《導數(shù)各種題型及解法總結(jié)》---教師

培英堂教育個性化課外輔導 知識改變命運 學習成就未來 知識改變命運，學習成就未來導數(shù)各種題型及解法總結(jié)基礎(chǔ)知識梳理1. 常見題型一、 小題：1. 函數(shù)的圖象2. 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性);3. 分段函數(shù)求函數(shù)值；4. 函數(shù)的定義域、值域（最值）；5. 函數(shù)的零點；6. 抽象函數(shù)；二、大題：1. 求曲線在某點處的切線的方程； 2. 求函數(shù)的解析式3. 討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； 4. 求函數(shù)的極值點和極值；5. 求函數(shù)的最值或值域； 6. 求參數(shù)的取值范圍7. 證明不等式； 8. 函數(shù)應(yīng)用問題2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為。(2)若可導函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 3. 解題方法規(guī)律總結(jié)1. 關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問題，又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號問題。要結(jié)合函數(shù)圖象，考慮判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的符號等因素。2. 已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法：子區(qū)間法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法。3. 注意分離參數(shù)法的運用：含參數(shù)的不等式恒成立問題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解，含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實根（包括根的個數(shù)）等問題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4. 關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值。有時要借助上一問的有關(guān)單調(diào)性或所求的最值的結(jié)論，對其中的參數(shù)或變量適當賦值就可得到所要證的不等式。對于含有正整數(shù)n的帶省略號的不定式的證明，先觀察通項，聯(lián)想基本不定式（上述結(jié)論中的13），確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問所得到的結(jié)論有關(guān)），再對自變量x賦值，令x分別等于1、2、.、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5. 關(guān)于方程的根的個數(shù)問題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中，二是參數(shù)被分離，無論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象， 確立所滿足的條件，再求參數(shù)或其取值范圍。 一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導數(shù)為，在區(qū)間D上的導數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法： 當時, 恒成立, 當時, 恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則 (2)當時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）-22 例2：設(shè)函數(shù) （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). 于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值； （）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)（）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：. （） 是偶函數(shù)， . 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增 可知：的極大值為， 的極小值為. （）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、當且僅當時取“=”號，單調(diào)遞增。 2、a-1-1 單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：（II）當 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調(diào)遞增 符合題意2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、題型二：根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解：（1）的圖像過原點，則 ，-1又是的極值點，則 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數(shù)問題=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點處取得極小值4，使其導數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設(shè)切點Q，過 令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域為（）當m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，），單調(diào)遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數(shù)yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1） 當時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大 因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是0，1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（1）已知函數(shù)() 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (). 由, 函數(shù)在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為: 由 得點G的橫坐標為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: , , 所求直線方程為: 或 3、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式；（）若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0得 （）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當且僅當 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 當a3