超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別

在蘇教版數(shù)學(xué)選修2-3的課本中，第二章概率的2.2節(jié)和2.4節(jié)分別介紹了兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布，超幾何分布(hyper-geometric distribution)與二項分布（binomial distribution）。通過實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識模型所刻畫的隨機(jī)變量的共同特點(diǎn)，從而建立新的模型， 并能運(yùn)用兩模型解決一些實(shí)際問題。 然而在教學(xué)過程中，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確地辨別所要解決的問題是屬于超幾何分布還是二項分布， 學(xué)生對這兩模型的定義不能很好的理解， 一遇到含“取”或“摸”的題型， 就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析， 隨便濫用公式。 事實(shí)上， 超幾何分布和二項分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別。課本對于超幾何分布的定義是這樣的：一般的，若一個隨機(jī)變量X的分布列為，其中，則稱X服從超幾何分布，記為。其概率分布表為： 對于二項分布的定義是這樣的：若隨機(jī)變量X的分布列為，其中則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為。其概率分布表為： 超幾何分布與二項分布都是取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)，如：隨機(jī)變量X的取值都從0連續(xù)變化到l，對應(yīng)概率和N，n，l三個值密切相關(guān)可見兩種分布之間有著密切的聯(lián)系。課本中對超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，無返回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超幾何分布的。而對二項分布則使用比較容易理解的射擊問題來建立模型。若將但超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有返回的任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從二項分布的。在這里，兩種分布的差別就在于“有”與“無”的差別，只要將概率模型中的“無”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化?！胺祷亍焙汀安环祷亍本褪莾煞N分布轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。如在2.2節(jié)有這樣一個例題：高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球、20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，摸到4個紅球1個白球就是一等獎，求獲一等獎的概率。本題采用的解法是摸出球中的紅球個數(shù)X服從超幾何分布，但是如果將“一次從中摸出5個球”改為“摸出一球記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù)5次”，則摸出球中的紅球個數(shù)X將不再服從超幾何分布，而是服從二項分布。我們分別來計算兩種分布所對應(yīng)的概率：這時發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩種不同的分布其對應(yīng)的概率之間的差距進(jìn)一步縮小了，我們做出這樣的猜想：樣本個數(shù)越大超幾何分布和二項分布的對應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個數(shù)為無窮大時，超幾何分布和二項分布的對應(yīng)概率就相等，換而言之超幾何分布的極限就是二項分布！也就是說。下面我們對以上猜想作出證明：產(chǎn)品個數(shù)N無限大，設(shè)廢品率為p，則 ，以上的證明與我們的直觀思想相吻合：在廢品為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取n個（由于產(chǎn)品個數(shù)N無限多，無返回與有返回?zé)o區(qū)別，故可看作n次獨(dú)立試驗(yàn)）中含有k個廢品的概率當(dāng)然服從二項分布。在這里，超幾何分布轉(zhuǎn)化為二項分布的條件是（1）產(chǎn)品個數(shù)應(yīng)無限多，否則無返回地抽取n件產(chǎn)品是不能看作n次獨(dú)立試驗(yàn)的.(2）在產(chǎn)品個數(shù)N無限增加的過程中，廢品數(shù)應(yīng)按相應(yīng)的“比例”增大，否則上述事實(shí)也是不成立的。對于超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，二項分布的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)我們將“不返回”改為“返回”時，兩種分布的數(shù)學(xué)期望相等，方差之間沒有相等關(guān)系。超幾何分布和二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差是否也具有我們以上猜想并證明的極限關(guān)系呢？事實(shí)上超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，方差當(dāng)這兩個極限值分別是二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差。需要指明的是這一性質(zhì)并非只為超幾何分布與二項分布之間所具有，一般地，如果隨機(jī)變量依分布收斂于隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的極限。這樣超幾何分布與二項分布達(dá)到了統(tǒng)一。一般說來，有返回抽樣與無返回抽樣計算的概率是不同的，特別在抽取對象數(shù)目不大時更是如此。但當(dāng)被抽取的對象數(shù)目較大時，有返回抽樣與無返回抽樣所計算的概率相差不大，人們在實(shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量較大時的無返回抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈；產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)等），當(dāng)作有返回來處理。那么，除了在有無“返回”上做文章，有沒有什么辦法快速實(shí)現(xiàn)超幾何分布向二項分布的轉(zhuǎn)化呢？設(shè)想N件產(chǎn)品裝在一個大袋中，其中M件為廢品，無返回地從中抽取n件，那么其中廢品件數(shù) X服從超幾何分布?，F(xiàn)若在大袋中再放進(jìn)兩個小袋，一袋裝正品，一袋裝廢品，然后從大袋中任摸一個小袋，無返回地從中任取一件產(chǎn)品，則這樣任取n件，其中廢品件數(shù)X就不再服從超幾何分布，而應(yīng)服從的二項分布了。事實(shí)上，我們把摸到正品袋中的產(chǎn)品看作“成功”，摸到廢品袋中的產(chǎn)品看作“失敗”，則“成功”與“失敗”的概率相等，皆為且每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，正是典型的伯努力試驗(yàn)概型，因此可用二項分布去刻劃其概率分布列。，從這一點(diǎn)上講，兩種分布僅“一袋之隔”。將正品和廢品隔離，則超幾何分布將成為二項分布。超幾何分布和二項分布這兩種離散型隨機(jī)