小學(xué)5年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總第5講：排列（教師版）

第5講 排列 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，其中，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1m2mn種不同的方法加法原理：一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，第k類方法中有種不同的做法，則完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取出m個(gè)（mn）元素，按照一定的順序排成一列叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列由排列的定義可以看出，兩個(gè)排列相同，不僅要求這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣如果兩個(gè)排列的元素不完全相同或者各元素的排列順序不完全一樣，則這就是兩個(gè)不同的排列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（mn）元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記作。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（mn）排成一列的問(wèn)題，可以看成是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)，排在m個(gè)不同的位置上的問(wèn)題，而排列數(shù)就是所有可能排法的個(gè)數(shù)。那么，每個(gè)排列共需要m步，二每一步又有若干種不同的方法，排列數(shù)可以這樣計(jì)算：第一步：先排第一個(gè)位置上的元素，可以從n個(gè)元素中任選一個(gè)，有n種不同的選法；第二步：排第二個(gè)位置上的元素這時(shí)，由于第一個(gè)位置已用去了一個(gè)元素，只剩下（n-1）個(gè)不同的元素可供選擇，共有（n-1）種不同的選法；第三步：排第三個(gè)位置上的元素，有（n-2）種不同的選法；第m步：排第m個(gè)位置上的元素由于前面已經(jīng)排了（m-1）個(gè)位置，用去了（m-1）個(gè)元素這樣，第m個(gè)位置上只能從剩下的n-（m-1）=（n-m+1）個(gè)元素中選擇，有（n-m+1）種不同的選法由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）（n-m+1）種不同的排法，即：這里，mn；且等號(hào)右邊從n開始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1，共有m個(gè)因數(shù)相乘一般地，對(duì)于m=n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)楸硎緩膎個(gè)不同元素中取n個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)這種n個(gè)排列全部取出的排列，叫做n個(gè)不同元素的全排列 教學(xué)重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的思維的有序性、全面性 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)需要引導(dǎo)總結(jié)計(jì)算規(guī)律 例1 某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析 某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副食后買主食）其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法故可以由乘法原理解決解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有35=15種不同的方法補(bǔ)充說(shuō)明：由例題可以看出，乘法原理運(yùn)用的范圍是：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來(lái)完成；每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來(lái)完成這樣的問(wèn)題就可以使用乘法原理解決問(wèn)題例2 由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問(wèn)：可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析 在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)該一位一位地去確定所以，每個(gè)問(wèn)題都可以看成是分三個(gè)步驟來(lái)完成要求組成不相等的三位數(shù)所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種不同的取法；個(gè)位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成344=48個(gè)不相等的三位數(shù)要求組成的三位數(shù)中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下0和其余兩個(gè)數(shù)字，故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有332=18個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)解：由乘法原理共可組成344=48（個(gè)）不同的三位數(shù)；共可組成3832=18（個(gè)）沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)例3 計(jì)算 分析：排列的計(jì)算解： =60 =1568例4 有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析 要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來(lái)考慮第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有33=9種不同的情形第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有33=9種不同情形最后再由加法原理即可求解解：兩個(gè)正方體向上的一面同為奇數(shù)共有33=9（種）不同的情形；兩個(gè)正方體向上的一面同為偶數(shù)共有33=9（種）不同的情形所以，兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有33+33=18（種）不同的情形例5 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？分析 這里五面不同顏色的小旗就是五個(gè)不同的元素，三面小旗表示一種信號(hào)，就是有三個(gè)位置我們的問(wèn)題就是要從五個(gè)不同的元素中取三個(gè)，排在三個(gè)位置的問(wèn)題由于信號(hào)不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問(wèn)題，且其中n=5，m=3解：由排列數(shù)公式知，共可組成種不同的信號(hào)補(bǔ)充說(shuō)明：這個(gè)問(wèn)題也可以用乘法原理來(lái)做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問(wèn)題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問(wèn)題時(shí)，可避免一步步地分析考慮，使問(wèn)題簡(jiǎn)化例6 用1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？分析 這是一個(gè)從8個(gè)元素中取5個(gè)元素的排列問(wèn)題，且知n=8，m=5解：由排列數(shù)公式，共可組成：個(gè)不同的五位數(shù)A1. 書架上有6本不同的外語(yǔ)書，4本不同的語(yǔ)文書，從中任取外語(yǔ)、語(yǔ)文書各一本，有多少種不同的取法？答案：從架上各取一本共有64=24種不同的取法 2書架上有6本不同的畫報(bào)和7本不同的書，從中最多拿兩本（不能不拿），有多少種不同的拿法？答案：從書架上最多拿兩本共有6+7+15+21+67=91（種）不同的拿法。提示：拿兩本的情況分為2本畫報(bào)或2本書或一本畫報(bào)一本書3計(jì)算 答案： =336 =403204. 幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？答案：由排列公式，共有：種不同的坐法5有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問(wèn)共可以組成多少種不同的信號(hào)？答案：6種B1. 王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、100米跑、200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問(wèn)：報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？答案：由乘法原理，報(bào)名的結(jié)果共有444=64種不同的情形2. 如下頁(yè)圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段不可重復(fù)經(jīng)過(guò)問(wèn)：這只甲蟲有多少種不同的走法？答案：從A點(diǎn)先經(jīng)過(guò)C到B點(diǎn)共有：13=3（種）不同的走法從A點(diǎn)先經(jīng)過(guò)D到B點(diǎn)共有：23=6（種）不同的走法所以，從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有：3+6=9（種）不同的走法3. 計(jì)算（1） （2）答案：（1）=708 （2）=91264. 有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？（照相時(shí)3人站成一排）答案：由排列數(shù)公式，共可能有：種不同的拍照情況。5班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長(zhǎng)，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員問(wèn)：有多少種不同的分工方式？答案：120種。C1. 右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子問(wèn)：共有多少種不同的放法？答案：由乘法原理，共有16941=576種不同的放法2在11000的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字0？答案：9+180-9+3=183（個(gè)）3 計(jì)算 答案：（1）=3320 （2）=314. 4名同學(xué)到照相館照相他們要排成一排，問(wèn)：共有多少種不同的排法？答案：由排列數(shù)公式知，共有種不同的排法5由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？個(gè)位是5的三位數(shù)？百位是1的五位數(shù)？六位數(shù)？答案：120 20 120 7201 某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走問(wèn)，罪犯共有多少種逃走的方法？答案：324=24（種）2.從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問(wèn)：從甲地到丙地共有多少種走法？ 答案：33+24=17（種）3計(jì)算 答案：1680；1564. 5個(gè)人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？答案：由排列數(shù)公式知，共有種不同的排法5某鐵路線共有14個(gè)車站，這條鐵路線共需要多少種不同的車票答案：182種 1.一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員A、B、C、D、E，由于某種原因，C不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上問(wèn)：共有多少種不同的站位方法？答案：44321=96（種）2.學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語(yǔ)書150本，不同的科技書200本，不同的小說(shuō)100本那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？答案：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法3. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同問(wèn)：從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？答案：從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球共有3+8=11（種），不同的取法從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球共有38=24（種）不同的取法4.計(jì)算 答案：12；45. 某客輪航行于天津、青島、大連三個(gè)城市之間問(wèn)：應(yīng)準(zhǔn)備有多少種不同船票？答案：6種6由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？百位為8的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位為8的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？答案：888=512（個(gè)）； 488=256（個(gè)）； 476=168（個(gè)）； 176=42（個(gè)）； 136=18（個(gè)）7某市的電話號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是09中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)那么，這個(gè)城市最多可容納多少部電話機(jī)？答案：91010101010=9