第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：7.5圓的方程

7.5 圓的方程知識(shí)梳理1.圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xa）2+（yb）2=r2.說(shuō)明：方程中有三個(gè)參量a、b、r，因此三個(gè)獨(dú)立條件可以確定一個(gè)圓.（2）圓的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）將（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.當(dāng)D2+E24F0時(shí)，方程（*）表示圓心（，），半徑r=的圓，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）叫做圓的一般方程.說(shuō)明：（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點(diǎn)：a.x2、y2項(xiàng)系數(shù)相等且不為零.b.沒(méi)有xy項(xiàng).（2）當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程（*）表示點(diǎn)（，），當(dāng)D2+E24F0時(shí)，方程（*）不表示任何圖形.（3）據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程.（3）圓的參數(shù)方程圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. x=rcos，y=rsin 圓心在O1（a，b），半徑為r的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. x=a+rcos，y=b+rsin說(shuō)明：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把這兩個(gè)方程相對(duì)于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件若上述二元二次方程表示圓，則有A=C0，B=0，這僅是二元二次方程表示圓的必要條件，不充分.在A=C0，B=0時(shí)，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0，僅當(dāng)（）2+（）240，即D2+E24AF0時(shí)表示圓.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：A=C0，B=0，D2+E24AF0.點(diǎn)擊雙基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A.1t B.1tC.t1 D.1t0，得7t26t10，即t0），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.當(dāng)a2+b2=r2時(shí)，圓必過(guò)原點(diǎn)B.當(dāng)a=r時(shí)，圓與y軸相切C.當(dāng)b=r時(shí)，圓與x軸相切D.當(dāng)br時(shí)，圓與x軸相交解析：已知圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，當(dāng)br時(shí)，圓心到x軸的距離為|b|，只有當(dāng)|b|r時(shí)，才有圓與x軸相交，而br不能保證|b|0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a（a0），求P點(diǎn)的軌跡.剖析：給曲線建立方程是解析幾何的兩個(gè)主要問(wèn)題之一，其基本方法就是把幾何條件代數(shù)化；主要問(wèn)題之二是根據(jù)方程研究曲線的形狀、性質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由=a（a0）得=a，化簡(jiǎn)，得（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.當(dāng)a=1時(shí)，方程化為x=0.當(dāng)a1時(shí)，方程化為（xc）2+y2=（）2.所以當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為y軸；當(dāng)a1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（c，0）為圓心，|為半徑的圓.評(píng)述：本題主要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決問(wèn)題的能力，對(duì)代數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力有較高要求.同時(shí)也考查了分類討論這一數(shù)學(xué)思想.【例2】 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程.剖析： 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形.解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為（x3b）2+（yb）2=9b2.又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長(zhǎng)為2，則有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圓方程為（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.評(píng)述：在解決求圓的方程這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長(zhǎng)等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).【例3】 已知O的半徑為3，直線l與O相切，一動(dòng)圓與l相切，并與O相交的公共弦恰為O的直徑，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.剖析：?jiǎn)栴}中的幾何性質(zhì)十分突出，切線、直徑、垂直、圓心，如何利用這些幾何性質(zhì)呢？解：取過(guò)O點(diǎn)且與l平行的直線為x軸，過(guò)O點(diǎn)且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），O與M的公共弦為AB，M與l切于點(diǎn)C，則|MA|=|MC|.AB為O的直徑，MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|.化簡(jiǎn)得x2=6y，這就是動(dòng)圓圓心的軌跡方程.評(píng)述：求軌跡的步驟是“建系，設(shè)點(diǎn)，找關(guān)系式，除瑕點(diǎn)”.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，則A.D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=0解析：曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，即圓心在x+y=0上.答案：A2.（2004年全國(guó)，8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.答案：B3.（2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kxy+4=0對(duì)稱，則k=_.解析：圓心（，3）在直線上，代入kxy+4=0，得k=2.答案：24.（2004年全國(guó)卷，16）設(shè)P為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3x4y10=0的 距離的最小值為_(kāi).解析：圓心（0，0）到直線3x4y10=0的距離d=2.再由dr=21=1，知最小距離為1.答案：15.（2005年啟東市調(diào)研題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，又滿足=0.（1）求m的值；（2）求直線PQ的方程.解：（1）曲線方程為（x+1）2+（y3）2=9表示圓心為（1，3），半徑為3的圓.點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，圓心（1，3）在直線上.代入得m=1.（2）直線PQ與直線y=x+4垂直，設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程為y=x+b.將直線y=x+b代入圓方程，得2x2+2（4b）x+b26b+1=0.=4（4b）242（b26b+1）0，得23b2+3.由韋達(dá)定理得x1+x2=（4b），x1x2=.y1y2=b2b（x1+x2）+x1x2=+4b.=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）.所求的直線方程為y=x+1.6.已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+2x2y=0，求x+y的最小值.解：原方程為（x+1）2+（y）2=4表示一個(gè)圓的方程，可設(shè)其參數(shù)方程為（為參數(shù)，02），則x+y=1+2（sin+cos）=+1x=1+2cos，y=+2sin2sin（+），當(dāng)=，即x=1，y=時(shí)，x+y的最小值為12.培養(yǎng)能力7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如圖，方程x2+y24x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓.設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（也可由平面幾何知識(shí)，有OC=2，OP=，POC=60，直線OP的傾斜角為60，直線OP的傾斜角為120解之）（2）設(shè)yx=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得=，即b=2，故（yx）min=2.（3）x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于C，則（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.8.（文）求過(guò)兩點(diǎn)A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)M1（2，3），M2（2，4）與圓的位置關(guān)系.解：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑即可.因?yàn)閳A過(guò)A、B兩點(diǎn)，所以圓心在線段AB的垂直平分線上.由kAB=1，AB的中點(diǎn)為（2，3），故AB的垂直平分線的方程為y3=x2，即xy+1=0.又圓心在直線y=0上，因此圓心坐標(biāo)是方程組的解，即圓心坐標(biāo)為（1，0）.xy+1=0，y=0 半徑r=，所以得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=20.因?yàn)镸1到圓心C（1，0）的距離為=，|M1C|，所以M2在圓C外.（理）已知?jiǎng)訄AM：x2+y22mx2ny+m21=0與圓N：x2+y2+2x+2y2=0交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓N的圓周.（1）求動(dòng)圓M的圓心的軌跡方程；（2）求半徑最小時(shí)圓M的方程.解：（1）如圖所示（坐標(biāo)系省略了），圓心N（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，在RtAMN中，|AM|2=|AN|2+|MN|2，（m+1）2=2（n+2）.（*）故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（x+1）2=2（y+2）.（2）由（*）式，知（m+1）2=2（n+2）0，于是有n2.而圓M半徑r=，當(dāng)r=時(shí)，n=2，m=1，所求圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=5.探究創(chuàng)新9.（2005年黃岡市調(diào)研考試題）如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy=60，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若=xe1+ye2（其中e1、e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量），則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（x，y）.（1）若P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離|PO|；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程.解：（1）P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），=2e12e2.|2=（2e12e2）2=88e1e2=88cos60=4.|=2，即|OP|=2.（2）設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為（x，y），則=xe1+ye2.（xe1+ye2）2=1.x2+y2+2xye1e2=1.x2+y2+xy=1.故所求方程為x2+y2+xy=1.思悟小結(jié)1.不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母（a、b、r或D、E、F）的值需要確定，因此需要三個(gè)獨(dú)立的條件.利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r（或D、E、F）的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值.2.求圓的方程的一般步驟：（1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程）；（2）根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D、E、F或a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程.3.解析幾何中與圓有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒(méi)有x、y項(xiàng)只是表示圓的必要條件而不是充分條件.2.如果問(wèn)題中給出了圓心兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時(shí)，一般用標(biāo)準(zhǔn)方程.如果給出圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用一般方程.3.在一般方程中，當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，），當(dāng)D2+E24F0時(shí)，無(wú)軌跡.4.在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要充分利用圓的特殊幾何性質(zhì)，這樣會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.5.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用，應(yīng)熟練掌握.拓展題例【例1】 圓x2+y2=1內(nèi)有一定點(diǎn)A（，0），圓上有兩點(diǎn)P、Q，若PAQ=90，求過(guò)點(diǎn)P和Q的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程.分析：先求出PQ中點(diǎn)E的軌跡方程為x2+y2x=0.再求切點(diǎn)弦PQ所在直線的方程.解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則過(guò)P、Q的切線方程分別是x1x+y1y=1，x2x+y2y=1.又M（m，n）在這兩條切線上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=1，又兩點(diǎn)確定唯一一條直線，PQ所在直線的方程是mx+ny=1.又E為直線OM與PQ之交點(diǎn)，解方程組mx+ny=1y=xx=，y=.將（，）代入中點(diǎn)E的軌跡方程得x