大學(xué)數(shù)學(xué)競賽-積分學(xué)

第三講積分學(xué)一、不定積分1）原函數(shù)與不定積分的概念2）不定積分計(jì)算方法積分的基本公式及性質(zhì)、分項(xiàng)積分法、兩類換元法、分部積分法、幾類特殊函數(shù)的積分法（有理函數(shù)、三角有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)）例1計(jì)算。DX25解原式CX252321418注不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，要充分利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算找原函數(shù)。例2證明若，則02BCA2122211COSSINSIUKDBUKDAXXX其中為待定系數(shù)，是方程不相等的實(shí)根，BA,21,0CBA。2,1,COSSINIKXBAUIII證明因?yàn)閄C22OSIIIIIXBXASNSIIIIIIXACXA22COSOSNS1IIIIBBXA22N,1,COSSI122IUKIIII設(shè)（1）XBABXBAAXBASINCOSINSN2111則有，當(dāng)取12,B時(shí)，（1）式恒成立，1212112,ABBABA因此有2122211COSSINSIUKDBUKDAXXXA二、定積分1）定積分的概念和性質(zhì)2）微積分基本公式，其中AFBDXFBAXF3）定積分計(jì)算方法利用定義計(jì)算、利用微積分基本公式、分項(xiàng)積分法、換元法、分部積分法、一些間接計(jì)算公式。1、AAXFXXF02、BABADFD3、如果關(guān)于直線對稱，則有XFAAXFXF024、如果關(guān)于點(diǎn)對稱，則有XF,ADXF5、是偶數(shù)是奇數(shù)NNXDNN213COSSI20206、2022SI4CSSIXDXDXANAN7、1100D例3計(jì)算阿桑積分，其中。2COSLNXA1A解因?yàn)?，所以是連續(xù)函數(shù)，即01COS22AX2COSX一定存在。01LNDNIANIXA1202COSLLMCOSL122COSLNIMNIANIA1LI2NN（1）當(dāng)時(shí)，A0COSL02DXA（2）當(dāng)時(shí)，11LNIM1LN202NA。AANNL1LIL222注這里利用了復(fù)數(shù)開方公式得102SICONKNK12NIAIA4）反常積分（廣義積分）反常函數(shù)審斂法（1）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，如果函數(shù)XF,0XF是在區(qū)間上的有界函數(shù)，則收斂；XADTFF,AAD（2）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，G,0AXFXG則有，收斂可得收斂；發(fā)散可得發(fā)散。AXFADXGAAF（3）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，,，則有CXGFXGFXLIM,0,如果，則有和同斂散；,CADFAXG如果，則有收斂可得收斂；0XDF如果，則有發(fā)散可得發(fā)散。CAGAX（4）如果收斂，則收斂（絕對收斂）。ADXFAXF例4判別下列反常積分?jǐn)可⑿裕?）（2）024COSXD02COS1XD解（1）0124024COSNXD02412424COS1COSXNDXDNN4224204041TATAN1TA1NXDN因?yàn)槭諗浚浴?4N024COS（2）因?yàn)?，發(fā)散，所以發(fā)散。1COS122XX021XD02COS1XD5）定積分的應(yīng)用計(jì)算平面圖形面積、計(jì)算立體體積、計(jì)算弧長、計(jì)算連續(xù)函數(shù)平均值公式。BADF三、重積分（二重積分、三重積分）1）重積分的概念和性質(zhì)2）重積分的計(jì)算方法二重積分直角坐標(biāo)系下計(jì)算法、極坐標(biāo)計(jì)算法、換元法DDDUVYXVUYXFDYXF,注意對稱性的運(yùn)用；三重積分投影法、切片法、球面坐標(biāo)計(jì)算法、柱面坐標(biāo)計(jì)算法、換元法DUVWZUZYXWVZVUYWVXFDXYZF,注意對稱性的運(yùn)用。3）重積分的應(yīng)用曲面的面積為、物體質(zhì)心、DYXFZ,DDXYZX221轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力。四、兩類曲線積分1）曲線積分的概念和性質(zhì)2）曲線積分的計(jì)算法注意對稱性的運(yùn)用。3）格林公式設(shè)在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有YXQP,DDDXYPD4）第二型曲線積分與路徑無關(guān)五、兩類曲面積分1）兩類曲面積分的概念和性質(zhì)2）兩類曲面積分計(jì)算法注意曲面在對應(yīng)坐標(biāo)面的投影，及兩類曲面的聯(lián)系。3）高斯公式和斯托克斯公式例5證明若在區(qū)間上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，則XF1,0201LIM00FNKFDXFN證明因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)，由最大值最小值定理，存在是在區(qū)XF1,CXF間上的最大值。利用泰勒公式有1,021NFKFNFKFKFFFFK其中在之間，因此我們有KN,11,2,10NK1021021042LIM4LIM2LINKKNKKNNKFFFFFF又因?yàn)?LI4LI4LI102102NCNFNKKKN所以有21LIM10FFNK101010LIMLINKNKNDXNKFXFDXF102LIMNKKDXNFNXKF102102LINKKNKXFF由于102102LIMLIMNKNKKDXCDXNF02LILI20CNKN因此我們有201LIM1LIM10010FNKFNKFDXFNK例6證明若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且存在，則有FA,APDXFLI10XFPX證明無妨設(shè)單調(diào)遞增，取則有XFY,2112LN22PYFPFDXFDFPYPYPLN1122YFFDXYFDXFPPPYP因?yàn)榇嬖?，所以。APFX00LIM,0LIM220YPYPDXFF當(dāng)時(shí)有1DXFYFDXFYPYP22LN1LN當(dāng)時(shí)有1PDXFPYFDXFPYPPYP21121由夾逼準(zhǔn)則可得。0LIM0FXP例7已知空間中的點(diǎn)，線段繞軸旋轉(zhuǎn)為，求與1,1BAABZ平面所圍成立體的體積。,ZV解線段的方程為，曲面的方程為B10TTZYTX221XZ。3232110102ZDZZDVV例8設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且YXF,2YXD，證明222EXFEDXYFXD2證明利用極坐標(biāo)可得102SINCORDYFRXFRDXYFXD改變積分次序后可得201SICYFRXFRXYFXD設(shè)是圓并取正方向，是圍成的圓盤，由關(guān)于坐標(biāo)的基本計(jì)算方RL22RYRDL法和格林公式可得RRDLDXYFXDYXFFDYFRXFR2220SINCO222102RRDXEEER所以我們有1022EDRRDXYFXD例9計(jì)算，其中是上半球面222IYZYZA與柱面的交線，的方向從軸220XYZBXXYAXBZ正方向向負(fù)方向看是逆時(shí)針方向。解設(shè)上半球面在圓柱面內(nèi)220YZB20YAXB的部分，并區(qū)上側(cè)，利用斯托克斯定理可得222222DYZXDIYZDZXDZYDXZZ因?yàn)閷?yīng)的單位法向量為，所以,XBZ22XBYIZYDSZYDS22221XYABXXXYY。22XYABDB例10計(jì)算，其中為下半球面的上212ZYXDXA22YXAZ側(cè)，為大于零的常數(shù)。A解ADXYZXYZYXD2212取為圓盤的下側(cè)，則有1,0A3221ADXYDXYZDAX3221ADVZAZYXXAAD330223ADZAZA例11計(jì)算。1XED例12設(shè)為橢圓形，面密度為為均值的薄板；為通過橢D20YABAL圓焦點(diǎn)（其中）垂直于薄板的旋轉(zhuǎn)軸,0C22C1）求薄板繞旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；LJ2）對于固定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，討論橢圓的面積是否有最大值和最小值。例13設(shè)連續(xù)可微函數(shù)由方程（其中有,ZXY,0FXZYZ,FUV連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）唯一確定，為正向單位圓，試求L22IZDDA六、練習(xí)題1）計(jì)算DX162）設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，證