高中數(shù)學(xué)論文圓不離_三_ 方程尋根新人教B版

數(shù)學(xué)題根 (13) 圓不離“三” 方程尋根一、三點定圓的條件“兩點線，三點圓”，講的是確定一條直線只須兩點，那么確定一個圓 “只須三點”嗎?【例1】 平面上有A，B，C 三點，求作一個圓O，使O 同時經(jīng)過A，B，C 三點.【分析】 按圓的定義：到定點O的距離等于定長的點的集合. 于是產(chǎn)生了“中垂線法”找圓心.【作法】 (1)依次連接AB，BC.(2)分別作AB,BC的中垂線m和n.(3)設(shè)m和n相交于O, 則以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑的O為所求.【討論】 當(dāng)m n =O 時, 易知OA=OB=OC. O 同時過A,B,C三點. 因為中垂線m和n 分別唯一, 且m , n 的交點也唯一, 故符合條件的O有且只有一個.當(dāng)m n =，即m n 時，A，B，C 三點在同一條直線上. 此時 m 和 n 的交點O不存在，則圓心O不存在，從而符合條件的圓不存在.【結(jié)論】 平面上三點確定一個圓的充要條件是：這三點不在同一直線上. 易知，三角形有唯一的外接圓.二、圓方程的幾何式與代數(shù)式按圓的定義和距離公式，容易推得圓方程的幾何形式為(xa )2 + (yb )2 = r 2 其中的三個參數(shù)a , b , r 對應(yīng)著“確定圓的三個條件”. 圓心O (a，b) 含兩個條件，半徑r 只相當(dāng)1個條件.將圓方程的幾何式展開，得圓方程的代數(shù)式.x2 + y2+Dx +Ey+F= 0代數(shù)式中也含三個參數(shù)D，E，F(xiàn)，也對應(yīng)著“確定圓的3個條件”：x 的一次項的系數(shù)，y的一次項系數(shù)和常數(shù)項.所謂求圓的方程，就是確定參數(shù)組 a, b, r 的值或參數(shù)組D，E，F(xiàn) 的值.【例2】 已知G 經(jīng)過原點，且在x 軸正向上的截得的弦長為OA=8，在y 軸負向上截得的弦長為OB=6, 求圓的方程.【分析】 三個條件確定一個圓，本題的三個條件到齊，故圓的方程可以確定.【解1】 OA的中垂線x= 4 與OB的中垂線 y= 3相交于G（4，-3）即得圓心G.且（半徑）故所求的圓方程的幾何式為（x4）2+(y+3)2 =25【解2】 設(shè)圓方程的代數(shù)式為：x2 + y2 +Dx + Ey +F=0代入已知三點的坐標(biāo)O (0,0), A (8,0) , B (0,6) 得方程組 故所求方程的代數(shù)式為：x2 + y2 8 x + 6 y =0【點評】 本題的已知條件中，所求圓的幾何特征明顯，故設(shè)圓方程的幾何式比代數(shù)式優(yōu)越.三、大千變換 唯“三”不變求圓的方程，條件給定的方式千變?nèi)f化，但條件的個數(shù)恒定為3. 如果說，確定一個圓的基本條件是3個已知點，那么編題人的花招只不過是：把3個“點”中的某1個點，某2個點，甚至全部3個點進行條件的“等價替換”.【例3】 已知圓上兩點P（2，4）和Q（3，1），且圓在 x 軸上截得的弦長為6. 求圓的方程.【分析】 “在 x 軸上截得的弦長為6” 這是把“第3點”進行條件等價替換的結(jié)果. 因為已知點有兩個，故考慮圓方程的代數(shù)形式.【解答】 設(shè)圓的方程為： x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 ()代入P，Q兩點的坐標(biāo)得在式（）中， 令y =0得： x2 + Dx +F=0設(shè)其2個根分別為x1和x2 ,依題意有：于是得D24F=36 （3）聯(lián)立（1），（2），（3）.解得 或 故所求的方程由 x2 + y22 x4y 8 = 0或 x2 y26 x 8 y =0【點評】 由式（3）的得出過程可知，演變后的第3個條件. 最終相當(dāng)于1個已知點的作用.四、圓的軌跡 也需三點把圓視作軌跡圖形，不管通過怎樣的過程或方法而得到，其“控制條件”也是三個，其中，兩個條件給圓（心）定位，一個條件確定圓（半徑）的大小.【例4】 設(shè)A（c，0），B（c，0）（c0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a0，且a1），求P點的軌跡.【分析】 軌跡的控制條件有3個：點A，點B和比值a. 如果其軌跡是圓，則條件A，B則（主要）給圓（心）定位，而條件“比值a”（主要）用來確定圓的（半徑）大小.【解答】 設(shè)動點P的坐標(biāo)為P（x，y）由=a（a0），得=a，化簡得：（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.當(dāng)a1時，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（xc）2+y2=（）2所以當(dāng)a1時，P點的軌跡是以（c，0）為圓心，以|為半徑的圓.【點評】 到兩定點A和B距離之比為常數(shù) a (a0 且a1) 的點的軌跡是一個圓. 圓的直徑的兩個端點分別是AB線段的內(nèi)、外兩個（比例為 a）的分點.五、缺少1點 便成圓系3個條件“確定”一個圓， 如果缺少1個條件，則這個圓就變得“不確定”. 雖是“不確定”，但還有“能確定”的部分.因為它還要經(jīng)過已知的兩個點. 從而變成“圓系”問題.特別地，經(jīng)過兩已知圓交點的圓系：1 ( x2 + y2 + D1x + Ey + F1 )+ 2 ( x2 + y2 + D2 x +E2 y +F2 )=0其中，1，2 不同時為0，當(dāng)1 +2 =0時，圓系方程確定了圓系的“根軸”圓系公共弦所在的直線.【例5】 求過直線2 x + y +4=0 和圓x2+y2+2 x4 y +1=0的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程（1）過原點； （2）半徑最小.【分析】 所求的圓，已“滿足兩點”，故可先設(shè)圓系，再求出第3個參數(shù).【解答】 設(shè)所求的圓在“公共弦”的圓系中（x2 + y2 + 2x4y +1）+ ( 2x + y + 4 ) =0x2 + y2 +2 (1+) x + (4) y+(1+4) = 0(1)此圓過原點時，則有1+4=0, 即，所求方程為 (2)將圓系方程化為幾何式：，當(dāng)時，圓的半徑最小，此時圓方程為【點評】 “不足3個條件”的圓，可先按已知條件設(shè)立圓系，然后再找具體條件來確定具體的圓.這實際上提供了一個“逐步滿足條件”的求圓步驟.六、高考出題 “三點變戲”關(guān)于圓的高考題，按“三點替換法”設(shè)計，可得到不同層次的考題難度，其操作辦法也很有“程序”.(1)直接給出3個基本條件，就是容易題；(2)替換其中一，二個基本條件，得中檔題；(3)三個基本條件全部替換，或有的條件替換較“遠”，則得到高難題.當(dāng)年那道求圓方程的高考壓軸題，就是把三個基本條件全部替換了，而且有一條件“替換較遠”.【例6】 設(shè)圓P滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31，在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線:x -2y =0的距離最小的圓的方程.【分析】 確定圓的條件給得非常明白，并開出了， 的清單. 解題的功夫在于如何將這3個條件分別轉(zhuǎn)化為圓方程的3個參數(shù)：在圓的幾何式中是參數(shù)a, b, r ；在圓的代數(shù)式中是參數(shù)D，E，F(xiàn).由于題設(shè)中的幾何特征明顯，故優(yōu)先考慮圓方程的幾何形式(xa )2 + (yb )2 = r 2【解析】 設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r. 易知點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|. 由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，圓P截x軸所得的弦長為r，故得等式r 2=2b2. 又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r 2=a 2+1. 從而得2b2-a 2=1 又點P (a，b)到直線x-2y=0的距離為d =，所以5d 2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b2 2(a2+b2)=2b2a2=1，其等號成立的條件是a=b 【插話】 至此，關(guān)于a、b、r 的三個方程全部到齊，聯(lián)立、 即可解出a、b、r 的值，其具體過程如下.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，關(guān)于d的不等式中的等號成立，從而要使d取得最小值，則應(yīng)有，解此方程組得 或. 又由r2=2b2知r=