排列組合經(jīng)典

,解排列組合問題的常用策略,從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.,2.組合的定義:,從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.,3.排列數(shù)公式:,4.組合數(shù)公式:,1.排列的定義:,排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.,一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).,解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。,7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？,練習(xí)題,二.相鄰元素捆綁策略,例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.,解：,要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.,練習(xí)題,5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?,共有=4320種不同的排法.,三.不相鄰問題插空策略,例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？,解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，,元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端,某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）,30,練習(xí)題,四.定序問題倍縮空位插入策略,例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法,解:,（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有種坐法，則共有種方法,1,思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?,（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有方法,4*5*6*7,練習(xí)題,期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?,(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：,定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理,五.重排問題求冪策略,例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有種分法.,7,一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種,某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）,練習(xí)題,六.排列組合混合問題先選后排策略,例6.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.,解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有_種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_種方法.,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_,解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.,練習(xí)題,一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有_種,192,七.元素相同問題隔板策略,例7.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？,解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。,在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有_種分法。,將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為,m-1,n-1,練習(xí)題,10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)，有多少裝法？,八.平均分組問題除法策略,例8.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？,解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。,平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。,1.將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì),有多少分法？,2.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_,練習(xí)題,九.合理分類與分步策略,例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?,解：,10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。,本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果,解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。,從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_,34,練習(xí)題,十.構(gòu)造模型策略,例10.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？,解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有_種,一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決,練習(xí)題,某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？,120,小結(jié)：,解排列組合的常用策略,小結(jié)本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。,十一.實(shí)際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,23,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法,解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，,十一.實(shí)際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,23,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法,解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種,對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果,練習(xí)題,同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？,(9),2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有_種,72,我們班里有43位同學(xué),從中任抽5