線性代數(shù)試卷及答案詳解

線性代數(shù)A 試題（A 卷）試卷類別：閉卷 考試時(shí)間：120分鐘考試科目：線性代數(shù) 考試時(shí)間： 學(xué)號(hào)： 姓名： 題號(hào)一二三四五六 七總 分得分閱卷人一 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）1設(shè)經(jīng)過初等行變換變?yōu)椋瑒t（ ）.(下面的分別表示矩陣的秩)。； ； ； 無法判定與之間的關(guān)系。2設(shè)為階方陣且，則（ ）。 中有一行元素全為零； 有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；中必有一行為其余行的線性組合； 的任一行為其余行的線性組合。3. 設(shè)是階矩陣(), ,則下列結(jié)論一定正確的是: ( )4下列不是維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）存在一組不全為零的數(shù)使得；不存在一組不全為零的數(shù)使得的秩等于；中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示5設(shè)階矩陣，若矩陣的秩為，則必為（ ）。1； ； ； .6四階行列式的值等于（ ）。； ； .7設(shè)為四階矩陣且，則的伴隨矩陣的行列式為（ ）。； ； ； 8設(shè)為階矩陣滿足，為階單位矩陣,則（）； ； ； 9設(shè)，是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（ ）。與的秩相同； 與的特征值相同；與的特征矩陣相同； 與的行列式相同；10設(shè)為階矩陣,則以為特征值是的（ ）。充分非必要條件； 必要非充分條件；既非充分又非必要條件； 充分必要條件； 二填空題（每小題3分，共18分）1計(jì)算行列式。2. _。3二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為 。4已知，是歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量在這組基下的坐標(biāo)為 。5已知矩陣的特征值為則_。6設(shè)均為3維列向量，記矩陣，。如果，則 。三(8分) , 求。四（10分）設(shè)向量組，。試求它的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。五（12分）討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時(shí)求其解。六（14分）設(shè)，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣。七（8分）對(duì)任意的矩陣,證明：(1) 為對(duì)稱矩陣, 為反對(duì)稱矩陣；(2) 可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。線性代數(shù)A參考答案（A卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18分）1、 256； 2、 ； 3、；4、 ； 5、 4； 6、 2 。三 解：因?yàn)榫仃嘇的行列式不為零,則A可逆,因此.為了求,可利用下列初等行變換的方法：（6分）所以.（8分）四解：對(duì)向量組作如下的初等行變換可得：（5分）從而的一個(gè)極大線性無關(guān)組為，故秩2（8分）且，（10分）五解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：(1) 當(dāng)即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時(shí)方程組有唯一解.（5分）(2) 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此時(shí)方程組無解.（6分）(3) 當(dāng)此時(shí)方程組有無窮多組解.方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解: 令可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解;它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)元素,令可得為該齊次線性方程組的一個(gè)解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時(shí)原方程組的通解為（12分）六解：（1）由于的特征多項(xiàng)式故的特征值為（二重特征值），。（3分）當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，故屬于特征值的所有特征向量為, 不全為零的任意常數(shù)。（6分）當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，故屬于特征值的所有特征向量為, 為非零的任意常數(shù)。-(8分)(2)將正交化可得：。再將其單位化得：將單位化得：。（12分）則是的一組單位正交的特征向量，令則是一個(gè)正交矩陣，且。（14分）七證明：(1) 因?yàn)? 因此為對(duì)稱矩陣。（2分）同理,因?yàn)?因此為反對(duì)稱矩陣。（4分）