高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型及解法教案

抽象函數(shù)的一般問(wèn)題類型及解法綜述抽象函數(shù)是沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析表達(dá)式，而給出表達(dá)函數(shù)特征的表達(dá)式的一種函數(shù)。 由于抽象函數(shù)表示形式的抽象性，這類問(wèn)題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常隱而不漏，但一般以學(xué)到的常見(jiàn)函數(shù)為背景，常用代數(shù)表示給出函數(shù)的性質(zhì)。 抽象函數(shù)的相關(guān)主題是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交叉點(diǎn)設(shè)計(jì)的大學(xué)入學(xué)考試對(duì)抽象函數(shù)的要求是調(diào)查函數(shù)概念和知識(shí)內(nèi)涵和外延的把握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)的可能性。 為了擴(kuò)大讀者的視野，特別對(duì)抽象函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題類型和解法進(jìn)行如下評(píng)價(jià)。一、函數(shù)的基本概念問(wèn)題1 .抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題例1已知函數(shù)的定義域是 1，2 ，求出的定義域解：由于定義域?yàn)?1，2 ，為1x2，因此為1x4即函數(shù)的定義域?yàn)?1，4 評(píng)價(jià)：一般來(lái)說(shuō)，已知函數(shù)的定義域是a，求出的定義域問(wèn)題相當(dāng)于將已知的x取值的范圍設(shè)為a，由此求出的值域問(wèn)題對(duì)于已知函數(shù)的定義域是-1，2 ，獲得該函數(shù)的定義域解：由此得出的自由定義域是-1，2 ，意味著所有受影響的對(duì)象都在-1，2 - 1log (3- x )2 ()3-x() 1x) .函數(shù)的定義域?yàn)?，。評(píng)價(jià)：這樣問(wèn)題的一般形式是，已知的函數(shù)的定義域?yàn)閍，求出函數(shù)的定義域.正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是解決這樣的問(wèn)題的關(guān)鍵如果有意義，則需要xA .這樣問(wèn)題實(shí)質(zhì)上已知的值域?yàn)閍，基于此求出x的取值的范圍.2 .抽象函數(shù)的值域問(wèn)題例4將函數(shù)(x )定義為實(shí)數(shù)集，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，求出函數(shù)(x )的值域，以使(x y)=(x)(y )始終成立且xx .解：如果x=y=0，則(0)=(0)，即(0)=0或(0)=1.(0)=0，(x)=(x 0)=(x)(0)=0，對(duì)于任意xR成立，存在實(shí)數(shù)xx，與(xx成立不矛盾.(x y)=(x)(y )對(duì)于任意x，yR都成立，因此對(duì)于任意xR都有(x)=()=()=()0。以下，對(duì)于任意xR，僅證明(0)0即可.如果存在xR使得(x)=0，則(0)=(x-x)=(x)(-x)=0這與(0)0不矛盾，因此對(duì)于任意xR，其為(x)0 .所以(x)0評(píng)價(jià)：處理抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常常需要對(duì)某個(gè)變量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拇?，這通常是特殊變換所必需的手段3 .抽象函數(shù)的解析表達(dá)式問(wèn)題在例5中，對(duì)于滿足x0、x1全部實(shí)數(shù)x，設(shè)函數(shù)(x )滿足(x) ()=1 x，求出(x )的解析式.解： (x) ()=1 x，用(1)替換x，如下所示() (-=，)在(1)中用-替換x，(-) (x)=，(1)-(2)簡(jiǎn)化： (x)=評(píng)價(jià)：如果把x和各自看作兩個(gè)變量，那么如何實(shí)現(xiàn)從兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)換是一個(gè)問(wèn)題點(diǎn)。 通常，適當(dāng)?shù)胤峙浣o若干變量，使其在關(guān)系中“消失”，并且保留一個(gè)變量是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的重要策略二、尋找特殊函數(shù)模型問(wèn)題1 .指數(shù)函數(shù)模型例6定義為實(shí)數(shù)集r，x0時(shí)為 1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，為(x y)=、同時(shí)(1)=2、不等式(3x-x)4.聯(lián)想：由于a=aa(a0，a1 )，因此可以推測(cè)其模型函數(shù)為=a(a0，a1 ) (1)=2，進(jìn)而推測(cè)為=2.思考分析：=4，求解不等式化是(3x-x ) .這樣，證明函數(shù)(由=2，僅證明單調(diào)增加)成為解決問(wèn)題的突破口.解：取x=y=0為(x y)=(x) (y )，得到(0)=(0)(0)=0、x0、y=0時(shí)，與(x)=0、x1相矛盾x0時(shí)，(x)10，x0、(-x)10(x) (-x)=(0)=1x=0。另外，在x=0的情況下，(0)=10、xR、(x)0。當(dāng)-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x )y=(x)r中為增加函數(shù)另外，(1)=2，222222444錚錚錚錚6533x-x2、1x2.2 .對(duì)數(shù)函數(shù)模型例7已知函數(shù)的滿意度：()=1； 函數(shù)的值域?yàn)?1，1 ； 在該定義域中單調(diào)減少=(xy )對(duì)于任意正的實(shí)數(shù)x、y成立。由于Lenovo:log(xy)=logx logy、log=1、y=logx是在其定義域-1，1 內(nèi)減去函數(shù)，因此推測(cè)該模型函數(shù)為=logx且模型函數(shù)為=() .思維方式分析：條件中已知的逆函數(shù)存在，在定義域-1，1 中減少，只要用模型函數(shù)的性質(zhì)和算法證明其馀的，問(wèn)題就可以解決解：從已知的條件可以看出，存在(x )的逆函數(shù)，在(1)=，并且定義域-1，1 中單調(diào)減少。若設(shè)y=(x )，y=(x )，則x=(y )，x=(y )x x=(y) (y)=(yy )，即yy=(x x )。=因此，原不等式等于：x=0故原不等式的解集為0為了解決這些問(wèn)題，可以通過(guò)抽象化的具體方法，即聯(lián)想、分析和類比推測(cè)，經(jīng)過(guò)具有非邏輯思維成分的推理，找到其函數(shù)模型，從這些函數(shù)模型的性質(zhì)、規(guī)律中探討這些問(wèn)題的解題思路。3 .函數(shù)模型例8已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y=，且=1、=9，在0x1時(shí)為0-1時(shí).判斷的奇偶校驗(yàn)判斷和證明 0，的單調(diào)性a0且，求出a的可取范圍。聯(lián)想：因?yàn)樗?(xy )，所以模型函數(shù)被推測(cè)為=(由=9，另外=x )。思考分析：由于從問(wèn)題設(shè)定可知是函數(shù)y=x的抽象函數(shù)，因此被認(rèn)為是偶然函數(shù)，在0，時(shí)是增加函數(shù)。解：如果命令y=-1222222222222222222222222652x0的話= 0。假設(shè)0xx，則為0-1=x0時(shí)0，且0x0時(shí)，對(duì)于(x)1且任意實(shí)數(shù)x、y，求出(x y )=(x )、(y )，x )是r增加函數(shù).證明： x=y=0取自(x y)=(x)(y )，(0)=(0)=0、x0、y=0時(shí)，與(x)=0、x1相矛盾x0時(shí)，(x)10，x0、(-x)10(x ) (-x )=(0)=1，87563； (x)=0。另外，在x=0的情況下，(0)=10、xR、(x)0。當(dāng)-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x ) y=(x )是r上的增加函數(shù)。評(píng)估：一般而言，抽象函數(shù)滿足的關(guān)系表達(dá)式應(yīng)當(dāng)被視為是給定算法，并且變量的代入、變量和數(shù)值的分解以及它們的組合應(yīng)當(dāng)盡可能與已知表達(dá)式或給定的關(guān)系表達(dá)式以及所確定的結(jié)果相關(guān)聯(lián)2 .抽象函數(shù)的奇偶校驗(yàn)問(wèn)題例10已知函數(shù)(x) (xR，x0 )都具有不等于零實(shí)數(shù)x，x具有(xx)=(x) (x )，嘗試函數(shù)(x )的奇偶校驗(yàn).解：取x=-1，x=1: (-1 )=(-1 ) (1)，(1)=0。此外，取x=x=-1:(1)=(-1 ) (-1 )，(-1)=0.如果x=x，x=-1，則(-x)=(-1) (x )即(-x)=(x )其中x是非零函數(shù)，222222222222222222222223 .抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題例11函數(shù)定義域是整體實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b，存在(a b) (a-b)=2(a) (b )，由于存在C0，因此變?yōu)?0，求證(x )成為周期函數(shù).聯(lián)想：由于cos(a b) cos(a-b)=2Cosacosb，cos=0，因此其模型函數(shù)為y=cosx，根據(jù)y=cosx的周期，預(yù)計(jì)2c為一個(gè)周期思考分析：如果證明2C是一個(gè)周期，則從證明=、已知條件=0和(a b) (a-b)=2(a) (b )得知，必須選擇a、b的值的是條件式的出現(xiàn)和證明：假設(shè)a=x，b=，代入(a b) (a-b)=2(a) (b )(x C )=-(x )(x 2C )=(x C) C =-(x C )=(x )是以2C為周期函數(shù).評(píng)價(jià)：如果不將馀弦函數(shù)作為模型，很難認(rèn)為是2C求出的函數(shù)的周期。 解題的想法很難。 由此可知，求出和構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，為了思考和解題的方向性，是處理開(kāi)放型問(wèn)題的重要戰(zhàn)略。4 .抽象函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題例12已知函數(shù)y=是滿足=2002而求出的值.解：在式=2b中，由于a=0，b=2002，所以函數(shù)y=關(guān)于點(diǎn)(0，2002 )對(duì)稱，根據(jù)原函數(shù)與其逆函數(shù)關(guān)系，可知函數(shù)y=關(guān)于點(diǎn)(2002，0 )對(duì)稱.=0如果將上式中的x置換為x-1001，則=0評(píng)價(jià)：這是同一函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)中心對(duì)稱問(wèn)題，在解題中使用如下命題：將a、b全部設(shè)為常數(shù)，函數(shù)y=相對(duì)于全部實(shí)數(shù)x滿足=2b時(shí)，函數(shù)y=的圖像關(guān)于點(diǎn)(a、b )成為中心對(duì)稱的圖形.四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題對(duì)于任何實(shí)數(shù)m，n，且當(dāng)x0時(shí)，實(shí)例13r中所界定的函數(shù)滿足0、B=(x，y)|=1，aR，試著嘗試AB=、a可能的范圍。解： (1)中，m=1，n=0，得=，0，因此設(shè)為=1。當(dāng)m=x，n=-x時(shí)x0時(shí)，為01x 0，0 10。另外，在x=0情況