幅Asa滿足的3r個線性齊次聯(lián)立方程：,它有解的條件是系數(shù)行列式等于0。由此可以得到一個2的3r次方程式，從而給出3r個解：,對于一個波矢q,有3r個（即有3r支色散曲線）,在3r支色散關(guān)系中，當(dāng)q0時（長波）：,有三支0，且各原子的振幅趨于相同，這三支為聲學(xué)波。長聲學(xué)波描述了原胞質(zhì)心的振動。,其余(3r-3)支有有限的振動頻率，為光學(xué)波。長光學(xué)波描述原胞內(nèi)原子之間的相對運動。,q的值由周期性邊界條件確定：,波矢的取值和波矢空間,把波矢q表示為倒格子空間中的一個矢量：,根據(jù)倒格基矢與正格基矢的關(guān)系可得,倒格子空間也稱為波矢空間,在波矢空間中，許可的q值是一些分立的點，這些點在波矢空間是均勻分布的。,每個點在波矢空間占據(jù)的體積為：,相差一個或幾個倒格矢量的波矢描述同樣的振動狀態(tài),波矢空間中即q的密度為：,獨立的波矢位于第一布里淵區(qū),一個布里淵區(qū)可能有的q數(shù)目,晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù),（自由度數(shù)原子的個數(shù)坐標(biāo)的維數(shù)）,晶格振動頻率的數(shù)目=晶體內(nèi)原子的自由度數(shù),一個波矢對應(yīng)的頻率的數(shù)目=一個原胞內(nèi)原子的自由度數(shù),硅的色散關(guān)系,L：縱波，T：橫波；A：聲學(xué)波，O：光學(xué)波,橫波的色散關(guān)系總是簡并的,格波頻譜密度（頻率分布函數(shù)）,格波頻譜密度定義為單位頻率間隔內(nèi)振動的頻率數(shù),頻率數(shù)目為,波的群速度,3r支格波:,所以,因為,例題：一維單原子鏈的頻率分布函數(shù),q空間中q點的密度：,的波矢數(shù)目為,對應(yīng)的頻率數(shù)目為,晶體中原子在格點的微振動，可以用波矢為q、頻率為的格波來描述。,總結(jié),在簡諧近似下格波是平面波（簡諧波），這些簡諧波的存在是相互獨立的。一個簡諧波表示晶體中所有原子一起參與的共同振動。,波矢q并不是任意的。在周期性邊界條件的限制下，波矢只能取一系列分立的值。獨立的波矢q位于第一布里淵區(qū)，晶格振動波矢的數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)。,根據(jù)色散關(guān)系在長波時的特征，3r支格波分成3支光學(xué)波，3r-3支聲學(xué)波，光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率各有一定的范圍,長聲學(xué)波長描述了不同原胞之間的相對運動，而長光學(xué)波描述了原胞內(nèi)不同原子之間的相對運動,頻率和波矢之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系。格波的色散關(guān)系在波矢空間具有倒格子的周期性和反演對稱性,4.4晶格振動的量子化、聲子,以一維單原子鏈為例,一維單原子鏈的哈密頓量為：,哈密頓量有交叉項，即用原子的位移坐標(biāo)描寫時，位移之間是相互耦合的，不便于量子力學(xué)處理。,有沒有更好的辦法來描寫這種振動？,采用簡正坐標(biāo)來描寫原子的振動：尋求一適當(dāng)?shù)恼蛔儞Q，將原子坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為一組新的坐標(biāo)，使哈密頓量無交叉項。,波矢為q的格波t時刻在第n個原子處產(chǎn)生的位移量：,所有格波在第n個原子處產(chǎn)生的總位移量：,把上式變換為如下形式,就是簡正坐標(biāo)！,可以證明，經(jīng)過上式變換后，哈密頓量為：,式中,所以,可以證明，動量,因此體系的哈密頓量可表示為,為一個諧振子的能量！,H包含N項，所以共有N個獨立諧振子。,要過渡到量子力學(xué)，還必須知道動量的表示,結(jié)論：N個原子組成的一維單原子鏈原子的微振動可以看成N個獨立的以簡正坐標(biāo)描述的諧振子的運動,此結(jié)論可以推廣到三維！,把Qq和Pq看成量子力學(xué)的共扼算符，并令,對于一個簡正坐標(biāo)，有：,其為一個量子諧振子的薛定諤方程,注意：量子諧振子的頻率就是經(jīng)典簡諧振動的頻率！,頻率為的一個量子簡諧振子，它的能量是量子化的，只能是：,諧振子的能量是量子化的，當(dāng)晶格體系的能量變化時，對應(yīng)于任一個頻率的諧振子，能量的改變都是的整數(shù)倍，即能量的激發(fā)單元為,聲子：晶格振動的能量量子，是原子振動的粒子形式（運動的粒子表述）,頻率為、波矢為q的格波,頻率為的量子諧振子,能量為、準(zhǔn)動量為的一種聲子,可以把晶格微振動表述為具有能級的聲子組成的體系。,頻率為的量子簡諧振子，其平均能量：,波色愛因斯坦統(tǒng)計,式中,波色愛因斯坦統(tǒng)計,聲子的激發(fā)依賴于溫度，對于給定的溫度T，被激發(fā)的主要是那些能量的聲子,熱平衡時聲子占據(jù)能級的幾率：,聲子的特征,晶格振動的能量量子，是一種準(zhǔn)粒子。,能量，動量，質(zhì)量沒有定義。,是波色子，每個能態(tài)上容納的聲子的數(shù)目沒有限制，晶體內(nèi)可以有任意數(shù)目相同能量的聲子，聲子的數(shù)目不守恒。,T=0K時任何一種聲子的數(shù)目為零。對于給定的溫度T，一種聲子的平均數(shù)目服從波色愛因斯坦統(tǒng)計。,在處理其它形態(tài)粒子和格波的相互作用時，可以把作用過程理解為與聲子的相互碰撞過程。例如，電子與晶格振動的相互作用，就可以看成電子與聲子的相互作用。作用時，它們以h為單元交換能量。若電子從晶格獲得能量h，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格能量h，稱為發(fā)射一個聲子。,晶格振動的總能量等于3rN個獨立的量子簡諧振子的能量之和,格波對中子、X射線、光子的散射，可以表述為吸收或發(fā)射聲子的過程。散射過程要滿足能量守恒和動量守恒：,為了測量晶格的色散關(guān)系，入射粒子的能量和動量應(yīng)和聲子相近，這樣吸收或放出一個聲子，入射粒子能量和動量才有較大的改變，從而便于測量。,4.5確定晶格振動譜的實驗方法,固體熱容的定義：一種物質(zhì)溫度每升高（或降低）一度所需要（或放出）的能量，稱為該物質(zhì)的比熱（熱容）在熱力學(xué)中，固體的定容比熱定義為：,固體的平均內(nèi)能固體的體積,固體熱容的來源原子熱振動，稱為晶格熱容電子熱運動，稱為電子熱容,本節(jié)研究的對象,4.6晶格比熱（熱容）,高溫區(qū)：單原子晶體比熱是一個與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)，稱為杜隆珀替定律（1818年）,晶格熱容的實驗結(jié)果,鋁,銅,低溫區(qū)：晶體熱容不再是常數(shù)，而是隨溫度下降很快趨于零。例如實驗發(fā)現(xiàn)絕緣體晶格的比熱在低溫區(qū)依T3規(guī)律變化。,是一個常數(shù)！與杜隆珀替定律符合。,經(jīng)典理論對晶格熱容的解釋及其困難,經(jīng)典理論：N個原子的微振動可以由3N個的獨立的諧振子描述，諧振子每一個自由度分配到的平均能量為，晶體總平均熱能為，其摩爾熱容為：,但經(jīng)典物理無法解釋在低溫區(qū)晶格熱容與溫度有關(guān)，且在低溫下趨于零這一事實。,N個原子的微振動可以由3N個量子諧振子描述，晶格的總能量是3N個量子諧振子能量的總和：,晶格熱容的量子理論,晶格比熱,關(guān)鍵在于求出晶格振動的模式密度！,愛因斯坦模型（1907年）,所有原子都以相同的頻率振動，格波頻譜密度為：,與經(jīng)典的杜隆珀替定律一致,熱容隨溫度指數(shù)下降,愛因斯坦模型與實驗比較,定性上是完全正確的：在高溫區(qū)符合杜隆珀替定律，低溫區(qū)比熱趨于零。定量上偏差是因為過于簡化的聲子頻譜假設(shè)造成的。,基本假設(shè)1：忽略光學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)，將聲學(xué)波作為彈性波來處理，假設(shè)聲學(xué)波的色散關(guān)系為基本假設(shè)2：對比熱有貢獻(xiàn)的聲子有一個截止頻率，稱為德拜頻率，德拜頻率由總自由度數(shù)確定：,德拜（Debye）模型（1912年）,德拜模型的頻率分布函數(shù),一支格波,根據(jù)德拜德假設(shè)，,共有三支聲學(xué)波，假設(shè)它們的速度相同，有：,根據(jù)德拜模型的假設(shè)3，可以得到德拜截止頻率：,德拜模型中的晶格比熱,晶體的摩爾熱容量為,在德拜模型中，晶體比熱特征完全由其德拜溫度確定,德拜溫度定義,用德拜頻率表示頻率分布函數(shù),德拜模型的高、低溫極限,HighT,高溫時，比熱趨于經(jīng)典極限,LowT,極低溫下晶格比熱正比于T3,稱為德拜T3定律,德拜模型與實驗比較,如何確定德拜溫度？,德拜溫度：量子與經(jīng)典的分界線,求出晶體的彈性速度，再按照德拜頻率的定義計算德拜溫度；,用理論計算結(jié)果擬合實驗結(jié)果，使理論的比熱和實驗值盡可能符合的好，以得到德拜溫度。,晶格的簡諧振動不能解釋晶體熱膨脹、熱傳導(dǎo)等現(xiàn)象,4.6晶格振動的非諧效應(yīng),（但在簡諧近似下，聲子之間沒有相互作用，不交換能量）,熱膨脹是在沒有壓力的情況下，晶體體積隨溫度的變化。,熱傳導(dǎo)是指當(dāng)晶體中溫度分布不均勻時，就會有熱能從高溫處向低溫處流動。,（但在簡諧近似下，原子振動的平衡位置沒有變化，即原子間的距離與溫度無關(guān)）,熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象與晶格振動的非諧效應(yīng)有關(guān),原子間的相互作用勢能的高次項（指三次及更高階項）叫非簡諧效應(yīng)。,若相互作用勢中的高次項很小，可以將其看成量子力學(xué)的微擾。微擾導(dǎo)致聲子間發(fā)生相互作用（聲子之間相互碰撞）,可以用聲子之間相互碰撞來處理非諧效應(yīng),聲子通過碰撞交換能量，并使其分布達(dá)到熱平衡,聲子間的碰撞,勢能的3次項對應(yīng)三聲子過程：,1個聲子分裂成2個聲子,2個聲子合成為1個聲子,兩個聲子碰撞后（湮滅）產(chǎn)生另一個聲子,一個聲子（湮滅）分裂成兩個聲子,以兩個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子的三聲子過程為例：,其中,為倒格子矢量,都在第一布里淵區(qū)內(nèi),聲子間的碰撞必須滿足能量守恒和動量守恒,正常過程或N過程，在此過程中聲子的總動量沒有變化，只是改變了動量的分布,布里淵區(qū),N過程,翻轉(zhuǎn)過程或U過程，在翻轉(zhuǎn)過程中聲子動量有很大的變化,U過程,晶體熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的晶格振動理論解釋,熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象與晶格振動的非諧效應(yīng)有關(guān),當(dāng)考慮到晶格振動的非簡諧效應(yīng)后，原子的平衡間距將隨著溫度的升高而增大，導(dǎo)致晶體體積的熱脹冷縮。,熱傳導(dǎo)可以用聲子從高溫區(qū)向低溫區(qū)的擴散來描述。在高溫區(qū)，聲子密度大、能量高。在低溫區(qū)，聲子密度小、能量低。當(dāng)聲子從高溫區(qū)向低溫區(qū)擴散中，把熱能量傳遞到低溫區(qū)，形成熱傳導(dǎo)。對熱傳導(dǎo)起主要作用的是U過程。,主要內(nèi)容：晶體中原子的運動,基本假設(shè)？,得到的結(jié)果？,色散關(guān)系聲子,愛因斯坦模型德拜模型,運動圖像？,原子在平衡位置（格點）做微振動,數(shù)學(xué)處理（一維雙原子鏈）,簡諧近似,原子微振動被描述為一系列線性獨立的諧振子,基本公式,頻譜密度,總結(jié),