信號與線性系統(tǒng)完整ppt課件

,教材內(nèi)容綱要,緒論第一章,連續(xù)時(shí)域第二章,離散時(shí)域第七章,信號分解第三章,付氏變換第四章,拉普拉斯變換第五章,系統(tǒng)函數(shù)第六章,狀態(tài)變量第十一章,付氏變換Z變換第八九章,基本概念引導(dǎo)核心內(nèi)容,應(yīng)用和拓寬加深部分,Compendiumoftextbook,教材內(nèi)容綱要,第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析,會(huì)建立描述系統(tǒng)激勵(lì)e(t)與響應(yīng)r(t)關(guān)系的微分方程，深刻理解轉(zhuǎn)移算子H(p)的意義與應(yīng)用。深刻理解系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根的(自然頻率)的意義，并會(huì)求解。深刻理解系統(tǒng)的全響應(yīng),r(t)可分解為：零輸入響應(yīng)rzi(t)與零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)；自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)；瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。會(huì)根據(jù)微分方程的特征根與已知的系統(tǒng)的初始條件，求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi(t)。深刻理解單位沖激響應(yīng)h(t)的意義，并會(huì)求解。深刻理解卷積積分的定義、運(yùn)算規(guī)律及主要性質(zhì)，能會(huì)求解卷積積分。會(huì)應(yīng)用卷積積分法求線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)。,基本要求：,2.1引言,2.2系統(tǒng)方程的算子表示法,2.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),2.4奇異函數(shù),2.5信號的脈沖分解,2.6階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng),2.7疊加積分,2.8卷積及其性質(zhì),2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)域求解,第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析,系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法：在系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間t的一種分析方法。,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析法：為便于求解方程而將時(shí)間變量變換成其他變量。,2.1引言,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域分析法;變換域分析法,所謂系統(tǒng)的模型是指對系統(tǒng)物理特性的抽象，用數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特性的符號圖形來表征系統(tǒng)特性。數(shù)學(xué)模型-以數(shù)學(xué)表達(dá)式表征系統(tǒng)特性。,舉例1：RLC串聯(lián)電路,一、建立數(shù)學(xué)模型:線性系統(tǒng)輸入輸出方程/狀態(tài)方程,數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。對電系統(tǒng)而言，電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有KCL和KVL方程,或,選取變量：電流i(t)列方程,舉例2：雙耦合電路對圖示電路列寫電流和電壓的微分方程。,解：選取變量：電流i1(t)、i2(t)列方程由兩類約束關(guān)系，分別列兩回路方程得：回路1的KVL方程：,電阻R的伏安關(guān)系：整理后得：,回路2的KVL方程：,舉例3.對圖示電路，寫出激勵(lì)e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。,將（2）式兩邊微分，得,將（3）代入（1）得,*由以上例題可以得出如下結(jié)論：1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。例2：含有4個(gè)儲(chǔ)能元件，故為四階電路。例3：含有2個(gè)儲(chǔ)能元件，故為二階電路。,2.無論是電流i(t)或電壓u(t),他們的齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。,推廣到一般：對于一線性系統(tǒng)其激勵(lì)和響應(yīng)函數(shù)或輸入函數(shù)與輸出函數(shù)之間的關(guān)系，總可用下列的微分方程輸入輸出方程描述：,n階常系數(shù)線性微分方程,二、常系數(shù)n階線性常微分方程的求解方法,（經(jīng)典法）,古典解法解題過程：,齊次方程的通解：為n個(gè)指數(shù)項(xiàng)之和，其包含的n個(gè)待定常數(shù)，要用n個(gè)初始條件確定。該部分解為系統(tǒng)的自然響應(yīng)或自由響應(yīng)。,非齊次方程的特解：可根據(jù)系統(tǒng)激勵(lì)函數(shù)的具體形式求取。該部分解為系統(tǒng)的受迫響應(yīng)。,根據(jù)不同觀點(diǎn),全響應(yīng)可分解為：自由響應(yīng)分量和強(qiáng)迫響應(yīng)分量；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分量；暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。,1.時(shí)域分析法1)古典解法（直接解法）,2)疊加積分法（卷積積分、杜阿美爾積分）,2.變換域法系統(tǒng)方程為高階微分方程或激勵(lì)信號是較為復(fù)雜的函數(shù)，利用時(shí)域法求解方程十分困難。為求解方程常采用變換域的方法。即將自變量從時(shí)間變量變換為頻率變量、復(fù)頻率變量等.如：傅氏變換、拉氏變化等將求系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換求代數(shù)方程,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)外加激勵(lì)信號為零時(shí)由初始狀態(tài)單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)由外加激勵(lì)信號單獨(dú)作用產(chǎn)生的響應(yīng)。,求解方法：激勵(lì)e(t)為零，只需求解齊次方程的解，并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)。,求解方法：需求含有激勵(lì)函數(shù)而初始條件為零的非齊次方程的解。方法1時(shí)域分析法:A直接解方程法B疊加積分法(卷積積分、杜阿美爾積分)方法2變換域法,零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解,1.微分、積分算子定義,在n階常系數(shù)線性常微分方程式中的和為時(shí)域中的微分運(yùn)算符號,為方便起見,把微分運(yùn)算符號用p表示，即令：把積分算子符號用1/p表示，即令：,n階常系數(shù)線性常微分方程式的簡化形式如下：,2.2系統(tǒng)方程的算子表示法一、微分、積分算子定義,規(guī)則1以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相乘和因式分解。mp+np=(m+n)ppmpn=p(m+n),其中m,n為任意整數(shù)例如:,規(guī)則2設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式，,二、微分、積分算子的運(yùn)算規(guī)則,規(guī)則3微分算子方程等號兩邊p的公因式不能隨便消去。例如方程,規(guī)則4對函數(shù)進(jìn)行先除后乘算子p的運(yùn)算時(shí)，公式的分子與分母中共有p算子允許消去。而對函數(shù)進(jìn)行先乘后除運(yùn)算時(shí),則不能相消.也就是說,對函數(shù)乘除算子p的順序不能隨意顛倒,可見:大部分代數(shù)運(yùn)算法則可以使用，但是有一些不能用,對于n階連續(xù)系統(tǒng),其輸入-輸出方程是n階線性常系數(shù)微分方程若設(shè)系統(tǒng)輸入為e(t)，輸出為r(t)，則可表示為：,利用微分算子將上式表示成：,或簡記為：,又可進(jìn)一步寫成：,轉(zhuǎn)移算子H(p),它代表了系統(tǒng)對輸入的傳輸作用,故稱為響應(yīng)對激勵(lì)的傳輸算子,或系統(tǒng)的傳輸算子,三、轉(zhuǎn)移算子,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：激勵(lì)e(t)為零，求解齊次方程的解，并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)。,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，求解的非齊次方程。,四、系統(tǒng)算子方程的一般表達(dá)式,例電路如圖(a)所示，試寫出u1(t)對f(t)的傳輸算子。,解畫出算子模型電路如圖(b)所示。由節(jié)點(diǎn)電壓法列出u1(t)的方程為,所以u1(t)對f(t)的傳輸算子為,它代表的實(shí)際含義是,電容：C1/Cp電感：LLp,例如圖(a)所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程。,電容：C1/Cp電感：LLp,解畫出算子模型電路如圖(b)所示。列出網(wǎng)孔電流方程如下：,整理：,該方程組對新設(shè)變量而言是一個(gè)微分方程組，可以用代數(shù)方法求解，得,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵(lì)信號時(shí)的響應(yīng)。,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：激勵(lì)e(t)為零，求解齊次方程的解，并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)。,-稱為系統(tǒng)的特征方程，方程解為特征方程的特征根,2.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)的概念二、特征方程,轉(zhuǎn)移算子：,轉(zhuǎn)移算子分母D(p)：特征多項(xiàng)式,簡單系統(tǒng)1：1階齊次方程，特征方程只有一個(gè)特征根p=。,積分常數(shù)C可根據(jù)t=0時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的初始值r(t)=r(0)來確定。上式為,一般情況下：初始條件為t=t0時(shí)，r(t)=r(t0)此時(shí)r(t)=r(t0)e(t-t0),1.簡單系統(tǒng),將上述結(jié)論推廣到一般情況，n階齊次方程，若其特征方程有n個(gè)單根。則其解的一般形式為：,式中：各為響應(yīng)中的自然頻率，也是H(p)的極點(diǎn)；c1、c2cn是n個(gè)應(yīng)由系統(tǒng)初始條件確定的系數(shù)。,三、簡單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),簡單系統(tǒng)2：系統(tǒng)特征方程在p=處，具有一個(gè)二階重根。其解的通解,積分常數(shù)c0、c1可根據(jù)t=0時(shí)由未加激勵(lì)前的初始儲(chǔ)能決定的初始值r(t)=r(0)和r(t)=r(0)來確定。,將上述結(jié)論推廣到一般情況，在p=處，具有一個(gè)k階重根,有,式中，系數(shù)c0、c1、c2ck-1由系統(tǒng)初始條件確定。,2.一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),對于一般情況，設(shè)n階連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程具有n個(gè)特根，設(shè)1是k階重根。,解題步驟：,A、將特征多項(xiàng)式D(p)進(jìn)行因式分解，即,求出系統(tǒng)特征方程的根。其中設(shè)1有k階重根,，,B、根據(jù)下式，求出第1個(gè)根1對應(yīng)的零輸入響應(yīng),C、將所有特征根的響應(yīng)相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即,D、根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條件r(k)(0)k=0,1,2,n-1確定常數(shù)C1,C2,C(ri-1)（i=1,2,k）。,.,小結(jié),圖示RLC串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2。若激勵(lì)電壓e(t)為零，且電路的初始條件（1）i(0)=1A/s,i(0)=0;(2)i(0)=0,uc(0)=10V,這里壓降uc的正方向設(shè)與電流i的正方向一致。分別求上述兩種初始條件時(shí)電路的零輸入響應(yīng)電流。,例題2-1：,上題中如將電路電阻改為1，初始條件為（1），求零輸入響應(yīng)電流。解：系統(tǒng)的微分方程為,求系數(shù)C1、C2：將和代入式（2-19C）得：,例題2-2：,解：,一、奇異函數(shù)的定義,有一個(gè)或多個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)用一般方法不好確定，這樣的函數(shù)統(tǒng)稱奇異函數(shù),二、典型奇異函數(shù),1.階躍函數(shù),連續(xù)時(shí)間單位階躍信號用(t)表示，定義為當(dāng)t=0時(shí),取值沒有定義,函數(shù)(t-t1):在t=t1處由0躍變?yōu)?的單位階躍函數(shù)，它較(t)延遲一時(shí)間t1,2.4奇異函數(shù),舉例：在電路分析中，單位直流電壓源或電流源，通過一個(gè)在t=0時(shí)刻閉合的開關(guān),加到電路上的電壓信號或電流信號，就可數(shù)學(xué)抽象為(t)。,*單位階躍函數(shù)(t)乘以任何一個(gè)函數(shù)f(t)后,其乘積在階躍之前為零,在階躍之后保持原f(t)值*單位階躍函數(shù)(t-t1)和另一函數(shù)相乘，有將后者從t1之前全部切除的作用。,t=0時(shí),K閉合u(t)=E,t=0,(t)移位:,(a)(b)(c),畫出sint、sint(t-t0)、sin(t-t0)(t-t0)波形,由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號,例1,f(t)=t(t)-(t-1)+(t-1)=t(t)-(t-1)(t-1),2.沖激函數(shù),定義1：從某些函數(shù)的極限來定義函數(shù),沖激函數(shù)有幾種不同的定義方式，本課程介紹兩種定義。,單位沖激函數(shù)(t)可視為幅度1/與脈寬的乘積（矩形面積）為1個(gè)單位的矩形脈沖，當(dāng)趨于零時(shí)脈沖幅度趨于無窮大的極限情況。,矩形脈沖的極限:,沖激函數(shù)常用圖示帶箭頭的線段來表示。函數(shù)只在t=0處有“沖激”，而在t軸上其它各點(diǎn)取值為零。如果矩形面積為1，則在帶箭頭的線段旁注上(1)，表明沖激強(qiáng)度為單位值。如果在圖形上將(A)注于箭頭旁，則表示沖激強(qiáng)度為A單位值的(t)函數(shù)。,單位沖激函數(shù)又稱狄拉克（Dirac）函數(shù)，函數(shù)的定義式為：,(t-t0）則表示在t=t0處所出現(xiàn)的沖激，如圖所示。顯然有：,沖激函數(shù)還可是三角形脈沖、高斯脈沖、抽樣等函數(shù)的極限情況。,定義2：利用廣義函數(shù)（或稱分配函數(shù)）定義函數(shù),考慮任何一個(gè)函數(shù)f（t）（該函數(shù)必須在t=0處連續(xù)）乘以單位沖激函數(shù)后在-tm,2）一般系統(tǒng)：系統(tǒng)的特征根D(p)=0的根無重根,ki的計(jì)算公式：,情況2：n=m,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)除包含指數(shù)函數(shù)外，還包含沖激函數(shù)。對于一般微分方程的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：,bm為轉(zhuǎn)移算子中Pm的系數(shù),情況3：n平移相乘疊加（積分）,二、卷積的圖解機(jī)理,第四步，將f1()和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)f1()f2(t-)。第五步，計(jì)算乘積信號f1()f2(t-)波形與軸之間包含的凈面積，便是式卷積在t時(shí)刻的值。第六步，令變量t在(-，)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號f1(t)*f2(t)。,求f(t)與h(t)的卷積，實(shí)質(zhì)上是求一個(gè)新函數(shù)f()h(t)在由0到t的區(qū)間內(nèi)的定積分。根據(jù)定積分的幾何意義，函數(shù)在0到t區(qū)間內(nèi)的定積分值，決定于被積函數(shù)f()h(t)的曲線在該區(qū)間內(nèi)與軸之間所限定的面積。,舉例,（）變量替換后，將其中一信號反折,（）平移（左移到與另一信號沒有重合后,再右移),*,解:,t-2,（）相乘,（）相乘,（4）相加：以上各圖中的陰影面積，即為相乘積分的結(jié)果最后，若以t為橫坐標(biāo)，將與t對應(yīng)積分值描成曲線，就是卷積積分e(t)*h(t)函數(shù)圖像。,附：,卷積表,1.卷積代數(shù),作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積運(yùn)算遵守代數(shù)（乘法）運(yùn)算的某些規(guī)律：,（1）互換律設(shè)有u(t)、v(t)兩函數(shù)，則,這表明卷積結(jié)果與兩函數(shù)的次序無關(guān),（2）分配律：設(shè)有u(t)、v(t)、w(t)三函數(shù)，則,實(shí)際上這個(gè)結(jié)果也是線性系統(tǒng)疊加特性的體現(xiàn),（3）結(jié)合律：設(shè)有u(t)、v(t)、w(t)三函數(shù)，則,（2-63）,（2-65）,（2-64）,卷積的計(jì)算類似于函數(shù)的乘法計(jì)算。它的很多性質(zhì)與乘法運(yùn)算性質(zhì)相同，但是也有一些不同。通過這些性質(zhì)，可以方便卷積的計(jì)算。,三、卷積的性質(zhì),卷積代數(shù)運(yùn)算與乘法運(yùn)算的規(guī)律相同，但卷積的微分或積分卻與函數(shù)相乘的微分或積分性質(zhì)不同。,(4)函數(shù)相卷積后的微分兩個(gè)函數(shù)相卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的卷積。其表示式為：,(5)函數(shù)相卷積后的積分兩個(gè)函數(shù)相卷積后的積分等于其中一個(gè)函數(shù)的積分與另一個(gè)函數(shù)的卷積。其表示式為：,（2-66）,（2-67）,第4號公式（2-68）,此外：有,卷積的微分和積分,（6）函數(shù)延時(shí)后的卷積,兩函數(shù)經(jīng)延時(shí)后的卷積等于兩函數(shù)卷積后延時(shí)，其延時(shí)量為兩函數(shù)分別延時(shí)量的和。,如果則有,（2-69）,卷積的延時(shí)性質(zhì),互相關(guān)函數(shù)定義：兩時(shí)間實(shí)函數(shù)x(t)、y(t)的相關(guān)運(yùn)算由積分定義,Rxy(t)函數(shù)稱為x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)，而Ryx(t)函數(shù)稱為y(t)與x(t)的互相關(guān)函數(shù),令=-t作變量置換，且置換后將積分變量仍用表示,有：,（2-70a）,（2-70b）,Rxy(t)與Ryx(t)的關(guān)系：,（2-71a）,（2-71b）,比較（2-70）與（2-71）,（2-72）,相關(guān)與卷積,自相關(guān)函數(shù)定義：進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的是同一時(shí)間信號，則稱相關(guān)運(yùn)算所得結(jié)果為自相關(guān)函數(shù)。,相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算的關(guān)系：,自相關(guān)函數(shù)為時(shí)間t的偶函數(shù),（2-73）,（2-74a）,（2-74b）,(t)(t)=t(t)，et(t)et(t)=tet(t),若f(t)=fa(t)*fb(t)fa(t)定義在(ta1，ta2)fb(t)定義在(tb1，tb2)則f(t)的定義范圍為：(ta1+tb1，ta2+tb2),幾個(gè)特殊函數(shù)的卷積：,例,圖解法：,解析法：直接根據(jù)卷積定義式計(jì)算,方法四應(yīng)用卷積的微分與積分性質(zhì)求解,方法1：圖解法,例題2-7P58例題2-8P65,方法2：解析法根據(jù)卷積定義求解,f(t)=f1(t)*f2(t),方法3：應(yīng)用卷積的微分與積分性質(zhì)求解例2-8P65,例題2-9求矩形脈沖f1(t)=(t-t1)-(t-t2),t2t1和指數(shù)函數(shù)f2(t)=e-t(t)的卷積解：,方法1：圖解法,方法2：應(yīng)用卷積的微分與積分性質(zhì)求解,已知f1(t)=t(t)-(t+1),f2(t)=(t)-(t-1)求f(t)=f1(t)*f2(t),f(t)=0.5(1-t2)(t+1)-(t)+0.5(1-t)2(t)-(t-1),例:,例圖2(a)所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱矩形脈沖，用符號g(t)表示，其幅度為1，寬度為，求卷積積分g(t)*g(t)。,由于門函數(shù)是偶函數(shù)，故其波形繞縱軸翻轉(zhuǎn)180后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時(shí)，門函數(shù)左邊沿位于x=-/2位置，右邊沿位于x=/2位置，如圖(b)所示。,方法一圖解法。,在任一t時(shí)刻，移動(dòng)門函數(shù)左邊沿位于x=t-/2位置，右邊沿則位于x=t+/2位置，如圖(c)所示,按照圖卷積過程的圖解表示，可計(jì)算求得：,方法一圖,圖解法,方法二應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分和時(shí)移性質(zhì),方法二圖,解析法：根據(jù)卷積定義式求解2.圖解法求解3.利用卷積性質(zhì)求解,例：求,卷積積分的求解方法小結(jié)：,舉例1,舉例2如圖所示系統(tǒng)的e(t)、h(t)，求其零狀態(tài)響應(yīng),解：,舉例3P84習(xí)題2.27,齊次方程的通解,非齊次方程的特解,例4,a,解：,一、線性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解方法,一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)對于某一激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)可看成由零輸響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)部分組成。零輸入響應(yīng)由系統(tǒng)的特征和開始計(jì)算時(shí)間t=0時(shí)系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能決定，它可由齊次方程得到。零狀態(tài)響應(yīng)則由系統(tǒng)的特征和外加激勵(lì)決定，它可由外加激勵(lì)函數(shù)與系統(tǒng)的單位激響應(yīng)相卷積得到。,2.9線性系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)域求解,系統(tǒng)微分方程的一般形式為：,其中為轉(zhuǎn)移算子,設(shè)特征方程無重根，且考慮N(p)的冪次一般低于D(p)，則有：,j為特征方程D(p)=0的n個(gè)根中的第j個(gè)根；Kj是轉(zhuǎn)移算子展開為部分分式后的相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)。,線性系統(tǒng)全響應(yīng)時(shí)域求解的步驟如下：,第一步：由系統(tǒng)微分方程求轉(zhuǎn)移算子,第二步：求零輸入響應(yīng),設(shè)特征方程無重根，i為特征方程D(p)=0的n個(gè)根中的第j個(gè)根，則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為,相應(yīng)的各系數(shù)Cj須由未加輸入的初始條件確定。,（2-76）,第三步：求零狀態(tài)響應(yīng),先求系統(tǒng)沖激響應(yīng),轉(zhuǎn)移算子部分分式中的算子項(xiàng)作用于單位沖激函數(shù)時(shí)的沖激響應(yīng)為：,其解,系統(tǒng)沖激響應(yīng)為,j為特征方程D(p)=0的n個(gè)根中的第j個(gè)根；Kj是轉(zhuǎn)移算子展開為部分分式后的相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：,（2-78）,第四步：求全響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),（2-79）,由于系統(tǒng)必須遵從因果律，它的零輸入響應(yīng)和沖激響應(yīng)不可能出現(xiàn)于t0時(shí)，因此上式及式（2-76）、（2-78）中的(t)可省去。,二、幾種典型函數(shù)信號激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng),1.指數(shù)函數(shù)信號激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng),當(dāng)激勵(lì)信號為指數(shù)函數(shù)時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)為（特征根為單根）：,整理上式,前一和式,后一和式,（2-81）,其中：,（2-80）,自然響應(yīng)分量,受迫響應(yīng)分量,幾個(gè)重要概念：,（1）自然響應(yīng)分量：在（2-81）的前一和式中諸項(xiàng)只含有自然頻率，合稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)分量。,受迫響應(yīng)分量：在（2-81）的后一和式中諸項(xiàng)只含有外加激勵(lì)的頻率S，稱為系統(tǒng)的受迫響應(yīng)分量。,（2）轉(zhuǎn)移函數(shù)：在復(fù)頻域中受迫響應(yīng)分量中的因子稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。意義：受迫響應(yīng)分量中的因子為轉(zhuǎn)移算子H(p)中的p換成激勵(lì)頻率S后的函數(shù)。轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)在特定頻率S時(shí)的值即為受迫響應(yīng)中該頻率在t=0時(shí)的值。,（3）瞬態(tài)響應(yīng)分量：系統(tǒng)響應(yīng)中隨著時(shí)間增長而趨于零的部分稱為瞬態(tài)響應(yīng)分量。,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量：系統(tǒng)響應(yīng)中隨著時(shí)間增長而趨于穩(wěn)定的部分稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。,對于一穩(wěn)定系統(tǒng)：自然響應(yīng)必隨著時(shí)間增長而趨于零；受迫響應(yīng)視激勵(lì)函數(shù)的性質(zhì)可能隨著時(shí)間增長而趨于零，也可能隨著時(shí)間增長而趨于穩(wěn)定，或者兩者都有。,（4）系統(tǒng)響應(yīng)的分類,全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)=自然響應(yīng)分量+受迫響應(yīng)分量=瞬態(tài)響應(yīng)分量+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量,結(jié)論：對于一穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必然是自然響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)中又可分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)兩部分。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的自然響應(yīng)兩部分合成總的自然響應(yīng)，它必然是瞬態(tài)響應(yīng)。受迫響應(yīng)中隨著時(shí)間增長而衰減消失部分也是瞬態(tài)響應(yīng)中的一部分，隨著時(shí)間增長仍存在并趨于穩(wěn)定響應(yīng)的部分則是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,其中H(s)為將激勵(lì)信號的指數(shù)因子s帶入轉(zhuǎn)移算子H(p)中，作為代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算而得到的數(shù)值。這個(gè)值實(shí)際上就是后面將要討論的拉普拉斯變換。,如果激勵(lì)信號的指數(shù)s與系統(tǒng)的某個(gè)特征根相同，則響應(yīng)中有：,全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)自然響應(yīng)分量受迫響應(yīng)分量瞬態(tài)響應(yīng)分量穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量,各響應(yīng)間的關(guān)系（一般情況）,電源電壓e(t)=(1+e-3t)(t)加于RC串聯(lián)電路上。設(shè)R=1,C=1F,且uc(0-)=1V，求響應(yīng)電壓uc(t)。解：,=-1，零輸入響應(yīng)為,代入初始電壓值，求得C1=1,RC電路的沖激響應(yīng)為,零狀態(tài)響應(yīng)為,例題2-10,全響應(yīng)電容電壓為：,2.矩形脈沖信號激勵(lì)下RC電路的響應(yīng),激勵(lì)函數(shù)e(t)為一幅值是E脈沖寬度是0的矩形脈沖，表示為,設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)，單求零狀態(tài)響應(yīng)：,求電容電壓uC,先考慮階躍函數(shù)E(t)加于此電路時(shí)電容C上的電壓uC1,電路方程或,同理，階躍函數(shù)-E(t-0)加于此電路時(shí)電容C上的電壓uC2為,矩形脈沖作用時(shí)電容上電壓為,（2-83）,考慮(t)是est(t)中s=0的特例，令1/RC=a，利用公式（2-80）式中的第二和式，即得零狀態(tài)響應(yīng)uC1,求電阻電壓uR,（2-82）,先考慮階躍函數(shù)E(t)加于此電路時(shí)電容R上的電壓uR1,電路方程為：其解：,同理，階躍函數(shù)-E(t-0)加于此電路時(shí)R上的電壓uR2為,討論：系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)特性的影響,系統(tǒng)的時(shí)域特性由系統(tǒng)在特定信號激勵(lì)下的響應(yīng)表示，通常是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。,一般系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由若干階躍指數(shù)函數(shù)組成，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是微分方程的階數(shù)。這些指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由其自然頻率決定。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，或?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)或是兩個(gè)均具負(fù)實(shí)部且為共軛復(fù)數(shù)對。前者對應(yīng)于單調(diào)呈指數(shù)律衰減的響應(yīng)，后者對應(yīng)于幅度按指數(shù)律衰減的正弦振蕩的響應(yīng)。系統(tǒng)的自然響應(yīng)與沖激響應(yīng)具有相同的形式，系統(tǒng)的受迫響應(yīng)同時(shí)與沖激響應(yīng)及激勵(lì)響應(yīng)有關(guān)。,RC電路的沖激響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律作單調(diào)衰減，其特性表現(xiàn)為衰減的快慢。,概念：時(shí)間常數(shù)=RC決定RC電路的衰減速度,因其具有時(shí)間量綱,稱為電路的時(shí)間常數(shù)。衰減常數(shù)時(shí)間常數(shù)倒數(shù)a=1/=1/RC，稱為衰減常數(shù)。,結(jié)論：顯然，時(shí)間常數(shù)值愈大或衰減常數(shù)a值愈小,則響應(yīng)衰減愈慢；反之,響應(yīng)衰減愈快。,微、積分電路：當(dāng)外加激勵(lì)時(shí)間參數(shù)0與電路時(shí)間常數(shù)滿足不同條件時(shí)，RC電路可具有微、積分電路的性質(zhì)。,很小，0時(shí)：電阻電壓的波形呈一正一負(fù)尖頂脈沖形這時(shí)電路具有微分電路的性質(zhì)。,很大，0時(shí)：電容電壓在矩形脈沖存在期間，電路的輸出響應(yīng)近似與輸入階躍函數(shù)的積分，這時(shí)電路具有積分電路的性質(zhì)。,RL電路的分析與RC電路類似,只是其電路的時(shí)間常數(shù)是=L/R,衰減常數(shù)a=1/=R/L。RL電路也具有微分和積分電路的性質(zhì)。,討論,討論：梯形脈沖信號作用于系統(tǒng),梯形脈沖e(t)如右圖作用于一單位沖擊響應(yīng)為h(t)的零狀態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)對梯形脈沖的響應(yīng)函數(shù)可表示為：,激勵(lì)函數(shù)e(t)為較復(fù)雜函數(shù)，為簡化計(jì)算可將響應(yīng)函數(shù)微分兩次，得,其中如右圖，其值為：,與h(t)相卷積可得,對進(jìn)行兩次積分,基本概念：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、特征方程、特征根、奇異函數(shù)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、單位沖激響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)、自然響應(yīng)、受迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、卷積?；具\(yùn)算：零輸入響應(yīng)的求解、單位沖激響應(yīng)及單位階躍響應(yīng)的求解、零狀態(tài)響應(yīng)的求解、卷積的幾何含義、卷積性質(zhì)的應(yīng)用。,本章小結(jié),線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分解法有兩種：1經(jīng)典法：常規(guī)的線性微分方程的求解方法，先確定解的形式。將響應(yīng)分為兩部分：1）自然響應(yīng)：即通解，由相應(yīng)的齊次微分方程的解，由系統(tǒng)的自然屬性產(chǎn)生；2）受迫響應(yīng)：即特解，由激勵(lì)項(xiàng)引起。最后，將兩部分解相加，帶入初始條件確定其中的待定系數(shù)，最終確定全響應(yīng)。經(jīng)典法的主要缺點(diǎn)是在激勵(lì)信號比較復(fù)雜時(shí)難于確定其特解。,復(fù)習(xí)：線性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解法,2近代時(shí)域法（卷積法）：將解分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分：1）零輸入響應(yīng)：激勵(lì)信號為零時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)。其解法主要有經(jīng)典法。在經(jīng)典法中僅僅有自然響