江蘇省海安高級(jí)中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題

江蘇省海安高級(jí)中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題）1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】利用交集定義直接求解【詳解】集合，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限【答案】四【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出的坐標(biāo)得答案【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限故答案為：四【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題3.為了解某一段公路汽車(chē)通過(guò)時(shí)的車(chē)速情況，現(xiàn)隨機(jī)抽測(cè)了通過(guò)這段公路的200輛汽車(chē)的時(shí)速，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的200輛汽車(chē)中，時(shí)速在區(qū)間內(nèi)的汽車(chē)有_輛【答案】80【解析】試題分析：時(shí)速在區(qū)間內(nèi)的汽車(chē)有考點(diǎn)：頻率分布直方圖4.袋中裝有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)黑球，2個(gè)白球，從中一次摸出2個(gè)球，則摸出1個(gè)黑球和1個(gè)白球的概率等于_【答案】【解析】分析：通過(guò)枚舉法寫(xiě)出摸出2個(gè)球的所有情況，再找出摸出1個(gè)黑球和1個(gè)白球的情況，由此能求出概率.詳解：設(shè)3個(gè)黑球用A，B，C表示；2個(gè)白球用甲，乙表示，摸出2個(gè)球的所有情況：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10種，其中摸出1個(gè)黑球和1個(gè)白球的情況有6種，所以，摸出1個(gè)黑球和1個(gè)白球的概率為.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解題時(shí)要注意枚舉法的合理運(yùn)用.5.在一次知識(shí)競(jìng)賽中，抽取5名選手，答對(duì)的題數(shù)分布情況如表，則這組樣本的方差為_(kāi)答對(duì)題數(shù)48910人數(shù)分布1121【答案】【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)和方差即可【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為，方差為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算問(wèn)題，熟記計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6.如圖所示的算法流程圖中，最后輸出值為_(kāi)【答案】25【解析】分析：由流程圖可知，該算法為先判斷后計(jì)算的當(dāng)型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.詳解：程序執(zhí)行如下15輸出 故不成立時(shí)，.故答案為25.點(diǎn)睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類(lèi)型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵7.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面若，則，若，則；若，則；若，則上述命題中為真命題的是_填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)【答案】【解析】【分析】由線面垂直的判定定理可知正確；與n可能平行可能相交；與n可能平行或異面；由線面平行的性質(zhì)定理可知正確【詳解】選項(xiàng)正確，由線面垂直的判定定理可知：若，則；選項(xiàng)錯(cuò)誤，若，則m與n可能平行可能相交；選項(xiàng)錯(cuò)誤，若，則m與n可能平行或異面； 選項(xiàng)正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知：若，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，涉及線面位置關(guān)系的確定，熟記基本定理，準(zhǔn)確推理是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題8.公元五世紀(jì)張丘建所著張丘建算經(jīng)卷22題為：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問(wèn)日益幾何”題目的意思是：有個(gè)女子善于織布，一天比一天織得快每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布5尺，一個(gè)月天共織布9匹3丈，則該女子每天織尺布的增加量為_(kāi)尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】分析：設(shè)該女子織布每天增加尺，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出即可.詳解：設(shè)該女子織布每天增加尺， 由題意知，尺，尺 又由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，解得尺故答案為點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.9.若，則_【答案】【解析】【分析】，可得，利用和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其倍角公式即可得出【詳解】，化為：，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了余弦和正切和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10.如圖，已知O為矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且，則_【答案】【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件得出O，C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再計(jì)算的值【詳解】以A為原點(diǎn)，以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理可得：又，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系是突破點(diǎn)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題11.已知關(guān)于x的方程在上有三個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】分析：將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同交點(diǎn).根據(jù)函數(shù)圖象可以求出答案.詳解：方程在上有3個(gè)相異實(shí)根，函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同交點(diǎn)，在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖象可知，在上，函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在上，函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn) ，聯(lián)立，整理得， ，即，解得實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.12.已知，且，則的最小值等于_【答案】11【解析】分析：構(gòu)造基本不等式模型，化簡(jiǎn)整理，應(yīng)用基本不等式，即可得出答案.詳解： ， ， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 的最小值等于11.故答案為11.點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.13.如圖，已知，B為AC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)不含端點(diǎn)A，B，且，則的最大值為_(kāi)【答案】4【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得A，B，C的坐標(biāo)，可得以AB為直徑的半圓方程，以AC為直徑的半圓方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計(jì)算可得最大值【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得，以AB為直徑的半圓方程為，以AC為直徑的半圓方程為，設(shè)，可得，即有，即為，即有，又，可得，即，則，可得，即，時(shí)，的最大值為4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也考查了圓的方程與應(yīng)用問(wèn)題，建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量是解題的關(guān)鍵14.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意可得先對(duì)b恒成立，即為，再由參數(shù)分離和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性和最值，即可得到所求a的范圍【詳解】關(guān)于x的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意的實(shí)數(shù)恒成立，先看成b的一次函數(shù) ，可得 即為，可得恒成立，設(shè)，可得時(shí)，遞增；時(shí)，遞減，又，可得在的最小值為，可得即有a的范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題二、解答題（本大題共6小題）15.已知內(nèi)接于單位圓，且，求角C求面積的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】變形已知條件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范圍，進(jìn)而可得面積的最值【詳解】，的外接圓為單位圓，其半徑由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立，的面積，面積的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題16.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在四面體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且（1）若平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：平面平面【答案】 詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）已知線面平行，可利用其性質(zhì)定理，將其轉(zhuǎn)化為線線平行，得比例等量關(guān)系：因?yàn)槠矫?，易得平面，平?平面，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，由得（2）證面面垂直，關(guān)鍵證線面垂直，由題意分析證平面，這是因?yàn)?，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面試題解析：解：（1）因?yàn)槠矫?，易得平面，平?平面，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，由得； 7分（2）因?yàn)椋c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面AED 14分考點(diǎn)：線面平行性質(zhì)定理，面面垂直判定定理17.如圖，長(zhǎng)方形材料中，已知，.點(diǎn)為材料內(nèi)部一點(diǎn)，于，于，且，. 現(xiàn)要在長(zhǎng)方形材料中裁剪出四邊形材料，滿(mǎn)足，點(diǎn)、分別在邊，上.（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點(diǎn)在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解析】分析：（1）通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍. （2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡(jiǎn)和整理函數(shù)表達(dá)式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因?yàn)?，所以，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，所以，所?，.（2）因?yàn)?，令，由，得，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，答：當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意換元法和基本不等式的合理運(yùn)用.換元法求函數(shù)的值域，通過(guò)引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來(lái)，將已知條件和要求的結(jié)果結(jié)合起來(lái)，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái)，或把繁瑣的表達(dá)式簡(jiǎn)化，之后就可以利用各種常見(jiàn)的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來(lái)解決問(wèn)題.常見(jiàn)的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關(guān)系.18.已知橢圓E：，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與E有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M若，點(diǎn)K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過(guò)點(diǎn)，射線OM與橢圓E交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線l斜率；若不能，說(shuō)明理由【答案】（1） （2）見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】，橢圓E：，兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)，求出的表達(dá)式，然后求解范圍即可設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，利用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化求解即可直線l過(guò)點(diǎn)，直線l不過(guò)原點(diǎn)且與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是且設(shè)，設(shè)直線，代入橢圓方程，通過(guò)四邊形OAPB為平行四邊形，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】，橢圓E：，兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)，的范圍是設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，則兩式相減，得，即，故；設(shè)，設(shè)直線，即，由的結(jié)論可知，代入橢圓方程得，由與，聯(lián)立得若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點(diǎn)，所以，即，整理得解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意所以當(dāng)時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，點(diǎn)差法，直線與橢圓的交點(diǎn)，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題19.已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，且曲線在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為，曲線在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為，且求，之間的距離；若存在x使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；對(duì)于函數(shù)和的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)的值為兩函數(shù)在處的偏差求證：函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)證明【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出a的值，求出，的解析式，求出平行線間的距離即可；令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求出m的范圍即可；法一：令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，證明即可；法二：令，令，；令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【詳解】，的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，由題意得，即，又，函數(shù)和的圖象在其坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線方程分別為：，兩平行切線間的距離為由，得，故在有解，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為解法一：函數(shù)和的偏差為：，設(shè)為的解，則則當(dāng)，；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故F，即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于解法二：由于函數(shù)和的偏差：，令，；令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式有解問(wèn)題，考查新定義，正確求導(dǎo)，理解新定義是解題的關(guān)鍵，是難題20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都有成立求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)，.(2)，.見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，類(lèi)比寫(xiě)出，兩式相減整理得，當(dāng)時(shí)，求得，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.； （2）將代入已知條件，用與（1）相似的方法，變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 由的通項(xiàng)公式分析，得，假設(shè)存在三項(xiàng)，成等差數(shù)列，且，則，即，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，化簡(jiǎn)得，將或代入已知條件，即可得到結(jié)論.詳解：解：（1）由， 得， 由-得，即，對(duì)取得，所以，所以為常數(shù)，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，即，. （2）由，可得對(duì)于任意有， 則， 則， 由-得，對(duì)取得，也適合上式，因此，.由（1）（2）可知，則，所以當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即在且上單調(diào)遞減，故，假設(shè)存在三項(xiàng)，成等差數(shù)列，其中，由于，可不妨設(shè)，則（*），即，因?yàn)?，且，則且，由數(shù)列的單調(diào)性可知，即，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，又且，所以或，當(dāng)時(shí)，即，由時(shí)，此時(shí)，不構(gòu)成