必修二立體幾何復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題

一、判定兩線平行的方法1、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行4、 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行5、 在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1、 據(jù)定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、 如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè) 平面平行3、 兩面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面4、 平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、 平面外的一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則也平行于另一個(gè)平面三、判定面面平行的方法1、定義：沒(méi)有公共點(diǎn)2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行4、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行四、面面平行的性質(zhì)1、兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、兩平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個(gè)平面所截，則兩交線平行4、 垂直于兩平行平面中一個(gè)平面的直線，必垂直于另一個(gè)平面五、判定線面垂直的方法1、 定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直3、 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面4、 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面5、 如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面6、 如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么它們的交線垂直于另一個(gè)平面六、判定兩線垂直的方法1、 定義：成角2、 直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直3、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1、 定義：兩面成直二面角,則兩面垂直2、 一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1、 二面角的平面角為2、 在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面3、 相交平面同垂直于第三個(gè)平面，則交線垂直于第三個(gè)平面九、各種角的范圍 1、異面直線所成的角的取值范圍是： 2、直線與平面所成的角的取值范圍是： 3、斜線與平面所成的角的取值范圍是： 4、二面角的大小用它的平面角來(lái)度量；取值范圍是： 十、三角形的心1、 內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)2、 外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點(diǎn)3、 重心：中線的交點(diǎn)4、 垂心：高的交點(diǎn)【例題分析】例2 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN平面PAD 【分析】要證明“線面平行”，可通過(guò)“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明證明：方法一，取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，MACD，E是PD的中點(diǎn)，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四邊形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中點(diǎn)F，連接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：ac，bc，a，aa，bbg a，g babababab(2)證明線面平行：aabb，aaaaa(3)證明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求證：A1CBC1 【分析】要證明“線線垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過(guò)BC1的平面即可證明：連接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，側(cè)面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【評(píng)述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開(kāi)的如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化例4 在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求證：平面PAC平面PBC【分析】要證明“面面垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可以通過(guò)“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：ac，bc，ababab(1)證明線面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)證明面面垂直：a，a例5 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn) ()求證：直線EF平面A1ACC1；()在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG平面ABC，并給出證明證明：()連接A1C，A1E側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點(diǎn)，E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1(2)解：當(dāng)時(shí)，平面EFG平面ABC，證明如下：連接EG，F(xiàn)G側(cè)面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等邊三角形E是A1B的中點(diǎn)，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC例6 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)()求證：平面BEC1平面ACC1A1；()求證：AB1平面BEC1【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，設(shè)BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例7 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8， ()設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面PAD證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過(guò)P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故9.如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,分別是邊上的點(diǎn),是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面;(2) 證明:平面;(3) 當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積. 9. 【答案】(1)在等邊三角形中, ,在折疊后的三棱錐中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等邊三角形中,是的中點(diǎn),所以,. 在三棱錐中, ; (3)由(1)可知,結(jié)合(2)可得. 4. 如圖，四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，PAD為等腰直角三角形，APD=90，面PAD面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)（1）證明：EF面PAD；（2）證明：面PDC面PAD；（3）求四棱錐PABCD的體積 4. 如圖，連接AC，ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)，AC必經(jīng)過(guò)F 1分又E是PC的中點(diǎn)，所以，EFAP2分EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，EF面PAD（2）面PAD面ABCD，CDAD，面PAD面ABCD=AD，CD面PAD，又AP面PAD，APCD又APPD，PD和CD是相交直線，AP面PCD又AD面PAD，所以，面PDC面PAD （3）取AD中點(diǎn)為O，連接PO，因?yàn)槊鍼AD面ABCD及PAD為等腰直角三角形，所以PO面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高AD=2，PO=1，所以四棱錐PABCD的體積1. 如圖，三棱柱A