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江蘇省南通基地2020年高考數(shù)學(xué)密卷(2)理 第卷(必做題,共160分)一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分1 已知集合A=1,4,B=,則AB = 2 設(shè)復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)為 3 函數(shù)的定義域為 4 閱讀下面的偽代碼,由這個算法輸出的結(jié)果為 s0t1For I From 1 To 3 ss+IttIEnd ForrstPrint r(第4題)甲乙897901398210(第5題)5 如圖是甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中得分的莖葉圖,則成績較穩(wěn)定(方差較?。┑哪且晃煌瑢W(xué)的方差為 6 將黑白2個小球隨機(jī)放入編號為1,2,3的三個盒子中,則黑白兩球均不在1號盒子的概率為 7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象,則的值為 8 在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的一條漸近線與準(zhǔn)線的交點到另一條漸近線的距離為 9 若,則的值為 10已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的 xR都有f(x+4)= f(x)+ f(2),f(1)= 4,則f(3)+ f(10)的值為 11已知為數(shù)列an的前n項和,且,則an的首項的所有可能值為 12在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與圓交于A,B兩點,為軸上一動點,則ABP周長的最小值為 13已知函數(shù)記,若,則實數(shù)的取值范圍為 14若ABC中,AB=,BC=8,45,D為ABC所在平面內(nèi)一點且滿足 ,則AD長度的最小值為 二、解答題:本大題共6小題,共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15(本小題滿分14分)CADB(第15題)如圖,在ABC中,為所對的邊,CDAB于D,且(1)求證:; (2)若,求的值 16(本小題滿分14分)ACBD(第16題)VEF在正四棱錐中,E,F(xiàn)分別為棱VA,VC的中點(1)求證:EF平面ABCD;(2)求證:平面VBD平面BEF17(本小題滿分14分)如圖所示的某種容器的體積為90cm3,它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成,圓柱與圓錐的底面半徑都為r cm圓錐的高為h1 cm,母線與底面所成的角為;圓柱的高為h1rh2(第17題)45h2 cm已知圓柱底面的造價為2a元/cm2,圓柱側(cè)面造價為a元/cm2,圓錐側(cè)面造價為a元/cm2(1)將圓柱的高h(yuǎn)2表示為底面半徑r的函數(shù),并求出定義域;(2)當(dāng)容器造價最低時,圓柱的底面半徑r為多少?18(本小題滿分16分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:離心率為,其短軸長為2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,A為橢圓C的左頂點,P,Q為橢圓C上兩動點,直線PO交AQ于E,直線QO交AP于D,直線OP與直線OQ的斜率分別為,且,PExyOAQD(第18題),(為非零實數(shù)),求的值19(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列的前n項和為,已知,()(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)若數(shù)列滿足:, 求數(shù)列的通項公式; 是否存在正整數(shù)n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,請說明理由20(本小題滿分16分)已知函數(shù), (1)當(dāng)時, 若曲線與直線相切,求c的值;若曲線與直線有公共點,求c的取值范圍(2)當(dāng)時,不等式對于任意正實數(shù)x恒成立,當(dāng)c取得最大值時,求a,b的值2020年高考模擬試卷(2)數(shù)學(xué)(附加題)21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答A選修41:幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖,ABCD為圓內(nèi)接四邊形,延長兩組對邊分別交于點E,F(xiàn)M,N為AB,CDFADCENMB上兩點,EMEN,點F在MN的延長線上求證:BFMAFMB選修42:矩陣與變換(本小題滿分10分) 已知在二階矩陣對應(yīng)變換的作用下,四邊形變成四邊形,其中 ,(1)求矩陣;(2)求向量的坐標(biāo)C選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是4cos ,求直線l被圓C截得的弦長D選修45:不等式選講(本小題滿分10分)已知x0,y0,z0,求證:【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計20分請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答22(本小題滿分10分)某同學(xué)理科成績優(yōu)異,今年參加了數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物4門學(xué)科競賽已知該同學(xué)數(shù)學(xué)獲一等獎的概率為,物理,化學(xué),生物獲一等獎的概率都是,且四門學(xué)科是否獲一等獎相互獨立(1)求該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎的概率;(2)用隨機(jī)變量表示該同學(xué)獲得一等獎的總數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望23(本小題滿分10分)已知函數(shù),記,當(dāng)(1)求證:在上為增函數(shù);(2)對于任意,判斷在上的單調(diào)性,并證明2020年高考模擬試卷(2)參考答案 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分1 1【解析】依題意,AB =12 【解析】由于,所以的共軛復(fù)數(shù)為3 【解析】由,解得4 36【解析】,輸出的結(jié)果5 【解析】由莖葉圖可知,所以甲的方差為;同理乙的方差為,所以比較穩(wěn)定的是甲6 【解析】所有等可能的基本事件總數(shù)為種,“黑白兩球均不在1號盒子”有種,所以概率為7 【解析】,所以8 【解析】一條漸近線與右準(zhǔn)線的交點為,其到另一條漸近線的距離為9 【解析】由,得10 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中x=-2,得f(2)= f(-2)+ f(2),所以f(-2)=0,又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(2)=0,所以f(x+4)= f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(3)+ f(10)= f(-1) + f(2)= f(1)+0= 4CxyOBA(第12題)PQ11 【解析】因為,所以,所以,將以上各式相加,得,又,所以,獲解12 14【解析】設(shè)直線l與圓C的一個交點B(5,5)關(guān)于x軸的對稱點為,易知B恰為圓C的直徑,記A與x軸交于點Q,則,所以ABP的周長的最小值為,易求得結(jié)果為14.13 【解析】條件可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上存在零點,所以方程有根,所以函數(shù)的圖象有交點的橫坐標(biāo)在上,注意到函數(shù)的圖象為頂點(-a,-2a)在直線y=2x上移動的折線, 再考慮臨界位置不難求解14 【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意,CxyABD(第14題)設(shè),所以, 所以,即,令,則,所以mn=4,所以 CADB(第15題)當(dāng)且僅當(dāng)5m=n=時,AD取得最小值二、解答題:本大題共6小題,共90分15(本小題滿分14分)(1)證明:因為, 所以, 3分 由正弦定理,得, 所以 6分 (2)解:由(1)得, 8分 所以, 化簡,得 10分又,所以,所以, 12分 所以 14分16(本小題滿分14分)(1)因為E,F(xiàn)分別為棱VA,VC的中點,所以EFAC, 3分又因為, 所以EF平面ABCD 6分ACBD(第16題)VEFO(2)連結(jié),交于點,連結(jié)因為為正四棱錐, 所以 又,所以 8分又因為,EFAC, 所以EFVO,EFBD 10分 又, 所以, 12分又,所以平面VBD平面BEF 14分17(本小題滿分14分)(1)解:因為圓錐的母線與底面所成的角為,所以, 圓錐的體積為,圓柱的體積為 2分 因為,所以,所以 4分 因為,所以因此 所以,定義域為 6分 (2)圓錐的側(cè)面積,圓柱的側(cè)面積,底面積 8分 容器總造價為 10分 令,則令,得當(dāng)時,在上為單調(diào)減函數(shù);當(dāng)時,在上為單調(diào)增函數(shù)因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,有最小值,y有最小值90元 13分所以,總造價最低時,圓柱底面的半徑為3cm 14分 PExyOAQD(第18題)18(本小題滿分16分)(1)解:因為短軸長2b=2,所以b=1, 2分 又離心率,所以, 4分 所以,所以, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6分 (2)由(1),點A,設(shè),則 因為,所以, 8分 由得, 由得,所以, 11分兩邊同時乘以k1得,所以,代入橢圓的方程得, 14分同理可得,所以 16分19(本小題滿分16分)(1)解:由,得(),兩式相減,得,即() 2分因為,由,得,所以,所以對任意都成立,所以數(shù)列為等比數(shù)列,首項為1,公比為2 4分(2) 由(1)知,由,得, 6分即,即, 因為,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列 8分所以,所以 10分 設(shè),則,所以,兩式相減,得,所以 12分由,得,即顯然當(dāng)時,上式成立,設(shè)(),即因為,所以數(shù)列單調(diào)遞減,所以只有唯一解,所以存在唯一正整數(shù),使得成立 16分20(本小題滿分16分)(1)解:當(dāng)時,所以 設(shè)切點為,則 2分由得,由得代入得, 所以 4分 由題意,得方程有正實數(shù)根,即方程有正實數(shù)根, 記,令, 當(dāng)時,;當(dāng)時,; 所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù); 所以 6分 若,則,不合; 若,由知適合; 若,則,又,所以,由零點存在性定理知在上必有零點 綜上,c的取值范圍為 9分(2)由題意得,當(dāng)時,對于任意正實數(shù)x恒成立, 所以當(dāng)時,對于任意正實數(shù)x恒成立, 由(1)知, 兩邊同時乘以x得, 兩邊同時加上得, 所以(*),當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 對(*)式重復(fù)以上步驟可得, 進(jìn)而可得,所以當(dāng),時,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號所以 12分當(dāng)取最大值1時,對于任意正實數(shù)x恒成立,令上式中得, ,所以,所以對于任意正實數(shù)x恒成立,即對于任意正實數(shù)x恒成立,所以,所以函數(shù)的對稱軸,所以,即,所以, 14分又由,兩邊同乘以x2得,所以當(dāng),時,也恒成立,綜上,得, 16分?jǐn)?shù)學(xué)(附加題)21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做,則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟FADCENMBA選修41:幾何證明選講(本小題滿分10分)證明:因為EMEN,所以EMNENM, 3分因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形,所以FCNA, 6分又因為EMNAFM A,ENMBFM FCN,所以AFMBFM 10分B選修42:矩陣與變換(本小題滿分10分)(1)解:設(shè),則有, 2分 故 解得,所以 5分(2)由,知,易求, 7分由,得, 所以 10分C選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)解:直線l的參數(shù)方程 (t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是yx3, 2分圓C的極坐標(biāo)方程4cos 化為直角坐標(biāo)方程是x2y24x0 5分圓C的圓心(2,0)到直線xy30的距離為d 7分又圓C的半徑r2,所以直線l被圓C截得的弦長為2 10分D選修45:不等式選講(本小題滿分10分)證明:因為, 5分 所以, 又因為,所以 10分【必做題】第22、23題,每小題10分,共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22(本小題滿分10分)(1)解:記“該同學(xué)獲得個一等獎”為事件, 則, , 所
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