上海市黃浦區(qū)2015-2016學(xué)年高二上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、填空題（本大題滿分 48 分）本大題共有 12 題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1橢圓 00 的長軸長為 _ 2已知直線 l 的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是 ，則直線 l 的傾斜角為 _ 3已知二元一次方程組 的增廣矩陣是 ，則此方程組的解是_ 4行列式 中 3 的代數(shù)余子式的值為 _ 5已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），則 上的中線 _ 6已知直線 方程為 3x y+1=0，直線 方程為 2x+y 3=0，則兩直線 夾角是 _ 7用數(shù)學(xué)歸納法證明 “1+ + + n（ n N*， n 1） ”時(shí)，由 n=k（ k 1）不等式成立，推證 n=k+1 時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 _ 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 p 的值是 6，則輸出 S 的值是 _ 9若圓 C 的方程為 x2+21=0，且 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓 C 的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓 C 的外部，則 a 的取值范圍是 _ 10若 ，且 存在，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _ 第 2 頁（共 17 頁） 11已知直線 點(diǎn) P（ 1， 4）且與 x 軸交于 A 點(diǎn)，直線 點(diǎn) Q（ 3， 1）且與 y 軸交于 B 點(diǎn)，若 ，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 _ 12如圖所示， 邊長為 4 的等邊三角形，點(diǎn) P 是以點(diǎn) C 為圓心、 3 為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則 的取值范圍是 _ 二、選擇題（本大題滿分 16 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 13點(diǎn)（ a， b）關(guān)于直線 x+y=1 的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A（ 1 b， 1 a） B（ 1 a， 1 b） C（ a， b） D（ b， a） 14若位于 x 軸上方、且到點(diǎn) A（ 2， 0）和 B（ 2， 0）的距離的平方和為 18 的點(diǎn)的軌跡為曲線 C，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ a， b），則 “ ”是 “點(diǎn) P 在曲線 C 上 ”的（ ） A B C D既非充分又非必要條件 15在圓 x2+2x 6y=15 內(nèi)，過點(diǎn) E（ 0， 1）的最長弦和最短弦分別是 |值為（ ） A B C D 16對(duì)數(shù)列 若對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 ， ，則稱 為區(qū)間套下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（ ） A B C D 三、解答題（本大題滿分 56 分）本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 . 17已知兩直線 x+（ m+1） y+m 2=0， y+8=0 （ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線 直； （ 2）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線 行 18在直角 ， C 是直角，頂點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為（ 4， 4），（ 2， 4），圓 外接圓 （ 1）求圓 E 的方程； （ 2）求過點(diǎn) M（ 4， 10）且與圓 E 相切的直線的方程 19已知 是不平行的兩個(gè)向量， k 是實(shí)數(shù)，且 （ 1）用 表示 ； 第 3 頁（共 17 頁） （ 2）若 ，記 ，求 f（ k）及其最小值 20在數(shù)列 ， ，且對(duì)任意 n N*，都有 （ 1）計(jì)算 此推測(cè) 通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （ 2）若 ，求無窮數(shù)列 各項(xiàng)之和與最大項(xiàng) 21已知點(diǎn) P 是曲線 上的動(dòng)點(diǎn)，延長 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)）到 Q，使得|2|點(diǎn) Q 的軌跡為曲線 （ 1）求曲線 方程； （ 2）若點(diǎn) 別是曲線 左、右焦點(diǎn)，求 的取值范圍； （ 3）過點(diǎn) P 且不垂直 x 軸的直線 l 與曲線 于 M， N 兩點(diǎn)，求 積的最大值 第 4 頁（共 17 頁） 2015年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、填空題（本大題滿分 48 分）本大題共有 12 題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1橢圓 00 的長軸長為 20 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 利用橢圓的簡單性質(zhì)求解 【解答】 解：橢圓 00 化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得： =1， a=10， b=5， 橢圓 00 的長軸長為 2a=20 故答案為： 20 2已知直線 l 的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是 ，則直線 l 的傾斜角為 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角 【分析】 設(shè)直線 l 的傾斜角為 ， 0， ），則 ，即可得出 【解答】 解：設(shè)直線 l 的傾斜角為 ， 0， ），則 ， = 故答案為： 3已知二元一次方程組 的增廣矩陣是 ，則此方程組的解是 【考點(diǎn)】 系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組 【分析】 先利用增廣矩陣 ，寫出相應(yīng)的二元一次方程組，然后再求解即得 【解答】 解：由題意，方程組 解之得 故答案為 第 5 頁（共 17 頁） 4行列式 中 3 的代數(shù)余子式的值為 5 【考點(diǎn)】 三階矩陣 【分析】 寫出行列式的 3 的代數(shù)余子式，再計(jì)算，即可得到結(jié)論 【解答】 解：由題意，行列式 中 3 的代數(shù)余子式為 =（ 3+2） = 5 故答案為： 5 5已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），則 上的中線 3x 2y+2=0 【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法求直線方程 【分析】 由 中點(diǎn) M（ 2， 4），利用兩點(diǎn)式方程能求出 上的中線所在的直線方程 【解答】 解： 中點(diǎn) M（ 2， 4）， 上的中線 在的直線方程為： = ， 整理，得 3x 2y+2=0， 故答案為： 3x 2y+2=0 6已知直線 方程為 3x y+1=0，直線 方程為 2x+y 3=0，則兩直線 夾角是 【考點(diǎn)】 兩直線的夾角與到角問題 【分析】 設(shè)直線 夾角的大小為 ，求出直線的斜率，則由題意可得 |=1，由此求得 的值 【解 答】 解：設(shè)直線 夾角的大小為 ，則 0， ）， 由題意可得直線 斜率為 3，直線 斜率為 2， |=1，解得 = ， 故答案為： 7用數(shù)學(xué)歸納法證明 “1+ + + n（ n N*， n 1） ”時(shí)，由 n=k（ k 1）不等式成立，推證 n=k+1 時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 2k 【考點(diǎn)】 數(shù)學(xué)歸納法 第 6 頁（共 17 頁） 【分析】 觀察不等式左側(cè)的特點(diǎn)，分母數(shù)字逐漸增加 1，末項(xiàng)為 ，然后判斷 n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)即可 【解答】 解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加 1，末項(xiàng)為 ； 由 n=k，末項(xiàng)為 到 n=k+1，末項(xiàng)為 ， 應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為 2k 故答案為 2k 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 p 的值是 6，則輸出 S 的值是 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖及已知中 p 輸入 6，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為 n 6，即 n=1，2， ， 5，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的 S 值 【解答】 解：當(dāng) n=1 時(shí)， S=0+2 1= ； 當(dāng) n=2 時(shí)， S= +2 2= ； 當(dāng) n=3 時(shí)， S= +2 3= ； 當(dāng) n=4 時(shí)， S= +2 4= ； 當(dāng) n=5 時(shí)， S= +2 5= ； 當(dāng) n=6 時(shí)，退出循環(huán)， 第 7 頁（共 17 頁） 則輸出的 S 為： 故答案為： 9若圓 C 的方程為 x2+21=0，且 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）兩點(diǎn)中的一點(diǎn)在圓 C 的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓 C 的外部，則 a 的取值范圍是 （ ， 2） （ 1， +） 【考點(diǎn)】 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 【 分析】 根據(jù) A， B 與圓的位置關(guān)系討論列出不等式解出 a 【解答】 解：（ 1）若 A 在圓內(nèi)部， B 在圓外部，則 ，解得 a 2 （ 2）若 B 在圓內(nèi)部， A 在圓外部，則 ，解得 a 1 綜上， a 的取值范圍是（ ， 2） （ 1， +） 故答案為（ ， 2） （ 1， +） 10若 ，且 存在，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1 a 2 【考點(diǎn)】 極限及其運(yùn)算 【分析】 根據(jù) 得出 1 1，再根據(jù) 存在得出 1 1，由此求出實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解： ， = ， 第 8 頁（共 17 頁） 1 1， 解得 4 a 2； 又 存在， 1 1， 解得 1 a 3； 綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1 a 2 故答案為： 1 a 2 11已知直線 點(diǎn) P（ 1， 4）且與 x 軸交于 A 點(diǎn)，直線 點(diǎn) Q（ 3， 1）且與 y 軸交于 B 點(diǎn)，若 ，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 9x+6y+1=0 【考點(diǎn)】 軌跡方程；向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義 【分析】 先設(shè) M（ x， y），可討論 否存在斜率：（ 1）不存在斜率時(shí)，可求出 A（ 1， 0），B（ 0， 1），從而由 可以求出 x= ，即點(diǎn) M（ ），（ 2）存在斜率時(shí)，可設(shè)斜率為 k，從 而可以分別寫出直線 方程，從而可以求出，這樣根據(jù) 便可用 k 分別表示出 x， y，這樣消去k 便可得出關(guān)于 x， y 的方程，并驗(yàn)證點(diǎn) 是否滿足該方程，從而便得出點(diǎn) M 的軌跡方程 【解答】 解：設(shè) M（ x， y）， （ 1）若 存在斜率，則： 直 x 軸， 直 y 軸； A（ 1， 0）， B（ 0， 1）； 由 得，（ x 1， y） =2（ x， 1 y）； ； ； 即 ； （ 2）若 率為 k， 率為 ，則： y 4=k（ x 1），令 y=0， x= ； ； 第 9 頁（共 17 頁） ，令 x=0， y= ； ； 由 得， ； ； 消去 k 并整理得： 9x+6y+1=0； 點(diǎn) 滿足方程 9x+6y+1=0； 綜（ 1）（ 2）知，點(diǎn) M 的軌跡方程為 9x+6y+1=0 故答案為： 9x+6y+1=0 12如圖所示， 邊長為 4 的等邊三角形，點(diǎn) P 是以點(diǎn) C 為圓心、 3 為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則 的取值范圍是 20， 4 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 首先建立平面直角坐標(biāo)系：以 C 為原點(diǎn)，平行于 直線為 x 軸，這樣便可建立坐標(biāo)系，然后便可根據(jù)條件確定出 A， B 點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)題意設(shè) P（ 33從而可求出 的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便得出 ，這樣根據(jù) 1 1 便可求出 的取值范圍 【解答】 解：如圖，以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于 直線為 x 軸，垂直于 直線為 立平面直角坐標(biāo)系，則： ； 點(diǎn) P 是以點(diǎn) C 為圓心、 3 為半徑的圓上的任意一點(diǎn)； 設(shè) P（ 33 ； ； 1 1； 20 128 4； 的取值范圍為 20， 4 故答案為： 20， 4 第 10 頁（共 17 頁） 二、選擇題（本大題滿分 16 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 13點(diǎn)（ a， b）關(guān)于直線 x+y=1 的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A（ 1 b， 1 a） B（ 1 a， 1 b） C（ a， b） D（ b， a） 【考點(diǎn)】 與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程 【分析】 設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組求解即可 【解答】 解：點(diǎn)（ a， b）關(guān)于直線 x+y=1 對(duì)稱的點(diǎn)為（ x， y）， 則 ，解得： ， 故選： A 14若位于 x 軸上方、且到點(diǎn) A（ 2， 0） 和 B（ 2， 0）的距離的平方和為 18 的點(diǎn)的軌跡為曲線 C，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ a， b），則 “ ”是 “點(diǎn) P 在曲線 C 上 ”的（ ） A B C D既非充分又非必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由題意可得：（ a+2） 2+ a 2） 2+8，化為 a2+，（ b 0）即可判斷出結(jié)論 【解答】 解：由題意可得：（ a+2） 2+ a 2） 2+8，化為 a2+，（ b 0） “點(diǎn) P 在曲線 C 上 ”“ ”，反之也成立 “ ”是 “點(diǎn) P 在曲線 C 上 ”的充要條件 故選： C 15在圓 x2+2x 6y=15 內(nèi)，過點(diǎn) E（ 0， 1）的最長弦和最短弦分別是 |值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 第 11 頁（共 17 頁） 【分析】 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過點(diǎn) C，最短的弦為過 E 與直徑 直的弦 據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出 長度，根據(jù)垂徑定理得到 E 為 中點(diǎn)，在直角三角形 ，根據(jù)勾股定理求出 可求出 乘積 【解答】 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（ x 1） 2+（ y 3） 2=25， 則圓心坐標(biāo)為（ 1， 3），半徑為 5， 根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示： 由圖象可知：過點(diǎn) E 最長的弦為直徑 短的弦為過 E 與直徑 直的弦，則 0， ， 所以 =4 ， 所以 |104 =40 故選： C 16對(duì)數(shù)列 若對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 ， ，則稱 為區(qū)間套下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 數(shù)列的極限 【分析】 對(duì)于 A，運(yùn)用數(shù)列的極限，即可判斷；對(duì)于 B，運(yùn)用 n=1 時(shí)，兩區(qū)間的關(guān)系，即可判斷； 對(duì)于 C，運(yùn)用 n=1 時(shí)，判斷兩區(qū)間的關(guān)系，即可得到結(jié)論； 對(duì)于 D，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的極限的公式，計(jì)算即可得到結(jié)論 【解答】 解：對(duì)于 A， （ = =2 1=1 0，故不構(gòu)成區(qū)間套； 對(duì)于 B，當(dāng) n=1 時(shí)， ， ， ， ，顯然不滿足 故不構(gòu)成區(qū)間套； 對(duì)于 C，當(dāng) n=1 時(shí)， ， ， ， ，顯然不滿足 故不構(gòu)成區(qū)間套 第 12 頁（共 17 頁） 對(duì)于 D，由 1（ ） n 1（ ） n+1 1+（ ） n+1 1+（ ） n，滿足 ， 又 （ = 1（ ） n 1+（ ） n=1 1=0，故構(gòu)成區(qū)間套 故選： D 三、解 答題（本大題滿分 56 分）本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 . 17已知兩直線 x+（ m+1） y+m 2=0， y+8=0 （ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線 直； （ 2）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線 行 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【分析】 （ 1）利用兩直線垂直的充要條是 1，可得 1 m+（ 1+m） 2=0，由此求得解得 m 的值 （ 2）由兩直線平行的充要條件是 = ，由此求得解得 m 的值 【解答】 解：（ 1） 兩條直線 x+（ 1+m） y+m 2=0， y+8=0，由兩直線垂直的充要條件可得 1， 即 1 m+（ 1+m） 2=0，解得 m= （ 2）由兩直線平行的充要條件可得 = ， 即 = ， 解得： m=1 18在直角 ， C 是直角，頂點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為（ 4， 4），（ 2， 4），圓 外接圓 （ 1）求圓 E 的方程； （ 2）求過點(diǎn) M（ 4， 10）且與圓 E 相切的直線的方程 【考點(diǎn) 】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)和半徑即可得到結(jié)論 （ 2）根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：（ 1） 在直角 ， C 是直角，頂點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為（ 4， 4），（ 2， 4）， 直徑，則 中點(diǎn)（ 1， 0），即圓心 E（ 1， 0）， 半徑 R=| = = =5， 則圓 E 的方程為（ x+1） 2+5 （ 2） （ 4+1） 2+102=125 25， 第 13 頁（共 17 頁） 點(diǎn) M 在圓外， 當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為 x=4，到圓心的距離 d=4（ 1） =5此時(shí)滿足直線和圓相切， 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為 k，則切線方程為 y 10=k（ x 4）， 即 y+10 4k=0， 則圓心到直線的距離 d= = =5， 即 |2 k|= ，平方得 4 4k+ 即 4k=3， 則 k= ，此時(shí)切線方程為 3x 4y+28=0， 綜上求過點(diǎn) M（ 4， 10）且與圓 E 相切的直線的方程為 3x 4y+28=0 或 x=4 19已知 是不平行的兩個(gè)向量， k 是實(shí)數(shù)，且 （ 1）用 表示 ； （ 2）若 ，記 ，求 f（ k）及其最小值 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ 1） = =k + =k（ ） + ， （ 2）利用（ 1）的結(jié)論，對(duì) 取平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值 【解答】 解：（ 1） = =k + =k（ ） + =（ 1 k） +k （ 2） =2 = 1 | |2=（ 1 k） +k 2=4（ 1 k） 2+2k（ 1 k） =710k+4=7（ k ） 2+ f（ k） = f（ k）的最小值為 = 20在數(shù)列 ， ，且對(duì)任意 n N*，都有 （ 1）計(jì)算 此推測(cè) 通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （ 2）若 ，求無窮數(shù)列 各項(xiàng)之和與最大項(xiàng) 【考點(diǎn)】 數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列的函數(shù)特性 第 14 頁（共 17 頁） 【分析】 （ 1）由 ，且對(duì)任意 n N*，都有 可得 = ， 由此推測(cè) 通項(xiàng)公式， 再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出 （ 2） ，可得 +9 ，利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式可得：無窮數(shù)列 各項(xiàng)之和 【解答】 解：（ 1） ，且對(duì)任意 n N*，都有 = ， = ， = 由此推測(cè) 通項(xiàng)公式， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng) n=1 時(shí)， = 成立； 假設(shè)當(dāng) n=k N*時(shí)， 則 n=k+1 時(shí)， = = = ， 因此當(dāng) n=k+1 時(shí)也成立， 綜上： n N*， 成立 （ 2） ， 2） n = +9 ， 無窮數(shù)列 各項(xiàng)之和 += = + 第 15 頁（共 17 頁） 當(dāng) n=2k（ k N*）時(shí)， + ， 調(diào)遞減，因此當(dāng) n=2 時(shí)，取得最大值 當(dāng) n=2k 1（ k N*）時(shí)， ， 調(diào)遞增，且 0 綜上可得： 最大項(xiàng)為 21已知點(diǎn) P 是曲線 上的